Description

小D 被邀請到實驗室，做一個跟圖片質量評價相關的主觀實驗。實驗用到的圖片集一共有 N 張圖片，編號為 1 到 N。實驗分若干輪進行，在每輪實驗中，小 D會被要求觀看某兩張隨機選取的圖片， 然后小D 需要根據他自己主觀上的判斷確定這兩張圖片誰好誰壞，或者這兩張圖片質量差不多。 用符號“<”、“>”和“=”表示圖片 x和y（x、y為圖片編號）之間的比較：如果上下文中 x 和 y 是圖片編號，則 x<y 表示圖片 x“質量優于”y，x>y 表示圖片 x“質量差于”y，x=y表示圖片 x和 y“質量相同”；也就是說，這種上下文中，“<”、“>”、“=”分別是質量優于、質量差于、質量相同的意思；在其他上下文中，這三個符號分別是小于、大于、等于的含義。圖片質量比較的推理規則（在 x和y是圖片編號的上下文中）：（1）x < y等價于 y > x。（2）若 x < y 且y = z，則x < z。（3）若x < y且 x = z，則 z < y。（4）x=y等價于 y=x。（5）若x=y且 y=z，則x=z。 實驗中，小 D 需要對一些圖片對(x, y)，給出 x < y 或 x = y 或 x > y 的主觀判斷。小D 在做完實驗后， 忽然對這個基于局部比較的實驗的一些全局性質產生了興趣。在主觀實驗數據給定的情形下，定義這 N 張圖片的一個合法質量序列為形如“x1 R1 x2 R2 x3 R3 …xN-1 RN-1 xN”的串，也可看作是集合{ xi Ri xi+1|1<=i<=N-1}，其中 xi為圖片編號，x1,x2,…,xN兩兩互不相同（即不存在重復編號），Ri為<或=，“合法”是指這個圖片質量序列與任何一對主觀實驗給出的判斷不沖突。 例如： 質量序列3 < 1 = 2 與主觀判斷“3 > 1，3 = 2”沖突（因為質量序列中 3<1 且1=2，從而3<2，這與主觀判斷中的 3=2 沖突；同時質量序列中的 3<1 與主觀判斷中的 3>1 沖突） ，但與主觀判斷“2 = 1，3 < 2”? 不沖突；因此給定主觀判斷“3>1，3=2”時，1<3=2 和1<2=3 都是合法的質量序列，3<1=2 和1<2<3都是非法的質量序列。由于實驗已經做完一段時間了，小D 已經忘了一部分主觀實驗的數據。對每張圖片 i，小 D 都最多只記住了某一張質量不比 i 差的另一張圖片 Ki。這些小 D 仍然記得的質量判斷一共有 M 條（0 <= M <= N），其中第i 條涉及的圖片對為(KXi, Xi)，判斷要么是KXi?? < Xi? ，要么是KXi = Xi，而且所有的Xi互不相同。小D 打算就以這M 條自己還記得的質量判斷作為他的所有主觀數據。現在，基于這些主觀數據，我們希望你幫小 D 求出這 N 張圖片一共有多少個不同的合法質量序列。我們規定：如果質量序列中出現“x = y”，那么序列中交換 x和y的位置后仍是同一個序列。因此： 1<2=3=4<5 和1<4=2=3<5 是同一個序列， 1 < 2 = 3 和 1 < 3 = 2 是同一個序列，而1 < 2 < 3 與1 < 2 = 3是不同的序列，1<2<3和2<1<3 是不同的序列。由于合法的圖片質量序列可能很多， 所以你需要輸出答案對10^9 + 7 取模的結果

Input

第一行兩個正整數N,M，分別代表圖片總數和小D仍然記得的判斷的條數； 接下來M行，每行一條判斷，每條判斷形如”x < y”或者”x = y”。?

Output

?輸出僅一行，包含一個正整數，表示合法質量序列的數目對 10^9+7取模的結果。

Sample Input

5 4
1 < 2
1 < 3
2 < 4
1 = 5

Sample Output

5

HINT

?不同的合法序列共5個，如下所示：?

?

1 = 5 < 2 < 3 < 4?

?

1 = 5 < 2 < 4 < 3?

?

1 = 5 < 2 < 3 = 4?

?

1 = 5 < 3 < 2 < 4?

?

1 = 5 < 2 = 3 < 4?

?

100%的數據滿足N<=100。? 題解： 假設a<b則a向b連一條邊，如果a=b則將a和b兩點合并成一個點（用并查集維護） 然后因為題目中有保證“對每張圖片 i，小 D 都最多只記住了某一張質量不比 i 差的另一張圖片 Ki。” 所以每個點最多有一個入邊，說明這要么是個森林，要么還有若干個環（有環顯然答案為0） 然后設f[u][i]表示把以u為根的子樹所有點排成一個合法序列（相等的點看成一個），長度為i（即有i-1個小于號）的方案數 那么如何將兩個獨立的子樹合并 假如要將以x為根的子樹和以y為根的子樹合并 設g[i]表示合并后劃分為i段 假如我們枚舉了f[x][j]和f[y][k]，那么他們能更新的i滿足max(j,k)<=i<=j+k 現在可以想象成有j個白球，k個黑球，有i個盒子，每個盒子每種球只能放1個，沒有空盒 因為我們可以想成先把j個白球放好，現在還有i-j個空位必須由黑球填，還剩k+j-i個黑球需要放到j個有白球的盒子 這個方案數為c(i,j)*c(j,k+j-i) 所以g[i]+=f[x][j]*f[y][k]*c(i,j)*c(j,k+j-i) (max(j,k)<=i<=j+k) 然后就沒有然后了 code： 1 #include<cstdio> 2 #include<iostream> 3 #include<cmath> 4 #include<cstring> 5 #include<algorithm> 6 #define maxn 105 7 #define mod 1000000007 8 using namespace std; 9 char ch; 10 bool ok; 11 void read(int &x){ 12 for (ok=0,ch=getchar();!isdigit(ch);ch=getchar()) if (ch=='-') ok=1; 13 for (x=0;isdigit(ch);x=x*10+ch-'0',ch=getchar()); 14 if (ok) x=-x; 15 } 16 int c[maxn][maxn]; 17 int n,m,a,b,tot,now[maxn],son[maxn],pre[maxn],deg[maxn]; 18 int fa[maxn],siz[maxn],cnt,u[maxn],v[maxn],f[maxn][maxn],g[maxn]; 19 bool vis[maxn]; 20 int find(int x){return fa[x]==x?fa[x]:fa[x]=find(fa[x]);} 21 void put(int a,int b){pre[++tot]=now[a],now[a]=tot,son[tot]=b,deg[b]++;} 22 bool dfs(int u,int fa){ 23 vis[u]=1; 24 bool flag=1; 25 for (int p=now[u],v=son[p];p;p=pre[p],v=son[p]) 26 if (v!=fa){ 27 if (vis[v]) return false; 28 if (!dfs(v,u)) return false; 29 if (!flag){ 30 memset(g,0,sizeof(g)); 31 for (int j=1;j<=siz[u];j++) 32 for (int k=1;k<=siz[v];k++) 33 if (f[u][j]&&f[v][k]) 34 for (int i=max(j,k);i<=j+k;i++) 35 g[i]=(g[i]+1LL*f[u][j]*f[v][k]%mod*c[i][j]%mod*c[j][k-i+j]%mod)%mod; 36 siz[u]+=siz[v]; 37 for (int i=1;i<=siz[u];i++) f[u][i]=g[i]; 38 } 39 else{ 40 siz[u]=siz[v],flag=0; 41 for (int i=1;i<=siz[u];i++) f[u][i]=f[v][i]; 42 } 43 } 44 if (u){ 45 siz[u]++; 46 if (flag) f[u][1]=1; 47 else for (int i=siz[u];i>=1;i--) f[u][i]=f[u][i-1]; 48 } 49 return true; 50 } 51 int main(){ 52 read(n),read(m); 53 for (int i=1;i<=n;i++) fa[i]=i; 54 for (int i=0;i<=n;i++) c[i][0]=1; 55 for (int i=1;i<=n;i++) for (int j=1;j<=i;j++) c[i][j]=(c[i-1][j]+c[i-1][j-1])%mod; 56 for (int i=1;i<=m;i++){ 57 read(a); 58 for (;ch!='<'&&ch!='=';ch=getchar()); 59 if (ch=='='){ 60 read(b); 61 if (find(a)!=find(b)) fa[find(a)]=find(b); 62 continue; 63 } 64 read(b); 65 u[++cnt]=a,v[cnt]=b; 66 } 67 for (int i=1;i<=cnt;i++){ 68 a=u[i],b=v[i]; 69 if (find(a)!=find(b)) put(find(a),find(b)); 70 else{puts("0");return 0;} 71 } 72 for (int i=1;i<=n;i++) if (!deg[find(i)]) put(0,find(i)); 73 if (!dfs(0,-1)){puts("0");return 0;} 74 for (int i=1;i<=n;i++) if (fa[i]==i&&!vis[i]){puts("0");return 0;} 75 int ans=0; 76 for (int i=1;i<=siz[0];i++) ans+=f[0][i],ans%=mod; 77 printf("%d\n",ans); 78 return 0; 79 }

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總結

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