接觸ACM沒幾天，向各路大神求教，聽說ACM主要是研究算法，所以便開始了苦逼的算法學習之路。話不多說，RT所示，學習快速求冪。

在頭文件<math.h>或是<cmath>中，double pow( double x, double y );函數是用來快速求x^y，于是便從pow函數來說起，以下大體上是pow的函數代碼：

int?pow(int?x,?int?n)

{??

????int?num?=?1;??

????while?(n?!=?0){??

????????num?=?num?*x;??

????????n?=?n?-1;??

????}??

????return?num;??

}?

通過以上程序，2^5 = 2*2*2*2*2的流程中一共進行了4次乘法。試想若是大數2^99999999.......，這樣循環的算下來肯定要計算到猴年馬月。那么我們有什么辦法可以簡化我們的冪指運算呢？

?

分析數據

2^4=2^2 * 2^2;

2^5=2^2 * 2^2 * 2

2^6=2^3 * 2^3

2^7=2^3 * 2^3 * 2

……

x^n = x^(n/2) * x^(n/2) (n為偶數）

x^n = x^(n/2) * x^(n/2) * n (n為奇數）

?

顯然這種算法分析利用分治思想（divide and conquer）。通過這種方式，我們可以根據通項公式寫出遞歸函數求分制冪指運算的函數代碼：

int?DC_pow(int?x,?int?n)

{??

????if?(n==1)?return?x;??

????if?(n==0)?return?1;??

????else?if?(n & 1)??return DC_pow(x,n/2)*DC_pow(x,?n/2)*x;??????//??對應公式x^(n/2) * x^(n/2) * n

????else???????????? return?DC_pow(x,n/2)*DC_pow(x,?n/2);??????? //? 對應公式x^(n/2) * x^(n/2)

}

由此我們以分治思想，減少了運算量。接下來，我們研究此遞歸代碼的一些細節。對于n/2，我們在二進制位運算中還有其他的處理方式，倘若一個數是二進制數，只要我們將該數右移一位(x>>1)，即可對其真值除以2。也許你又會想，DG想表述的是什么意思，即使我把代碼中的n/2換成n>>1運算量有沒有改變，到底意義何在呢？我們從一個例子引出：

?問題：請求出3^999=？（問題目的在于感受不同求解方法的復雜程度）

?

分析：我們先調用最最基本的方式進行求解，即為求:3 * 3 * …… * 3(999個3)，這樣一共要進行998次乘法運算。這種方法顯然是太麻煩，反復的遞歸，計算機心里定會默念“我靠，坑爹啊！”

?

接下來，我們使用簡單分制思想來做此題，這樣就可以大大簡少運算次數，使得計算次數僅為9次。但是，如果你也在學習ACM的話，你會懂得遞歸做法運行速度之慢。即使遞歸函數通俗易懂，即使寫法簡單，但是并不推薦。你若不信，我給大家舉一個簡單的例子：

?

利用歐幾里德算法（輾轉相除法）計算兩數的gcd（最大公約數）

遞歸形式：

int gcd(int a,int b)

{

??? if(a == 0) return b;

??? else return b == 0?a:gcd(b,a%b);

}

非遞歸形式：

int gcd(int a,int b)

{

??? int c;

??? if(a == 0) return b;

??? while(b!=0) c = b,b = a % b,a = c;

??? return a;

}

?

以上利用相同的思想進行求解a，b的gcd，但是效率有很大偏差，大家可以嘗試。

那么，還有什么方法來求解這個問題呢，接下來便是經典的快速求冪法。我們將3^999進行分解，即為：?(3 ^ 512) * (3 ^ 256) * (3 ^ 128) * (3 ^ 64) * (3 ^ 32) * (3 ^ 4) * (3 ^ 2) * 3。這時候，我們可以整理出3的指數部分形式：2^9+2^8+2^7+2^6+2^2+2^1+2^0。然后，我們再把999轉換成2進制為1111100111，2進制的轉換作為指數位置的數。由此，我們同樣的利用了分治思想，將指數分成了2的n次方和的形式。配合上右移運算，我們只要將其二進制數與1做與運算，為真則將此位上的2^n次方加入，為假則不加入。下面放出代碼：

int?spow(int?x,?int?n)??

{??

????int?result?=?1;??

????while?(n?>?0)?

??? {

????????if?(n?&?1)???result?*=?x;??

????????x?*=?x;??

????????n?>>=?1;????????//n=n/2?

????}??

????return?result;??

}??

?

以上便是全部內容，第一次發文，多有錯誤。多多包含。

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學習本塊知識參考過的博文：

http://blog.csdn.net/zhizichina/article/details/7573342

http://blog.csdn.net/hkdgjqr/article/details/5381028

關于快速求冪的ACM題集：

HDU1575、HDU1852、HDU2817、HDU2035.

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轉載于:https://www.cnblogs.com/Destiny-Gem/p/qpow.html

總結

以上是生活随笔為你收集整理的快速求幂（Quick Exponentiation）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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