一、樹的定義

　　1.樹（Tree）是n（n>=0）個結點的有限集。n=0時稱為空樹。在任意一棵非空樹中：（1）有且僅有一個特定的稱為根（Root）的結點；（2）當n>1時，其余結點可分為m（m>0）個互不相交的有限集T1、T2、...Tm，其中每一個集合本身又是一棵樹，并且稱為根的子樹（SubTree）。

　　2.結點分類：樹的結點包含一個數據元素及若干指向其子樹的分支。結點擁有的子樹數稱為結點的度（Degree）。度為0的結點稱為葉結點（Leaf）或終端結點；度不為0的結點稱為非終端結點或分支結點。除根結點之外，分支結點也稱為內部結點。樹的度是樹內各結點的度的最大值。

　　3.結點間關系：結點的子樹的根稱為該結點的孩子（Child），該結點稱為孩子的雙親（Parent）。同一個雙親的孩子之間互稱為兄弟（Sibling），結點的祖先是從根到該結點所經分支上的所有結點，反之，以某結點為根的子樹中任一結點都稱為該結點的子孫。

　　4.結點的層次（Level）：從根開始定義起，根為第一層，根的孩子為第二層次。若某結點在第i層，則其子樹的根就在第i+1層。其雙親在同一層的結點互為堂兄弟。樹中結點的最大層次稱為樹的深度（Depth）或高度。

　　5.如果將樹中結點的各子樹看成從左到右是有次序的，不能互換的，則稱該樹為有序樹，否則稱為無序樹。森林（Forest）是m（m>=0）棵互不相交的樹的集合。對樹中每個結點而言，其子樹的集合即為森林。

　　二、樹的存儲結構

　　樹的存儲結構有四種不同的表示法：雙親表示法、孩子表示法、雙親孩子表示法、孩子兄弟表示法。

　　1.雙親表示法

　　以一組連續空間存儲樹的結點，同時在每個結點中，附設一個指示器指示其雙親結點在數組中的位置。結點結構包括data數據域和parent指針域。約定根結點的位置與設置為-1。這種存儲結構，可以根據結點的parent指針很容易找到它的雙親結點，所用的時間復雜度為O(1)，直到parent為-1時，表示找到了樹結點的根。但是，要知道結點的孩子是什么，只能遍歷整個結構才行。

　　為了便于找到結點的孩子是什么，可以增加一個結點最左邊孩子的域firstchild，叫它長子域，這樣就很容易得到結點的孩子。如果沒有孩子的結點，這個長子域就設置為-1。對于有2個孩子來說，知道了長子，另一個當然就是次子了。

　　為了便于體現各兄弟之間的關系，可以增加一個右兄弟域rightsib來記錄每個結點右兄弟的下標，如果右兄弟不存在，就設置為-1。

　　2.孩子表示法

　　由于樹中每個結點可能有多棵子樹，可以考慮用多重鏈表，即每個結點有多個指針域，其中每個指針指向一棵子樹的根結點，把這種方法叫做多重鏈表表示法。由于樹的每個結點的讀，也就是它的孩子個數是不同的，所以有兩種方案來解決。

　　方案一：指針域的個數就等于樹的度，也就是各個結點度的最大值。適用于樹的各結點度相差很小的情況下，因為開辟的空間都被充分利用了。

　　方案二：每個結點指針域的個數等于該結點的度，專門取一個位置來存儲結點指針域的個數。這種方法克服了浪費空間的缺點，對空間利用了是很高了，但是由于各個結點的鏈表是不相同的結構，加上要維護結點的度的數值，在運算上就會帶來時間上的損耗。

　　孩子表示法既可以減少空指針的浪費又能使結點結構相同。具體辦法是，把每個結點的孩子結點排列起來，以單鏈表作為存儲結構，則n個結點有n個孩子鏈表，如果是葉子結點則次單鏈表為空。然后n個頭指針又組成一個線性表，采用順序存儲結構，存放進一個一維數組中。表頭數組的表結構包括data數據域和firstchild孩子鏈表頭指針域。孩子鏈表的孩子結點的結構包括child數據域，用來存儲某個結點在表頭數組中的下標，還有next指針域，用來存儲指向某結點的下一個孩子結點的指針。

　　3.雙親孩子表示法

　　對于孩子表示法來說，這樣的結構對于查找某個結點的某個孩子，或者找某個結點的兄弟，只需要查找這個結點的孩子單鏈表即可。對于遍歷整棵樹也是很方便的，對頭結點的數組循環即可。但是，要想知道某個結點的雙親是誰，就必須要遍歷整棵樹才行。可以把雙親表示法和孩子表示法綜合一下形成雙親孩子表示法，即在頭結點增加一個parent指針域即可。

　　4.孩子兄弟表示法

　　任意一棵樹，它的結點的第一個孩子如果存在就是唯一的，它的右兄弟如果存在也是唯一的。因此，可以將結點結構設計成這樣：data數據域，firstchild指針域用來存儲該結點的第一個孩子結點的存儲地址，rightsib指針域用來存儲該結點的右兄弟結點的存儲地址。

　　孩子兄弟表示法，給查找某個結點的某個孩子帶來了方便，只需要通過firstchild找到次結點的長子，再通過長子結點的right找到它的二弟，接著一直下去，直到找到具體的孩子。

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的数据结构（十八）树的定义与存储结构的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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