后綴數組就是將字符串所有后綴排序后的數組，設字符串為S，令后綴Suffix(i)表示S[i..len(S)]。用兩個數組記錄所有后綴的排序結果：

• Rank[i]記錄Suffix(i)排序后的序號，即Suffix[i]在所有后綴中是第Rank[i]小的后綴

• SA[i]記錄第i位后綴的首字母位置，即Suffix[SA[i]]在所有后綴中是第i小的后綴

然后就是怎么快速求所有后綴的順序了，其中的關鍵是如何減少兩個后綴比較的復雜度
方法是倍增法，定義一個字符串的k-前綴為該字符串的前k個字符組成的串，關于在k-后綴上的定義Suffix(k,i)、SA[k,i]和Rank[k,i]類似于前，則有

• 若Rank[k,i]＝Rank[k,j]且Rank[k,i+k]＝Rank[k,j+k]，則Suffix[2k,i]＝Suffix[2k,j]
• 若Rank[k,i]＝Rank[k,j]且Rank[k,i+k]<Rank[k,j+k]，則Suffix[2k,i]<Suffix[2k,j]
• 若Rank[k,i]<Rank[k,j]，則Suffix[2k,i]<Suffix[2k,j]

這樣就能在常數時間內比較Suffix(2^k, i)之間的大小，從而對Suffix(2^k,i)時行排序，最后當2^k>n時，Suffix(2^k, i)之間的大小即為所有后綴之間的大小

于是求出了所有后綴的排序，有什么用呢？主要是用于求它們之間的最長公共前綴（Longest Common Prefix，LCP）

令LCP(i,j)為第i小的后綴和第j小的后綴（也就是Suffix(SA[i])和Suffix(SA[j])）的最長公共前綴的長度，則有如下兩個性質：

對任意i<=k<=j，有LCP(i,j) = min(LCP(i,k),LCP(k,j))

LCP(i,j)=min(i<k<=j)(LCP(k-1,k))

第一個性質是顯然的，它的意義在于可以用來證明第二個性質。第二個性質的意義在于提供了一個將LCP問題轉換為RMQ問題的方法：
令height[i]＝LCP(i-1,i)，即height[i]代表第i小的后綴與第i-1小的后綴的LCP，則求LCP(i,j)就等于求height[i+1]~height[j]之間的RMQ，套用RMQ算法就可以了，復雜度是預處理O(nlogn)，查詢O(1)

然后height的求法要用到另一個數組：令h[i]=height[Rank[i]]，即h[i]表示Suffix(i)的height值（同時height[i]就表示Suffix(SA[i])的height值），則有height[i]=h[SA[i]]
然后h[i]有個性質：

• h[i] >= h[i-1]-1

用這個性質我們在計算h[i]的時候進行后綴比較時只需從第h[i-1]位起比較，從而總的比較的復雜度是O(n)，也就是說h數組在O(n)的時間內解決了。求出了h數組，根據關系式height[i]=h[SA[i]]可以在O(n)時間內求出height數組，于是可以在O(n)時間內求出height數組，從而整個LCP問題就解決了^_^

然后后綴數組的應用就是利用它的LCP在需要字符串比較時降低復雜度。同時由于后綴數組的有序性可以很方便地使用二分

于是總結一下要點：

• 利用倍增算法在O(nlogn)的時間內對后綴數組進行排序
• 利用h數組的性質在O(n)的時間內求出儲存排序后相鄰后綴間的LCP數的組height
• 利用LCP的性質將平凡LCP問題轉化為height數組上的RMQ問題

本題是求兩字符串的最長公告子串（注意是子串不是子序列），構造出SA,RA和HEIGHT后，答案就是最大的HEIGHT，但這個最大的HEIGHT可能是同一個串中的，

所以這個最大的HEIGHT同時要滿足sa[i-1]和sa[i]不在同一個串中。

轉載于:https://www.cnblogs.com/ACAC/archive/2010/05/24/1743092.html

總結

以上是生活随笔為你收集整理的转一个后缀数组的简单总结：的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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