879. 盈利計劃

本題與經(jīng)典背包問題非常相似。兩者不同點在于經(jīng)典背包問題只有一種容量限制，而本題卻有兩種限制：集團員工人數(shù)上限 n，以及工作產(chǎn)生的利潤下限 minProfit。

通過經(jīng)典背包問題的練習，我們已知經(jīng)典背包問題可以使用二維動態(tài)規(guī)劃求解：兩個維度分別代表物品和容量的限制標準。

對于本題上述的兩種限制，我們可以想到使用三維動態(tài)規(guī)劃求解。

本題解法的三個維度分別為：當前可選擇的工作，已選擇的小組員工人數(shù)，以及目前狀態(tài)的工作獲利下限。

根據(jù)上述分析，我們可以定義一個三維數(shù)組 dp 作為動態(tài)規(guī)劃的狀態(tài)，其中 dp[i][j][k] 表示在前 i 個工作中選擇了 j 個員工，并且滿足工作利潤至少為 k 的情況下的盈利計劃的總數(shù)目。假設 group 數(shù)組長度為 len，那么不考慮取模運算的情況下，最終答案為：

所以我們可以新建一個三維數(shù)組 dp[len+1][n+1][minProfit+1]，初始化 dp[0][0][0]=1。接下來分析狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程，對于每個工作 i，我們根據(jù)當前工作人數(shù)上限 j，有能夠開展當前工作和無法開展當前工作兩種情況：

• 如果無法開展當前工作 i，那么顯然：
  
• 如果能夠開展當前工作 i，設當前小組人數(shù)為 group[i]，工作獲利為 profit[i]，那么不考慮取模運算的情況下，則有：

由于我們定義的第三維是工作利潤至少為 k 而不是 工作利潤恰好為 k，因此上述狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程中右側(cè)的第三維是 max(0,k?profit[i]) 而不是 k?profit[i]。讀者可以思考這一步的妙處所在。

Code

Python

class Solution:def profitableSchemes(self, n: int, minProfit: int, group: List[int], profit: List[int]) -> int:MOD = 10 ** 9 + 7length = len(group)dp = [[[0] * (minProfit + 1) for _ in range(n + 1)] for _ in range(length + 1)]dp[0][0][0] = 1for i in range(1, length + 1):# 第 i 個工作要求參與的員工數(shù)量和會產(chǎn)生的利潤members, earn = group[i - 1], profit[i - 1]for j in range(n + 1):for k in range(minProfit + 1):if j < members: # 如果當前工作人數(shù)上限小于需要求參與的員工數(shù)量則無法開展此工作dp[i][j][k] = dp[i - 1][j][k]else:dp[i][j][k] = (dp[i - 1][j][k] + dp[i - 1][j - members][max(0, k - earn)]) % MODtotal = sum(dp[length][j][minProfit] for j in range(n + 1))return total % MOD

作者：LeetCode-Solution
鏈接：https://leetcode-cn.com/problems/profitable-schemes/solution/ying-li-ji-hua-by-leetcode-solution-3t8o/
來源：力扣（LeetCode）
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總結(jié)

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