LIS的暴力算法

我們知道，LIS（最長(zhǎng)上升子序列，最長(zhǎng)下降子序列，最長(zhǎng)不上升子序列，最長(zhǎng)不下降子序列）如果按照最初得方法做，我們?cè)O(shè)置的狀態(tài)f[i]表示i結(jié)尾的最長(zhǎng)LIS的長(zhǎng)度，在枚舉每一個(gè)數(shù)的時(shí)候都要向前找一個(gè)數(shù)字，那么這種方法是O(n^2).（具體講解看這里）

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優(yōu)化后的LIS

如果N≤700000呢？O（n^2）的算法顯然是不符合要求的，我們可以考慮優(yōu)化LIS的DP
我們以最長(zhǎng)上升子序列為例：
我們?cè)O(shè)f[i]為長(zhǎng)度為i的最長(zhǎng)上升子序列結(jié)尾的最小個(gè)數(shù).
那么，我們?cè)诿杜e新的數(shù)字a[i]的時(shí)候,如果a[i]要比枚舉的f[j]大，則說明以a[i]結(jié)尾必然能夠形成長(zhǎng)度為j+1的最長(zhǎng)上升子序列.我們可以選擇來模擬這個(gè)過程.
設(shè)這串序列為｛2,1,6,5,8,0,1,5,10｝
1.因?yàn)闆]有數(shù)字，f[]={2}
2.因?yàn)?比2小，1無法接在任何數(shù)字后面，所以替代2，f[]={1}
3.因?yàn)?比任何一個(gè)數(shù)都要大，所以接在最前面，f[]={1,6}
4.5可以接在1后面并且比6要小，以此代替6，f[]={1,5}
5.因?yàn)?比任何數(shù)要大，接在末尾，f[]={1,5,8}
6.0比任何數(shù)都要小，所以f[]={0,5,8}
7.1可以接在0后面，所以f[]={0,1,8}
8.5可以接在8后面，所以f[]={0,1,5}
9.10可以接在5后面，所以f[]={0,1,5,10}
因?yàn)閒[4]不為0，說明可以構(gòu)成長(zhǎng)度為4的最長(zhǎng)上升子序列，故答案為4
為什么我們要在新的數(shù)字要是f[]數(shù)組內(nèi)的原有值最小？因?yàn)檫@樣更可以讓后面的數(shù)字構(gòu)成最長(zhǎng)上升組序列.因此我們需要在這個(gè)序列中查找，找到一個(gè)位置使得前面的數(shù)比它小并且后面的數(shù)字大于等于它，使得它能夠覆蓋這個(gè)數(shù)字.那么，這個(gè)算法的時(shí)間復(fù)雜度仍然后O(n^2)，顯然無法優(yōu)化.
不難發(fā)現(xiàn)，這個(gè)序列是單調(diào)遞增的，那么我們便可以選擇在查找的時(shí)候去優(yōu)化，在單調(diào)遞增的序列中我們可以需用二分查找去尋找那個(gè)可以覆蓋的位置，而二分查找的時(shí)間復(fù)雜度是O(lgn),再加上枚舉1-n的時(shí)間復(fù)雜度，故總復(fù)雜度為：O(n)*O(logn)=O(nlogn),顯然可以做到.
再重新說一下大致思路：
1.枚舉a[1...n]這些數(shù)字
2.如果這個(gè)數(shù)組比f數(shù)組末尾的數(shù)子要大，說明不能覆蓋任何一個(gè)數(shù)字，則放在最后
3.否則，用二分查找進(jìn)行查詢位置并進(jìn)行覆蓋.
同理，另外3中LIS也可以實(shí)現(xiàn).
有一個(gè)需要注意的地方，那就是：如果做上升的和不下降的LISf[0]需要賦值為-∞，否則賦值為+∞，我在這里用pow(10,9)(即10的9次方的意思)在進(jìn)行f[0]的初始化.因?yàn)榭赡軙?huì)出現(xiàn)負(fù)數(shù)

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LIS模板題

有N個(gè)整數(shù)，輸出這N個(gè)整數(shù)的最長(zhǎng)上升序列、最長(zhǎng)下降序列、最長(zhǎng)不上升序列和最長(zhǎng)不下降序列。
根據(jù)上述分析，我們應(yīng)該十分容易就能夠?qū)懗鲎詈蟮某绦?#xff0c;四個(gè)序列的代碼基本相似
代碼如下：

#include<bits/stdc++.h> using namespace std; int n; int a[800000]; int f[800000]; void Lis1() {memset(f,0,sizeof(f));int len=0,pos;f[0]=-pow(10,9);for (int i=1;i<=n;i++){if (a[i]>f[len]) f[++len]=a[i];else{int L=1,R=len,Mid;while (L+1<R){Mid=(L+R)>>1;if (a[i]>f[Mid]) L=Mid;else R=Mid;}if (a[i]>f[L]) pos=R;else pos=L;f[pos]=min(f[pos],a[i]); }}cout<<len<<endl; } void Lis2() {memset(f,0,sizeof(f));int len=0,pos;f[0]=pow(10,9);for (int i=1;i<=n;i++){if (a[i]<f[len]) f[++len]=a[i];else{int L=1,R=len,Mid;while (L+1<R){Mid=(L+R)>>1;if (a[i]<f[Mid]) L=Mid;else R=Mid;}if (a[i]<f[L]) pos=R;else pos=L;f[pos]=max(f[pos],a[i]);} }cout<<len<<endl; } void Lis3() {memset(f,0,sizeof(f));int len=0,pos;f[0]=pow(10,9);for (int i=1;i<=n;i++){if (a[i]<=f[len]) f[++len]=a[i];else{int L=1,R=len,Mid;while (L+1<R){Mid=(L+R)>>1;if (a[i]<=f[Mid]) L=Mid;else R=Mid;}if (a[i]<=f[L]) pos=R;else pos=L;f[pos]=max(f[pos],a[i]); }}cout<<len<<endl; } void Lis4() {memset(f,0,sizeof(f));int len=0,pos;f[0]=-pow(10,9);for (int i=1;i<=n;i++){if (a[i]>=f[len]) f[++len]=a[i];else{int L=1,R=len,Mid;while (L+1<R){Mid=(L+R)>>1;if (a[i]>=f[Mid]) L=Mid;else R=Mid;}if (a[i]>=f[L]) pos=R;else pos=L;f[pos]=min(f[pos],a[i]); } }cout<<len<<endl; } int main() {ios::sync_with_stdio(false);cin>>n;for (int i=1;i<=n;i++)cin>>a[i];Lis1();Lis2();Lis3();Lis4();return 0; }

轉(zhuǎn)載于:https://www.cnblogs.com/pigzhouyb/p/10119863.html

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的lis最长上升子序列o(nlogn)优化的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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