復習李代數感覺忽然想起了很久之前看到的別的證明，在這里記錄一下。

我們知道代數中有很多『自由』對象，下面列舉幾個。

• 自由群。一個集合$X$，存在$F_X$以及映射$X\stackrel{\iota}\to F_X$使得如下的泛性質成立$$\forall \textrm{群} G, \textrm{映射} X\stackrel{\varphi}\to G \quad? \exists ! \textrm{群同態}F_X\stackrel{\hat{\varphi}}\to G\quad? \textrm{s.t.} \quad \left[X\stackrel{\iota}\to F_X\stackrel{\hat{\varphi}}\to G\right]=\left[X\stackrel{\varphi}\to G\right]$$
• 外代數。一個線性空間$V$，存在外代數$\bigwedge^n V$以及映射$V^n\stackrel{\pi}\to \bigwedge^n V$使得如下的泛性質成立$$\forall \textrm{線性空間} W, \textrm{$n$-交錯線性函數} V^n\stackrel{\varphi}\to W.\quad? \exists ! \textrm{線性映射}\bigwedge^n V\stackrel{\hat{\varphi}}\to W\quad? \textrm{s.t.} \quad \left[V^n\stackrel{\pi}\to \bigwedge^n V\stackrel{\hat{\varphi}}\to W\right]=\left[V^n\stackrel{\varphi}\to W\right]$$
• 泛包絡代數。一個李代數$\mathfrak{g}$，存在$U(\mathfrak{g})$以及映射$\mathfrak{g}\stackrel{\iota}\to U(\mathfrak{g})$使得如下的泛性質成立$$\forall \textrm{結合代數} R, \textrm{李代數同態} \mathfrak{g}\stackrel{\varphi}\to R \quad? \exists ! \textrm{結合代數同態}U(\mathfrak{g})\stackrel{\hat{\varphi}}\to R\quad? \textrm{s.t.} \quad \left[\mathfrak{g}\stackrel{\iota}\to U(\mathfrak{g})\stackrel{\hat{\varphi}}\to R\right]=\left[\mathfrak{g}\stackrel{\varphi}\to R\right]$$

他們的交換圖如下$$\begin{array}{ccc}X&\stackrel{\iota}\to& F_X \\ & \searrow?& \downarrow \\ && G\end{array}　　\qquad　　\begin{array}{ccc}V^n&\stackrel{\pi}\to&?\bigwedge^n V \\ & \searrow?& \downarrow \\ && W\end{array}　　\qquad　　\begin{array}{ccc}\mathfrak{g}&\stackrel{\iota}\to& U(\mathfrak{g}) \\ & \searrow?& \downarrow \\ && R\end{array}$$

撇開泛性質不談，這不是本文要討論的重點。我們注意到他們的構造其實有很大的類似之處，首先在于其『構造』都集合論地來自某個集合的商集（或商空間，但本質上也是商空間），但是他們通常都有如下關于元素形式的刻畫：

• 自由群。對于自由群$F_X$的每一個字都可以約成唯一的一個不可約字。
• 外代數。如果$V$有基$X$，給$X$排定全序，則$\bigwedge^n V$具有基$\{x_1\wedge \ldots \wedge x_n: x_i\in X, x_1<\ldots<x_n\}$。
• 泛包絡代數。如果李代數$\mathfrak{g}$作為線性空間具有基底$X$，給$X$排定全序，則$U(\mathfrak{g})$具有基$\{x_1\otimes \ldots \otimes x_n: x_i\in X, x_1\leq \ldots\leq x_n\}$。

他們的證明都十分繁復，下面，方便起見，這里采用我比較想要談論的那種證明。

定理(自由群結構定理).?對于自由群$F_X$的每一個字都可以約成唯一的一個不可約字.?

證明.?將所有不可約字收集起來,?具體來說$$W=\{x_1\ldots x_n: x_i\in X\cup X^{-1}, n\geq 0, x_i\neq x_{i+1}^{-1}\}$$我們要定義$F_X$在其上的作用,?為此先定義$X$在$W$上中的作用如下$$x\cdot (x_1\ldots x_n)=\begin{cases} xx_1\ldots x_n& x\neq x_1^{-1}\\ x_2\ldots x_n & x=x_1^{-1}\end{cases}$$上述作用實際上是$X \to \{\textrm{$W$到自身的雙射}\}$, 根據泛性質,?這定義了群同態$F_X\to \{\textrm{$W$到自身的雙射}\}$, 這定義了$F_X$在$W$的作用.?首先,?每個字都可以被約成不可約字這是自然的事甚至是可以找到『算法『的.?為了看到是唯一的,?關鍵是兩個不同不可約字不能夠相等.?注意到對于不可約字$w\in F_X$總有$$w\cdot \underbrace{\wedge}_{\textrm{$W$中的空字}}=w\in W$$故若有兩個不同的不可約字$w_1\neq w_2$,?他們在$F_X$中相等,?那么$$W\ni w_1=w_1\cdot \wedge =w_2\cdot \wedge=w_2\in W$$矛盾!?從而$w_1$和$w_2$中不相等. $\square$?

實際上這個命題也可以組合地證明，這個組合證明是我自己想到的，不過后來發現很多人已經給出過這樣的證明了，下次如果有時間可以再寫一篇介紹。

定理(外代數結構定理).?如果$V$有基$X$，給$X$排定全序，則$\bigwedge^n V$具有基$\{x_1\wedge \ldots \wedge x_n: x_i\in X, x_1<\ldots<x_n\}$.?

證明.?不難證明,?上述集$X=\{x_1\wedge \ldots \wedge x_n: x_i\in X, x_1<\ldots<x_n\}$生成了整個$\bigwedge^n V$.?問題的關鍵落在線性無關上,?對于任意一個$x_\bullet=x_1\wedge \ldots \wedge x_n$.?作線性函數$f:V^n\to k$,?使得$$f(y_1,\ldots,y_n)=\begin{cases}　　\operatorname{sgn}\sigma& y_i=x_{\sigma(i)}, \sigma\in \mathfrak{S}_n\\　　0 & \textrm{$y_i$不是$x_i$的一個排列}　　\end{cases}$$不難驗證$f$是良定義的反對稱線性函數,?從而根據泛性質存在$\hat{f}: \bigwedge^n V\to k$,?使得$\hat{f}$殺死$X$中除了$x_\bullet$的所有元素, 這樣就證明了線性無關. $\square$

組合的證明可見Grillet的Abstract Algebra?P525?Proposition?4.5.?

定理(Poincaré-Birkhoff-Witt). 如果李代數$\mathfrak{g}$作為線性空間具有基底$X$, 給$X$排定全序, 則$U(\mathfrak{g})$具有基$\{x_1\otimes \ldots \otimes x_n: x_i\in X, x_1\leq \ldots\leq x_n\}$.?

證明.?因為$x\otimes y=y\otimes x+[x,y]$,?故對長度歸納可知上述集$\{x_1\otimes \ldots \otimes x_n: x_i\in X, x_1\leq \ldots\leq x_n\}$生成了$U(\mathfrak{g})$,?同樣,?問題還是落在線性無關上.?

具體來說, 考慮$X$中全體長度為$n$的鏈$$X_n=\{(x_1,\ldots,x_n): x_i\in X, x_1\leq \ldots\leq x_n\}$$考慮以$\bigcup_{n=0}^\infty X_n$為基生產的線性空間$V$. 我們下面賦予$V$以$\mathfrak{g}$-模結構, 遞歸地定義$$x\cdot (x_1,\ldots,x_n)=\begin{cases}
(x,x_1,\ldots,x_n)& x\leq x_1\\
x_1\cdot (x \cdot (x_2,\ldots,x_n))+[x,x_1]\cdot (x_2,\ldots,x_n)& x>x_1
\end{cases}$$分各種情況分別驗證對每個$v\in \bigcup_{n=0}^\infty X_n$
$$x\cdot (y \cdot v)-y\cdot (x \cdot v)=[x,y]\cdot v$$
即可, 設$v=(z,\ldots)$,?驗證如下

• $x>y<z$時, $$\begin{array}{ll}\quad x\cdot (y \cdot (z,\ldots))-y\cdot (x \cdot (z,\ldots))\\= x\cdot (y,z,\ldots)-y\cdot (x \cdot (z,\ldots))& \because y<z\\= y\cdot (x\cdot (z,\ldots))+[x,y]\cdot (z,\ldots)-y\cdot (x \cdot (z,\ldots))& \because x>y\\= [x,y]\cdot (z,\ldots)\end{array}$$
• $y>x<z$時是類似的.
• $y>z<x$時, 不妨歸納$(\ldots)$的長度, $$\begin{array}{ll}\quad x\cdot (y \cdot (z,\ldots))-y\cdot (x \cdot (z,\ldots))\\= x\cdot (z\cdot (y\cdot (\ldots)))-y\cdot (z\cdot (x\cdot (\ldots)))\\+ x\cdot ([y,z]\cdot (\ldots))-y\cdot([x,z]\cdot (\ldots))& \because x>z,y>z\\= z\cdot (x\cdot (y\cdot (\ldots)))-z\cdot (y\cdot (x\cdot (\ldots)))\\+ [x,z]\cdot (y\cdot (\ldots))-[y,z]\cdot (x\cdot (\ldots))\\+ x\cdot ([y,z]\cdot (\ldots))-y\cdot([x,z]\cdot (\ldots))& \because x>z,y>z\\ = z\cdot ([x,y]\cdot (\ldots)) +([[x,z],y]+[x,[y,z]])\cdot (\ldots) & \textrm{對$(\ldots)$長度歸納}\\ =z\cdot ([x,y]\cdot (\ldots))-[[x,y],z]\cdot (\ldots) & \because \textrm{Jacobi恒等式}\\ =[x,y]\cdot (z\cdot (\ldots)) & \textrm{對$(\ldots)$長度歸納} \end{array}$$

這樣就驗證完$V$構成一個$\mathfrak{g}$-模了, 這樣$V$也是$U\mathfrak{g}$-模, 如果在$U\mathfrak{g}$中有線性關系
$$\sum_{(x_1,\ldots,x_n)\in \bigcup X_n}c_{(x_1,\ldots,x_n)}x_1\otimes \ldots \otimes x_n=0$$
將其作用在$X_0=\{\varnothing\}$上, 得到
$$\sum_{(x_1,\ldots,x_n)\in \bigcup X_n} c_{(x_1,\ldots,x_n)}(x_1,\ldots,x_n)=0$$
從而$c_*=0$, 故線性無關, 命題得證. $\square$

?這個證明采自Serre的Lie Algebra and Lie Group P14?Theorem 4.3。

誠然，從商集出發，經過嚴格演算以證明二者無相等或線性相關關系而將優良泛性質推到一邊將使證明落入介于集合論和組合的長篇大論中去。上述陳述的證明則相比之下顯得更具章法，他們的證明方法有無共通之處呢？表面上看當然如此，他們都構造了一個『作用』，自由群就是群作用，李代數就是表示，其中第二個證明如果硬生套入，可以說線性空間作用到了對偶空間上去。我們的目標是找一個被『自由』作用的對象，最后使得兩個不同的事物可以被區分開。

但是至此還不足以體現證明的自然性，我們指出，他們本質是『重構』。

• 對于自由群$F_X$，通常的構造是利用字的拼接構成半群再商掉群需要滿足的關系，但是既然我們感官上會覺得他們都可以唯一地約成不可約字，即商集每個元素都以唯一的一個不可約字為代表元，那么這些不可與字單獨拿出來勢必也構成一個群，而且是同構的，換言之，實際上上述證明中$W$不只是$F_X$-集，上面還具有自然的群結構且同構于$F_X$。對于群而言這種構造并不困難，只需要定義$$(x_1\ldots x_n) (y_n\ldots y_1)=x_1\ldots x_m y_m\ldots y_1\qquad \textrm{$m$是使得任意$k> m$都有$x_k=y_k^{-1}$的最小的$m$}$$這個群不難驗證也滿足自由群的泛性質，從而兩種構造相同，當中連接的同態正是提取代表元的映射和自然映射的限制，這就給出了證明。
• 對于外代數的例子，實際上我們可以直接構造以$\{x_1\wedge \ldots \wedge x_n: x_i\in X, x_1<\ldots<x_n\}$為基形式地張成的線性空間，再驗證其是滿足泛性質的，從而自動同構。
• 對于泛包絡代數的例子，我們可以直接賦予$\bigcup_{n=0}^\infty X_n$為基生產的線性空間$V$以李代數結構，無非就是證明任意兩個元素相乘時可以避免逆序，這可以歸納地利用期望中的恒等式$x\otimes y-y\otimes x=[x,y]$交換順序訴諸更短長度的字來轉化。

上述證明總所提供的構造只不過是某種角度下足以說明且容易說明目標的一個側面，例如自由群的部分實際上只用了左乘作用，從而變成了誘導$F_X$在$W$上的群作用；在外代數的部分只用了線性函數能夠區分線性空間的元素；在泛包絡代數的部分，只用了結合代數的左乘作用，從而變成了$\mathfrak{g}$-作用，成為了一個$\mathfrak{g}$-模。

以上就是我希望談論的『證明』，相信這種技巧在之后還會遇到。

轉載于:https://www.cnblogs.com/XiongRuiMath/p/9571275.html

總結

以上是生活随笔為你收集整理的自由群，外代数和泛包络代数的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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