前言

鱉臑(bi(ar{e})n(grave{a})o)是我國古代對四個(gè)面均為直角三角形的三棱錐的稱呼。在涉及鱉臑的命題中常常需要將其還原為長方體。

如圖所示，三棱錐 (A-BCD) 是一個(gè)鱉臑，其中( riangle ABC)、( riangle ABD)、( riangle BCD)、( riangle ACD)都是(Rt riangle)，(angle ABC)、(angle ABD)、(angle DCB)、(angle DCA)都是直角，其中的三條關(guān)鍵線段(AB)、(BC)、(CD)[圖中的紅色部分線段]兩兩垂直[或相交垂直就，或異面垂直]；

還原過程

作圖方法：在平面(ABC)內(nèi)，過點(diǎn)(A)做直線(AE//BC)，過點(diǎn)(C)做直線(CE//BA)，與(AE)相交于點(diǎn)(E)，

在平面(BCD)內(nèi)，過點(diǎn)(D)做直線(DH//CB)，過點(diǎn)(B)做直線(BH//CD)，與(DH)相交于點(diǎn)(H)，

過點(diǎn) (D) 做 (DF//CE)，過點(diǎn) (E) 做 (EF//CD) 交直線 (DF) 于點(diǎn) (F)，

過點(diǎn) (H) 做 (HG//AB)，過點(diǎn) (A) 做 (AG//BH) 交直線 (HG) 于點(diǎn) (G)，聯(lián)結(jié)(GF)，

則得到的六面體(BHDC-AGFE)為長方體；其中線段 (AD) 為其體對角線；

此時(shí)如果做長方體的外接球，則線段 (AD) 為外接球的直徑；

典例剖析

【2021屆高三文科數(shù)學(xué)月考四第8題】鱉臑(bi(ar{e})n(grave{a})o)是我國古代對四個(gè)面均為直角三角形的三棱錐的稱呼。已知三棱錐 (A-BCD) 是一個(gè)鱉臑，其中(ABperp BC)，(ABperp BD)，(BCperp CD)，且(AB=6)，(BC=3)，(DC=2)，則三棱錐(A-BCD)的外接球的體積是【(quad)】

$A.cfrac{49pi}{3}$ $B.cfrac{343pi}{2}$ $C.49pi$ $D.cfrac{343pi}{6}$

解析：由(ABperp BC)，(ABperp BD)，且(BCcap BD=B)，可得 (ABperp) 平面 (BCD)，

則 (ABperp CD)，又(BCperp CD)， 且 (ABcap BC=B)， 故 (CDperp AC)，

則 (AD) 為三棱錐(A-BCD)的外接球直徑，[具體還原過程參照上述過程]；

由于 (AB=6)， (BC=3)， (DC=2)， 故(AD=sqrt{6^{2}+3^{2}+2^{2}}=7)，

則三棱錐 (A-BCD) 的外接球的半徑為(R=cfrac{7}{2}).

故三棱錐 (A-BCD) 的外接球的體積(V=cfrac{4}{3}pi R^3=cfrac{4}{3}pi (cfrac{7}{2})^3=cfrac{343pi}{6})，故選(D).

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的鳖臑还原长方体的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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