一、背景

這個周末一直在鼓搗曲線曲面積分的一些題目，個人其實感覺這應該是高等數學中對科研最有用的內容了。學院在安排專業培養的時候給我們17級沒有設置大學物理，后面18級恰巧趕上工程認證，安排上了大學物理，當時覺得我們真慶幸，現在來看我要是有點大學物理的知識，對理解曲線曲面積分應該會有很大的幫助。我在理解這些積分是總喜歡從物理意義出發，在B站看了一些科普視頻，仍有一些半知不解，在這里先簡單介紹一下我的一些認識。

二、曲線曲面積分的關系

在知乎看到這樣一張圖

https://www.zhihu.com/question/30310281

很有意思，答主是地鐵方面的優秀回答者，于是給出了這樣一張地鐵路線圖，我一眼看過去還以為是自動機~(編譯原理學瞎了)。

這張圖很簡潔，由于答主沒有給出文字說明，我在這里對這張圖進行一下解釋。

將每一種積分看做一個結點，注意到每個結點之間都是雙向的。

1、一型曲線積分與定積分

一型曲線積分，也就是對弧長的曲線積分可以直接化開弧長轉換成定積分

2、二型曲線積分與定積分

二型曲線積分通過參數方程變換為定積分

3、一型曲線積分與二型曲線積分

一型曲線積分可以和二型曲線積分進行轉換

平面：

空間：

4、二型曲線積分與二重積分

格林公式

二型曲線積分可以通過格林公式轉換成二重積分

條件必須是封閉曲線，要注意正方向的選取，以及平面單連通和平面復連通，有時需要取輔助線構成封閉曲線。

斯托克斯公式

斯托克斯公式是格林公式的推廣，格林公式表達 了平面閉區域上的二重積分與其邊界曲線積分間的關系，而斯托克斯公式則把曲面上的曲面積分與沿著曲面邊界曲線的曲線積分聯系起來。

利用兩類曲面積分間的關系，可得斯托克斯公式的另一種形式

5、一型曲面積分與二重積分

一型曲面積分，也就是對坐標的曲面積分可以通過投影直接轉換成二重積分

6、二型曲面積分與二重積分

7、一型曲面積分與二型曲面積分

一型曲面積分可以和二型曲面積分進行轉換

8、曲面積分與三重積分

高斯公式

封閉的曲面積分可以通過高斯公式轉換成空間閉區域的三重積分

三、曲線積分的物理意義

內容轉載自知乎回答https://www.zhihu.com/question/352190739/answer/868011323
博主重新繪圖。

1.不均勻平面彎桿的質量

假設L為xoy面上的一個密度不均勻分布的彎桿，設L的方程為y＝y(x)，其上任意一點的密度為μ(x,y)，且μ為連續函數。為計算彎桿總質量M，我們先利用L上n-1個點將其等分成n份，每一段小弧長度用ds表示。只要n充分大，那么每一小段的密度μ可以近似視為常量，從而利用微元法，我們可以輕松得出，總質量為

這種積分，我們將其稱為(平面)第一型曲線積分。

2.變力沿曲線做功

假設平面xoy上有一物體M，受到變力F(x，y)的作用，沿著曲線L，從A點運動到了B點，如何求變力F所做的總功呢？我們采取的方法是

“力的正交分解”+“微元法”

首先，我們將力F(x,y)正交分解為水平方向的分力P(x,y)和豎直方向的分力Q(x,y)，那么很明顯，合力F所做的總功，等于水平方向分力P(x,y)所做的功和豎直方向分力Q(x,y)所做的功(注意，功是標量，本身沒有方向，我們分解的只是力！)

然后采用我們之前在計算“不均勻平面彎桿的質量”時用過的微元法----取L上n-1個點將其等分成n份，每一段小弧長度用ds表示。只要n充分大，那么每一小段的分力P和Q均可以近似視為常量，與x,y無關。從而利用微元法，我們可以輕松得出，水平方向分力P所做的總功為W1＝∫P(x,y)dx，積分域為L；豎直方向分力Q所做的總功為W2＝∫Q(x,y)dy，積分域也為L，所以變力F沿曲線L從A到B所做的總功為

這種積分，我們將其稱為(平面)第二型曲線積分。

綜上，我們可以看出，因為實際問題的需要，我們將曲線積分分為了第一型和第二型。它們之所以都叫曲線積分，那是因為二者的積分域均為曲線L；之所以又有區別，那是因為二者所解決的問題不同，第一型曲線積分是為了計算不均勻彎桿的質量，第二型曲線積分是為了計算變力沿曲線做功。

3.兩類曲線積分的區別與聯系

(一)區別

兩類曲線積分之間的區別確實太多了。

首先，它們的背景意義不同，這便是重要區別之一；

其次，根據背景意義，我們可以輕松得出，第一型曲線積分，是沒有方向性的，它不依賴于積分曲線L的走向(因為質量M與L的方向無關)。而第二型曲線積分的值，明顯依賴與積分曲線L的方向(因為從背景意義來說，即使力的大小方向不變，但是物體如果沿著L從B到A反向運動，則F所做的功會變為相反數)

所以，有無方向性，是兩類曲線積分之間的重大區別

(二)聯系

二者的聯系，可以從純數學角度推導，具體推導過程此處略去，其轉換公式為

其中，α和β是有向曲線L在點(x,y)的方向角。

下面，我從物理意義的角度來解釋該轉換公式為何成立——

我們采取兩種不同的方式計算【變力沿曲線做功】的問題。

第一種方式便是第二類曲線積分，方法為“力的正交分解+微元法”，將力分解為水平方向的P和豎直方向的Q，前文已有描述，此處不再贅述，只給出公式為

——①

第二種方式，是建立在第一種方法的基礎上，區別只是將P和Q共同投影到了物體運動方向，如圖所示

設有向曲線為L，曲線在點(x,y)處切向量的方向角分別為α和β，切線記為l。

為了算F所做總功，先將F正交分解為P和Q，再將P和Q投影到物體運動方向。根據圖示，P在l方向的投影力的大小為Pcosα，Q在l方向的投影力的大小為Qcosβ，所以合力F在運動方向的分力大小等于:

再次使用微元法，我們可以輕松得出力F所做的總功為

——②

由①②立得

最后，再次感謝樓下的匿名大佬提供的公式代碼。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的曲线曲面积分的关系的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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