1 基本的定義

　　正定和半正定這兩個詞的英文分別是 positive definite 和 positive semi-definite，其中，definite是一個形容詞，表示“明確的、確定的”等意思。

　　定義1：給定一個大小為 $n imes n$ 的實對稱矩陣 $A$ ，若對于任意長度為 $n$ 的非零向量 $oldsymbol{x}$ 有$ oldsymbol{x}^{T} A oldsymbol{x}>0$ 恒成立， 則矩陣 $A$ 是一個正定矩陣。

　　正定矩陣：對于 $n$ 階實對稱矩陣 $A$ ，下列條件是等價的：

$A$ 是正定矩陣；
$A$ 的一切順序主子式均為正；
$A$ 的一切主子式均為正；
$A$ 的特征值均為正；
存在實可逆矩陣 $C$，使 $A=C′C$；
存在秩為 $n$ 的 $m×n$ 實矩陣 B，使 $A=B′B$；
存在主對角線元素全為正的實三角矩陣 $R$，使 $A=R′R$ 。

例1：單位矩陣 $I in mathbb{R}^{2 imes 2}$ 是否是正定矩陣?
　　解：設向量 $ oldsymbol{x}=left[egin{array}{l}x_{1} \ x_{2}end{array}ight] in mathbb{R}^{2}$ 為非零向量， 則

　　　　$oldsymbol{x}^{T} oldsymbol{I} oldsymbol{x}=oldsymbol{x}^{T} oldsymbol{x}=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}$

　　由于 $ oldsymbol{x}
eq mathbf{0} $，故$ oldsymbol{x}^{T} I oldsymbol{x}>0$ 恒成立，即單位矩陣 $ I in mathbb{R}^{2 imes 2}$ 是正定矩陣。

擴展：對于任意單位矩陣 $I in mathbb{R}^{n imes n}$ 而言，給定任意非零向量 $oldsymbol{x} in mathbb{R}^{n}$ ， 恒有

　　　　$egin{array}{l}oldsymbol{x}^{T} I oldsymbol{x}=oldsymbol{x}^{T} oldsymbol{x} \=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+cdots+x_{n}^{2}>0end{array}$

例2：實對稱矩陣 $A=left[egin{array}{ccc}2 & -1 & 0 \ -1 & 2 & -1 \ 0 & -1 & 2end{array}ight] in mathbb{R}^{3 imes 3} $ 是否是正定矩陣? 　　

　　解：設向量$oldsymbol{x}=left[egin{array}{l}x_{1} \ x_{2} \ x_{3}end{array}ight] in mathbb{R}^{3}$為非零向量，則

　　　　$egin{array}{l} oldsymbol{x}^{T} A oldsymbol{x}=left[egin{array}{ll} left(2 x_{1}-x_{2}ight) & left(-x_{1}+2 x_{2}-x_{3}ight) & -x_{2}+2 x_{3} end{array}ight]left[egin{array}{l} x_{1} \ x_{2} \ x_{3} end{array}ight] end{array}$　

　　　　$=x_{1}^{2}+left(x_{1}-x_{2}ight)^{2}+left(x_{2}-x_{3}ight)^{2}+x_{3}^{2}>0$

　　因此，矩陣 A 是正定矩陣。

　　定義2：給定一個大小為 $n imes n$ 的實對稱矩陣 $A$ ， 若對于任意長度為 $n$ 的向量 $oldsymbol{x} $， 有 $oldsymbol{x}^{T} A oldsymbol{x} geq 0$ 恒成立，則矩陣 $A$ 是一個半正定矩陣。

　　半正定矩陣：設 A 是 n 階實對稱矩陣，則下列的條件等價：

　　1.$A$ 是半正定的。

　　2.$A$ 的所有主子式均為非負的。

　　3.$A$ 的特征值均為非負的。

　　4.存在 $n$ 階實矩陣 $C$，使 $A=C′C$.

　　5.存在秩為 $r$ 的 $r×n$ 實矩陣 $B$，使 $A=B′B$.

　　根據正定矩陣和半正定矩陣的定義，我們也會發現：半正定矩陣包括了正定矩陣

---

2 從二次函數到正定/半正定矩陣

　　我們學習過二次函數 $y=a x^{2}$ ， 該函數的曲線會經過坐標原點，當參數 $a>0$ 時，曲線的 “開口" 向上，參數 $a<0$ 時，曲線的 "開口" 向下。
　　以 y=2 x^{2} 為例, 曲線如下:

　　　　　　

　　實際上，我們可以將 $y=oldsymbol{x}^{T} A oldsymbol{x}$ 視作 $y=a x^{2}$ 的多維表達式。
　　當我們希望 $ y=oldsymbol{x}^{T} A oldsymbol{x} geq 0$ 對于任意向量 $ oldsymbol{x}$ 都恒成立，就要求矩陣 $ A$ 是一個半正定矩陣，對應于二次函數， $ y=a x^{2}>0$，$ forall x $ 需要使得 $ a geq 0 $。
　　另外，在 $ y=a x^{2}$ 中，我們還知道：若 $ a>0$ ，則對于任意 $ x
eq 0$， 有 $ y>0$ 恒成立。 這在 $ y=oldsymbol{x}^{T} A oldsymbol{x}$ 也有契合之處，當矩陣 $ A$ 是正定矩陣時，對于任意 $oldsymbol{x}
eq mathbf{0}, quad y>0$ 恒成 立。

---

3 正定矩陣和半正定矩陣的直觀解釋

若給定任意一個正定矩陣 $A in mathbb{R}^{n imes n}$ 和一個非零向量 $oldsymbol{x} in mathbb{R}^{n}$，則兩者相乘得到的向量$ oldsymbol{y}=A oldsymbol{x} in mathbb{R}^{n}$ 與向量 $oldsymbol{x}$ 的夾角恒小于 $frac{pi}{2} $。 (等價于: $oldsymbol{x}^{T} A oldsymbol{x}>0$。)

例3：給定向量 $oldsymbol{x}=left[egin{array}{l}2 \ 1end{array}ight] in mathbb{R}^{2}$， 對于單位矩陣 $I=left[egin{array}{ll}1 & 0 \ 0 & 1end{array}ight] in mathbb{R}^{2 imes 2} $， 則

　　　　$oldsymbol{y}=I oldsymbol{x}=oldsymbol{x}=left[egin{array}{l} 2 \1 end{array}ight]$

　　向量 $ oldsymbol{x}, oldsymbol{y} in mathbb{R}^{2}$ 之間的夾角為

　　　　$egin{array}{l} cos langleoldsymbol{x}, oldsymbol{y}angle=frac{oldsymbol{x}^{T} oldsymbol{y}}{|oldsymbol{x}| cdot|oldsymbol{y}|} \ =frac{2 imes 2+1 imes 1}{sqrt{2^{2}+1^{2}} cdot sqrt{2^{2}+1^{2}}} \ =1 end{array}$

　　即兩個向量之間的夾角為 $0^{circ}$。

若給定任意一個半正定矩陣 $A in mathbb{R}^{n imes n}$ 和一個向量 $oldsymbol{x} in mathbb{R}^{n} $， 則兩者相乘得到的向量 $oldsymbol{y}=A oldsymbol{x} in mathbb{R}^{n}$ 與向量 $oldsymbol{x}$ 的夾角恒小于或等于 $frac{pi}{2}$ . (等價于: $oldsymbol{x}^{T} A oldsymbol{x} geq 0$)

例4：給定向量 $oldsymbol{x}=left[egin{array}{l}1 \ 2 \ 1end{array}ight] in mathbb{R}^{3}$，對于實對稱矩陣 $A=left[egin{array}{ccc}2 & -1 & 0 \ -1 & 2 & -1 \ 0 & -1 & 2end{array}ight] in mathbb{R}^{3 imes 3}$，則

　　　　$oldsymbol{y}=A oldsymbol{x}=left[egin{array}{l} 0 \ 2 \ 0 end{array}ight]$

　　向量 $ oldsymbol{x}, oldsymbol{y} in mathbb{R}^{2}$ 之間的夾角為

　　　　$cos langleoldsymbol{x}, oldsymbol{y}angle=frac{oldsymbol{x}^{T} oldsymbol{y}}{|oldsymbol{x}| cdot|oldsymbol{y}|}=frac{sqrt{6}}{3}$

$

因上求緣，果上努力~~~~ 作者：每天卷學習，轉載請注明原文鏈接：https://www.cnblogs.com/BlairGrowing/p/15317624.html

總結

以上是生活随笔為你收集整理的正定矩阵 和 半正定矩阵的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網站內容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。