這一篇文章開始討論有關二項式系數的一系列問題。

基本恒等式：

所謂二項式系數，其實就是我們表示組合情況用到的符號：C(n,k)，n稱其上指標，k為下指標。而之所以將其稱為二項式系數，是因為它和后面的二項式定理有著緊密的聯系。

一般展開式：

我們先從C(n,k)的內涵出發，眾所周知，它表示從n個元素取出k個元素的情況數。通過其表征的組合含義，我們來尋求它的計算公式。

我們按照順序取出k個元素，由基本的組合原理，有n*(n-1)*(n-1)……3*2*1種情況，由于這個過程我們外加了”一定順序“這個條件，因此在所有情況的基礎上應該除以k的階乘，用以消除這種順序，即C(n,k) = n*(n-1)*(n-2)*……*3*2*1 / k! ①

階乘展開式：

結合一些代數技巧，我們可以將其寫成階乘的形式，C(n,k) = n! / k! * (n-k)! ②

進一步來看，我們如果把②右式提出一個n/k，會發現(n-1)!/(k-1)! * [(n-1) - (k-1)]!可以轉化成另外一個二項式系數C(n-1,k-1),即有如下的恒等式成立。

吸收/提取恒等式：

C(n,k) = n/k*C(n-1,k-1) ③

基于恒等式③，我們來證明這樣一個下標不變的另一個恒等式：(n-k)C(n,k) = nC(n-1,k) ④

在證明④之前，我們需要知道的是，二項式系數存在“對稱性”。

對稱恒等式：

即C(n,k) = C(n,n-k) ⑤

這很好理解，從組合意義的角度來看，對于C(n,k)種取k個元素的情況，都一一對應這剩下的n-k個元素，因此情況數是相同的。

那么我們開始④證明：(n-k)C(n,k) = (n-k)C(n,n-k)

=nC(n-1,n-k-1)

=nC(n-1,k)

加法/歸納恒等式：

其實研究而二項式系數是離不開楊輝三角的，通過觀察我們會很容易發現它的一條性質，每個數字等于它“肩膀”上的兩個數字之和，即用數學語言表達，有恒等式C(n,k) = C(n-1,k) + C(n-1,k-1) ⑥

通過組合意義我們會非常好理解這條恒等式為什么成立，假設我們想知道從n個雞蛋中拿出k個雞蛋的方法數，n個雞蛋中有1個壞雞蛋，那么所有方法數可以分成如下兩種情況：

該方法中沒有拿這個壞雞蛋，則有C(n-1,k)種情況。

該方法中拿了這個壞雞蛋，則有C(n-1,k-1)種情況。

故有恒等式⑥成立。本質上講，這個恒等式給出了生成楊輝三角各個數字的遞推關系。

那么現在利用這個恒等式，我們將C(r+n+1,n)展開。

即有C(r+n+1,n) = C(r+n,n)+C(r+n,n-1)

=C(r+n,n) +C(r+n-1,n-1) + C(r+n-1,n-2)

=……

=C(r+n,n)+ ......+C(r+1,1) + C(r,0)

=∑C(r+k,k),k∈[1,n] ⑦

我們不難看出這個過程中的模式，即利用加法恒等式展開的過程中，利用加法恒等式先展開下指標較小的項。那么下面我們反過來，從下指標較大的開始。

上指標求和恒等式：

C(n+1,m+1) = C(n,m+1) + C(n,m)

=C(n-1,m+1)+C(n-1,m)+C(n,m)

=......

=C(0,m) + C(1,m) + C(2,m) + ......C(n,m)

= ∑C(k,m),k∈[0,n] ⑧

上指標反轉恒等式：

我們考察C(n,k)= n(n-1)...(n-k+1) / k!，我們來將分子做一個有意思的變換，n(n-1)...(n-k+1) = (-1)^k*(k-n-1)(k-n-2)...(1-n)(-n) = (-1)^k*C(k-n-1,k),由此我們即可得出如下的恒等式。

C(n,k) = C(k-n-1,k) * (-1)^k ⑨

為了驗證這個恒等式的正確性，我們對C(n,k)進行一次上指標反轉，即C(n,k) = C(k-n-1,k)* (-1)^k。

我們繼續對右式進行一次上指標反轉，有C(k-n-1,k)* (-1)^k = C(k-(k-n-1)-1,k) * (-1)^2k = C(n,k)。可以看到，對C(n,k)進行兩次上指標反轉的轉換，結果變成了C(n,k)本身，這足以作證恒等式本身邏輯的自洽性。

那么我們基于這個恒等式進行更進一步的推導。

對于(-1)^m * C(-n-1,m) ,我們進行上指標反轉(自右向左)，有(-1)^m * C(-n-1,m)= C(m+n,n)。

對于(-1)^n * C(-m-1,n) ,我們進行上指標反轉(自右向左)，有(-1)^n * C(-m-1,n)= C(m+n,n).

所以有恒等式(-1)^m * C(-n-1,m)= (-1)^n * C(-m-1,n)成立。 ⑩

如果結合恒等式⑦，我們還可以化簡帶有∑和(-1)^k的二項式系數。

∑C(r,k) * (-1)^k = ∑C(k-r-1,k) = C(n-r,n) = (-1)^n * C(r-1,n) , k<= n。

即∑C(r,k) * (-1)^k= (-1)^n * C(r-1,n) , k<= n。

三項式版恒等式：

C(n,m) * C(m,k) = C(n,k) *C(n-k,m-k) ?

證明：C(n,m) * C(m,k) = n!/(n-m)!*m! * m!/(m-k)!*k! 1.

= n! / (n-m)! * (m-k)! * k! 2.

= n!/(n-k)!*k! *(n-k)!/(n-m)!*(m-k)! 3.

=C(n,k) * C(n,k,m-k)4.

證畢。

二項式定理：

(x+y)^n = ∑C(n,a)x^a * y^(n-1) , a∈[0,n]。

定理的正確性可依然從其組合意義來理解。

我們考察C(n,a) =n!/(n-a)! * a!，則我們可以將C(a+b,a)寫成(a+b)! / a!b!,則我們可以把二項式定理改成如下更漂亮的形式。

(x+y)^n = ∑(a+b)! / a!b! x^a * y^b , a∈[0,n],a+b = n. ?

三項式定理：

(x+y+z)^n = ∑C(a+b+c,b+c) * C(b+c,c) x^a * y^b * z^c， a∈[0,n]，a+b+c = n.

我們采取類似處理二項式系數的方法，有C(a+b+c , b+c) * C(b+c,c) = (a+b+c)!/a!b!c!.

即有(x+y+z)^n = ∑(a+b+c)!/a!b!c! * x^a * y^b * z^c , a∈[0,n] , a+b+c = n。

由此我們可以做出推廣，對于(x1+x2+x3...+xm)^n，我們利用這種處理系數的方法，可以歸納出一般的規律。

我們記C(a+b+c,a,b,c)表示將a+b+c個元素分成各含有a、b、c元素的方法數。

多項式系數：

C(x1+x2+...+xm,x1,x2,...,xm) =(x1+x2+x3...xm)/x1!x2!x3!...xm!

范德蒙德卷積公式：

∑C(r,k)*C(s,n-k) = C(r+s,n)k∈[0,n]

我們從一個組合解釋來理解這個恒等式，假設我們想要從r個男人和s個女人的人群中選n個人，一方面，我們可以用C(r+s,n)來表示這個過程的方法數。我們還可以從另一個角度來看，我們先從r個男人中選取k個，隨后從s個女人中選取n-k個人，利用分步乘法定理，我們可以用∑C(r,k)*C(s,n-k)來表示。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的《具体数学》——二项式系数的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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