復(fù)習(xí)李代數(shù)感覺(jué)忽然想起了很久之前看到的別的證明，在這里記錄一下。

我們知道代數(shù)中有很多『自由』對(duì)象，下面列舉幾個(gè)。

• 自由群。一個(gè)集合$X$，存在$F_X$以及映射$X\stackrel{\iota}\to F_X$使得如下的泛性質(zhì)成立$$\forall \textrm{群} G, \textrm{映射} X\stackrel{\varphi}\to G \quad? \exists ! \textrm{群同態(tài)}F_X\stackrel{\hat{\varphi}}\to G\quad? \textrm{s.t.} \quad \left[X\stackrel{\iota}\to F_X\stackrel{\hat{\varphi}}\to G\right]=\left[X\stackrel{\varphi}\to G\right]$$
• 外代數(shù)。一個(gè)線性空間$V$，存在外代數(shù)$\bigwedge^n V$以及映射$V^n\stackrel{\pi}\to \bigwedge^n V$使得如下的泛性質(zhì)成立$$\forall \textrm{線性空間} W, \textrm{$n$-交錯(cuò)線性函數(shù)} V^n\stackrel{\varphi}\to W.\quad? \exists ! \textrm{線性映射}\bigwedge^n V\stackrel{\hat{\varphi}}\to W\quad? \textrm{s.t.} \quad \left[V^n\stackrel{\pi}\to \bigwedge^n V\stackrel{\hat{\varphi}}\to W\right]=\left[V^n\stackrel{\varphi}\to W\right]$$
• 泛包絡(luò)代數(shù)。一個(gè)李代數(shù)$\mathfrak{g}$，存在$U(\mathfrak{g})$以及映射$\mathfrak{g}\stackrel{\iota}\to U(\mathfrak{g})$使得如下的泛性質(zhì)成立$$\forall \textrm{結(jié)合代數(shù)} R, \textrm{李代數(shù)同態(tài)} \mathfrak{g}\stackrel{\varphi}\to R \quad? \exists ! \textrm{結(jié)合代數(shù)同態(tài)}U(\mathfrak{g})\stackrel{\hat{\varphi}}\to R\quad? \textrm{s.t.} \quad \left[\mathfrak{g}\stackrel{\iota}\to U(\mathfrak{g})\stackrel{\hat{\varphi}}\to R\right]=\left[\mathfrak{g}\stackrel{\varphi}\to R\right]$$

他們的交換圖如下$$\begin{array}{ccc}X&\stackrel{\iota}\to& F_X \\ & \searrow?& \downarrow \\ && G\end{array}　　\qquad　　\begin{array}{ccc}V^n&\stackrel{\pi}\to&?\bigwedge^n V \\ & \searrow?& \downarrow \\ && W\end{array}　　\qquad　　\begin{array}{ccc}\mathfrak{g}&\stackrel{\iota}\to& U(\mathfrak{g}) \\ & \searrow?& \downarrow \\ && R\end{array}$$

撇開泛性質(zhì)不談，這不是本文要討論的重點(diǎn)。我們注意到他們的構(gòu)造其實(shí)有很大的類似之處，首先在于其『構(gòu)造』都集合論地來(lái)自某個(gè)集合的商集（或商空間，但本質(zhì)上也是商空間），但是他們通常都有如下關(guān)于元素形式的刻畫：

• 自由群。對(duì)于自由群$F_X$的每一個(gè)字都可以約成唯一的一個(gè)不可約字。
• 外代數(shù)。如果$V$有基$X$，給$X$排定全序，則$\bigwedge^n V$具有基$\{x_1\wedge \ldots \wedge x_n: x_i\in X, x_1<\ldots<x_n\}$。
• 泛包絡(luò)代數(shù)。如果李代數(shù)$\mathfrak{g}$作為線性空間具有基底$X$，給$X$排定全序，則$U(\mathfrak{g})$具有基$\{x_1\otimes \ldots \otimes x_n: x_i\in X, x_1\leq \ldots\leq x_n\}$。

他們的證明都十分繁復(fù)，下面，方便起見，這里采用我比較想要談?wù)摰哪欠N證明。

定理(自由群結(jié)構(gòu)定理).?對(duì)于自由群$F_X$的每一個(gè)字都可以約成唯一的一個(gè)不可約字.?

證明.?將所有不可約字收集起來(lái),?具體來(lái)說(shuō)$$W=\{x_1\ldots x_n: x_i\in X\cup X^{-1}, n\geq 0, x_i\neq x_{i+1}^{-1}\}$$我們要定義$F_X$在其上的作用,?為此先定義$X$在$W$上中的作用如下$$x\cdot (x_1\ldots x_n)=\begin{cases} xx_1\ldots x_n& x\neq x_1^{-1}\\ x_2\ldots x_n & x=x_1^{-1}\end{cases}$$上述作用實(shí)際上是$X \to \{\textrm{$W$到自身的雙射}\}$, 根據(jù)泛性質(zhì),?這定義了群同態(tài)$F_X\to \{\textrm{$W$到自身的雙射}\}$, 這定義了$F_X$在$W$的作用.?首先,?每個(gè)字都可以被約成不可約字這是自然的事甚至是可以找到『算法『的.?為了看到是唯一的,?關(guān)鍵是兩個(gè)不同不可約字不能夠相等.?注意到對(duì)于不可約字$w\in F_X$總有$$w\cdot \underbrace{\wedge}_{\textrm{$W$中的空字}}=w\in W$$故若有兩個(gè)不同的不可約字$w_1\neq w_2$,?他們?cè)?F_X$中相等,?那么$$W\ni w_1=w_1\cdot \wedge =w_2\cdot \wedge=w_2\in W$$矛盾!?從而$w_1$和$w_2$中不相等. $\square$?

實(shí)際上這個(gè)命題也可以組合地證明，這個(gè)組合證明是我自己想到的，不過(guò)后來(lái)發(fā)現(xiàn)很多人已經(jīng)給出過(guò)這樣的證明了，下次如果有時(shí)間可以再寫一篇介紹。

定理(外代數(shù)結(jié)構(gòu)定理).?如果$V$有基$X$，給$X$排定全序，則$\bigwedge^n V$具有基$\{x_1\wedge \ldots \wedge x_n: x_i\in X, x_1<\ldots<x_n\}$.?

證明.?不難證明,?上述集$X=\{x_1\wedge \ldots \wedge x_n: x_i\in X, x_1<\ldots<x_n\}$生成了整個(gè)$\bigwedge^n V$.?問(wèn)題的關(guān)鍵落在線性無(wú)關(guān)上,?對(duì)于任意一個(gè)$x_\bullet=x_1\wedge \ldots \wedge x_n$.?作線性函數(shù)$f:V^n\to k$,?使得$$f(y_1,\ldots,y_n)=\begin{cases}　　\operatorname{sgn}\sigma& y_i=x_{\sigma(i)}, \sigma\in \mathfrak{S}_n\\　　0 & \textrm{$y_i$不是$x_i$的一個(gè)排列}　　\end{cases}$$不難驗(yàn)證$f$是良定義的反對(duì)稱線性函數(shù),?從而根據(jù)泛性質(zhì)存在$\hat{f}: \bigwedge^n V\to k$,?使得$\hat{f}$殺死$X$中除了$x_\bullet$的所有元素, 這樣就證明了線性無(wú)關(guān). $\square$

組合的證明可見Grillet的Abstract Algebra?P525?Proposition?4.5.?

定理(Poincaré-Birkhoff-Witt). 如果李代數(shù)$\mathfrak{g}$作為線性空間具有基底$X$, 給$X$排定全序, 則$U(\mathfrak{g})$具有基$\{x_1\otimes \ldots \otimes x_n: x_i\in X, x_1\leq \ldots\leq x_n\}$.?

證明.?因?yàn)?x\otimes y=y\otimes x+[x,y]$,?故對(duì)長(zhǎng)度歸納可知上述集$\{x_1\otimes \ldots \otimes x_n: x_i\in X, x_1\leq \ldots\leq x_n\}$生成了$U(\mathfrak{g})$,?同樣,?問(wèn)題還是落在線性無(wú)關(guān)上.?

具體來(lái)說(shuō), 考慮$X$中全體長(zhǎng)度為$n$的鏈$$X_n=\{(x_1,\ldots,x_n): x_i\in X, x_1\leq \ldots\leq x_n\}$$考慮以$\bigcup_{n=0}^\infty X_n$為基生產(chǎn)的線性空間$V$. 我們下面賦予$V$以$\mathfrak{g}$-模結(jié)構(gòu), 遞歸地定義$$x\cdot (x_1,\ldots,x_n)=\begin{cases}
(x,x_1,\ldots,x_n)& x\leq x_1\\
x_1\cdot (x \cdot (x_2,\ldots,x_n))+[x,x_1]\cdot (x_2,\ldots,x_n)& x>x_1
\end{cases}$$分各種情況分別驗(yàn)證對(duì)每個(gè)$v\in \bigcup_{n=0}^\infty X_n$
$$x\cdot (y \cdot v)-y\cdot (x \cdot v)=[x,y]\cdot v$$
即可, 設(shè)$v=(z,\ldots)$,?驗(yàn)證如下

• $x>y<z$時(shí), $$\begin{array}{ll}\quad x\cdot (y \cdot (z,\ldots))-y\cdot (x \cdot (z,\ldots))\\= x\cdot (y,z,\ldots)-y\cdot (x \cdot (z,\ldots))& \because y<z\\= y\cdot (x\cdot (z,\ldots))+[x,y]\cdot (z,\ldots)-y\cdot (x \cdot (z,\ldots))& \because x>y\\= [x,y]\cdot (z,\ldots)\end{array}$$
• $y>x<z$時(shí)是類似的.
• $y>z<x$時(shí), 不妨歸納$(\ldots)$的長(zhǎng)度, $$\begin{array}{ll}\quad x\cdot (y \cdot (z,\ldots))-y\cdot (x \cdot (z,\ldots))\\= x\cdot (z\cdot (y\cdot (\ldots)))-y\cdot (z\cdot (x\cdot (\ldots)))\\+ x\cdot ([y,z]\cdot (\ldots))-y\cdot([x,z]\cdot (\ldots))& \because x>z,y>z\\= z\cdot (x\cdot (y\cdot (\ldots)))-z\cdot (y\cdot (x\cdot (\ldots)))\\+ [x,z]\cdot (y\cdot (\ldots))-[y,z]\cdot (x\cdot (\ldots))\\+ x\cdot ([y,z]\cdot (\ldots))-y\cdot([x,z]\cdot (\ldots))& \because x>z,y>z\\ = z\cdot ([x,y]\cdot (\ldots)) +([[x,z],y]+[x,[y,z]])\cdot (\ldots) & \textrm{對(duì)$(\ldots)$長(zhǎng)度歸納}\\ =z\cdot ([x,y]\cdot (\ldots))-[[x,y],z]\cdot (\ldots) & \because \textrm{Jacobi恒等式}\\ =[x,y]\cdot (z\cdot (\ldots)) & \textrm{對(duì)$(\ldots)$長(zhǎng)度歸納} \end{array}$$

這樣就驗(yàn)證完$V$構(gòu)成一個(gè)$\mathfrak{g}$-模了, 這樣$V$也是$U\mathfrak{g}$-模, 如果在$U\mathfrak{g}$中有線性關(guān)系
$$\sum_{(x_1,\ldots,x_n)\in \bigcup X_n}c_{(x_1,\ldots,x_n)}x_1\otimes \ldots \otimes x_n=0$$
將其作用在$X_0=\{\varnothing\}$上, 得到
$$\sum_{(x_1,\ldots,x_n)\in \bigcup X_n} c_{(x_1,\ldots,x_n)}(x_1,\ldots,x_n)=0$$
從而$c_*=0$, 故線性無(wú)關(guān), 命題得證. $\square$

?這個(gè)證明采自Serre的Lie Algebra and Lie Group P14?Theorem 4.3。

誠(chéng)然，從商集出發(fā)，經(jīng)過(guò)嚴(yán)格演算以證明二者無(wú)相等或線性相關(guān)關(guān)系而將優(yōu)良泛性質(zhì)推到一邊將使證明落入介于集合論和組合的長(zhǎng)篇大論中去。上述陳述的證明則相比之下顯得更具章法，他們的證明方法有無(wú)共通之處呢？表面上看當(dāng)然如此，他們都構(gòu)造了一個(gè)『作用』，自由群就是群作用，李代數(shù)就是表示，其中第二個(gè)證明如果硬生套入，可以說(shuō)線性空間作用到了對(duì)偶空間上去。我們的目標(biāo)是找一個(gè)被『自由』作用的對(duì)象，最后使得兩個(gè)不同的事物可以被區(qū)分開。

但是至此還不足以體現(xiàn)證明的自然性，我們指出，他們本質(zhì)是『重構(gòu)』。

• 對(duì)于自由群$F_X$，通常的構(gòu)造是利用字的拼接構(gòu)成半群再商掉群需要滿足的關(guān)系，但是既然我們感官上會(huì)覺(jué)得他們都可以唯一地約成不可約字，即商集每個(gè)元素都以唯一的一個(gè)不可約字為代表元，那么這些不可與字單獨(dú)拿出來(lái)勢(shì)必也構(gòu)成一個(gè)群，而且是同構(gòu)的，換言之，實(shí)際上上述證明中$W$不只是$F_X$-集，上面還具有自然的群結(jié)構(gòu)且同構(gòu)于$F_X$。對(duì)于群而言這種構(gòu)造并不困難，只需要定義$$(x_1\ldots x_n) (y_n\ldots y_1)=x_1\ldots x_m y_m\ldots y_1\qquad \textrm{$m$是使得任意$k> m$都有$x_k=y_k^{-1}$的最小的$m$}$$這個(gè)群不難驗(yàn)證也滿足自由群的泛性質(zhì)，從而兩種構(gòu)造相同，當(dāng)中連接的同態(tài)正是提取代表元的映射和自然映射的限制，這就給出了證明。
• 對(duì)于外代數(shù)的例子，實(shí)際上我們可以直接構(gòu)造以$\{x_1\wedge \ldots \wedge x_n: x_i\in X, x_1<\ldots<x_n\}$為基形式地張成的線性空間，再驗(yàn)證其是滿足泛性質(zhì)的，從而自動(dòng)同構(gòu)。
• 對(duì)于泛包絡(luò)代數(shù)的例子，我們可以直接賦予$\bigcup_{n=0}^\infty X_n$為基生產(chǎn)的線性空間$V$以李代數(shù)結(jié)構(gòu)，無(wú)非就是證明任意兩個(gè)元素相乘時(shí)可以避免逆序，這可以歸納地利用期望中的恒等式$x\otimes y-y\otimes x=[x,y]$交換順序訴諸更短長(zhǎng)度的字來(lái)轉(zhuǎn)化。

上述證明總所提供的構(gòu)造只不過(guò)是某種角度下足以說(shuō)明且容易說(shuō)明目標(biāo)的一個(gè)側(cè)面，例如自由群的部分實(shí)際上只用了左乘作用，從而變成了誘導(dǎo)$F_X$在$W$上的群作用；在外代數(shù)的部分只用了線性函數(shù)能夠區(qū)分線性空間的元素；在泛包絡(luò)代數(shù)的部分，只用了結(jié)合代數(shù)的左乘作用，從而變成了$\mathfrak{g}$-作用，成為了一個(gè)$\mathfrak{g}$-模。

以上就是我希望談?wù)摰摹鹤C明』，相信這種技巧在之后還會(huì)遇到。

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總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的自由群，外代数和泛包络代数的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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