?題目描述

現在有一架飛機要起飛，乘客們正準備按機票號碼（1,2,3...,N）一次排隊登機。突然來了一只大猩猩（金剛）。他也有機票，但是他插隊第一個登上了飛機，然后隨意的選擇了一個座位坐下了。根據社會的和諧程度，其他的乘客有兩種反應：

1.乘客們都義憤填膺，“既然金剛同志都不守規矩，為什么我要遵守？”他們也隨意的找位置坐下，并且堅決不讓座位給其他乘客。

2.乘客們雖然感到憤怒，但是還是以“和諧”為重，如果自己的位置沒有被占領，就趕緊坐下，如果自己的位置已經被別人（或者金剛同志）占了，就隨機的選擇另一個位置坐下，就開始閉目養神，不在挪動。

問題：在這兩種情況下，第i個乘客（出去金剛同志外）做到自己原機票位置的概率分別是多少？

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問題解答

第一問：該問題相當于排序問題，總的排序總數是n個人的全排列為N!，如果第i個人做到第i個位置上，那么其余n-1個人的全排列為(N-1)!,綜上所求概率為(N-1)!/N!=1/N。

第二問：《編程之美》講得比較復雜，沒怎么看懂，在網上找了幾個博文對該問題的解答，綜合一下，這樣理解比較容易：

假設：F(i,n)表示在有n個座位的前提下，第i個人恰好做到第i個座位的概率；

P(K=j)表示金剛剛好坐在位置j上的概率；

P(i|K=j)表示在金剛做到位置ｊ的前提下，第ｉ個人恰好做到第ｉ個位置上的概率。

由以上的假設根據全概率公式有：

　　由于金剛坐到每一個位置上的概率是相等的，容易知道Ｐ（Ｋ＝ｊ）＝１／ｎ；

　　接下來我們只需要考慮后一項條件概率的值即可。

　　（１）如果ｊ＝１，則表明金剛坐到第一個位置，則ｉ坐到ｉ位置的概率為１；如果ｊ＞ｉ，前面的人必然按位置坐，所以概率也為１.所以我們只需要考慮１＜ｊ＜ｉ的情況，見下。

　　（２）在１＜ｊ＜ｉ的情況下，即金剛坐在第ｊ（１＜ｊ＜ｉ）個位置上，則ｊ個乘客除非坐在金剛的位置上，否則同樣要同樣要搶占其他人的座位。這和金剛的行為是相似的（因為金剛除非坐在自己的位置上，否則搶占別人的座位），所以我們可以講第ｊ個乘客當做新的金剛，此時還剩余ｎ－ｊ個座位，同時把剩余乘客的編號也都減去ｊ，則先前的第ｉ個乘客座位號變為ｉ－ｊ，此問題和原問題相似，只是規模更小，所以該種情況下，條件概率為Ｆ（ｉ－ｊ，ｎ－ｊ）.

　　所以有如下等式：

?　　然后可以從上面的公式推出遞推式：F(i,n)=F(i-1,n-1).（筆者驗證了一下，公式是對的，但是不會推導，希望有會的網友指點）。

　　有上面的遞推公式，我們可以到：nF(i,n)=(n-i+1)+(i-2)F(i,n)，則問題的最終答案為：

　　

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參考文獻：

1. 《編程之美》P265-P267

2. http://hi.baidu.com/maxint/blog/item/8ac3c49707911f6354fb96e9.html

3. http://blog.sina.com.cn/s/blog_7cd1ba470100rgkz.html

轉載于:https://www.cnblogs.com/python27/archive/2012/04/08/2438009.html

總結

以上是生活随笔為你收集整理的【编程之美】金刚坐飞机问题的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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