一、行列式的三個性質

　1）單位矩陣的行列式：det I = 1

　2）交換矩陣的行（交換一次），新矩陣行列式與原矩陣行列式符號相反

　3）乘法和加法

　　a.矩陣的一行乘以$t$，行列式也乘以$t$

$left|egin{array}{cccc}{ta} & {tb} \ {c} & ozvdkddzhkzdend{array}ight|=t*left|egin{array}{cccc}{a} & {b} \ {c} & ozvdkddzhkzdend{array}ight|$

　　b.在矩陣的行上，行列式類似線性函數

$left|egin{array}{cccc}{a+a'} & {b+b'} \ {c} & ozvdkddzhkzdend{array}ight|=left|egin{array}{cccc}{a} & {b} \ {c} & ozvdkddzhkzdend{array}ight| + left|egin{array}{cccc}{a'} & {b'} \ {c} & ozvdkddzhkzdend{array}ight|$

　　由性質1知：$left|egin{array}{ll}{1} & {0} \ {0} & {1}end{array}ight|=1$

由性質2知：$left|egin{array}{ll}{0} & {1} \ {1} & {0}end{array}ight|=-1$

置換矩陣$P$的行列式為$1$或者$-1$，取決于$P$交換了奇數次還是偶數次

通過上面的三個性質，可以推導出更多的性質

　4）如果矩陣中有兩行相等，行列式為零。

　　通過性質2，行交換規則。交換兩個相同的行，行列式正負反轉，但是矩陣不變，行列式也不變，則行列式為零

　5）如果$i 不等于 $j$，矩陣的第$j$行減去$t$倍的行$i$不會改變矩陣的行列式

　　在二維情況下，舉例如下

$left|egin{array}{cccc}{a} & {b} \ {c-ta} & {d-tb}end{array}ight|=left|egin{array}{cccc}{a} & {b} \ {c} & ozvdkddzhkzdend{array}ight| - left|egin{array}{cccc}{a} & {b} \ {ta} & {tb}end{array}ight| = left|egin{array}{cccc}{a} & {b} \ {c} & ozvdkddzhkzdend{array}ight| - t*left|egin{array}{cccc}{a} & {b} \ {a} & {b}end{array}ight| = left|egin{array}{cccc}{a} & {b} \ {c} & ozvdkddzhkzdend{array}ight|$

　　在高維情況下，也同樣適用

　6）如果矩陣$A$有一行為$0$，則該矩陣行列式為$0$

　　我們看性質3）的a，假設$t=5$，而$a=0, b=0$，則一個矩陣含$0$行，其行列式與其5倍行列式相等，所以其行列式必為$0$

　7）三角矩陣的行列式是對角線上元素（主元）：$d_1, d_2, ... , d_n$的乘積

　　由性質5可知，當使用消元法將三角矩陣轉化為對角矩陣，行列式不會改變；由性質3的a）可知，對角矩陣行列式等于對角元素與單位矩陣的行列式相乘，再結合性質1可以得到性質7

　8）當$A$是奇異矩陣時，$det A=0$

　　奇異矩陣：就是該矩陣的秩不是滿秩。

　　如果$A$是奇異矩陣，通過消元法能夠得到一行為零，通過性質6能得到行列式為$0$

　　如果$A$不是奇異矩陣，通過消元得到完整的所有主元，行列式不為$0$

　　上述性質對于求非奇異矩陣的行列式非常有用。事實上，計算機在求取大矩陣時，也是通過消元法求取的（消元過程中記錄行交換的次數），消元完成后將所有主元相乘

　9）$det AB =(det A)(det B)$

　　這個性質非常有用，但是需要謹記的是兩個矩陣之和的行列式并不等于兩個矩陣行列式的和

　　$(detA)^2 =(detA^2), detspace2A=2^ndetA$

　10）$detA^T =detA$

　　$left|egin{array}{cccc}{a} & {b} \ {c} & ozvdkddzhkzdend{array}ight| = left|egin{array}{cccc}{a} & {c} \ {b} & ozvdkddzhkzdend{array}ight| = ad - bc$

　　證明：使用消元法后，$A=LU$，因此我們只需要證明$|U^TL^T|=|LU|$，由性質9及$L$是下三角矩陣，并且對角線是1，所以$|L^T|=|L|=1$，所以我們只需要證明$|U^T|=|U|$，我們知道$U$為上三角矩陣，由性質5（消元）可知$|U^T|=|U|$，得以證明

總結

以上是生活随笔為你收集整理的18-行列式及其性质的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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