加權(quán)有向圖與dijkstra算法找到最短路徑

加權(quán)有向圖的構(gòu)造

最短路徑問(wèn)題與最短路徑樹(shù)

最短路徑問(wèn)題（The shortest path problem）定義

• 最短路徑可以是時(shí)間花費(fèi)最短，也可以是距離最短，或是花費(fèi)最少
• 在圖論中，最短路徑問(wèn)題指的是一個(gè)graph中，想要找到兩個(gè)頂點(diǎn)之間的路徑使它們間連通的全部邊的權(quán)重和最小化

最短路徑的性質(zhì)

路徑具有方向性

權(quán)重不一定等價(jià)于距離。權(quán)重可以是距離、時(shí)間、花費(fèi)等內(nèi)容,權(quán)重最小指的是成本最低

只考慮連通圖。一副圖中并不是所有的頂點(diǎn)都是可達(dá)的，如果s和t不可達(dá)，那么它們之間也就不存在最短路徑，為了簡(jiǎn)化問(wèn)題,這里只考慮連通圖。

最短路徑不一定是唯一的。 從一個(gè)頂點(diǎn)到達(dá)另外一個(gè)頂點(diǎn)的權(quán)重最小的路徑可能會(huì)有很多條，這里只要找出一條即啊。

使用dijkstra算法找到最短路徑樹(shù)

最短路徑樹(shù)（Shortest-path tree）定義

• 給定一副加權(quán)有向圖和一個(gè)頂點(diǎn)s，以s為起點(diǎn)的一棵最短路徑樹(shù)是圖的一副子圖，它包含頂點(diǎn)s以及從s可達(dá)的所有頂點(diǎn)。這棵有向樹(shù)的根結(jié)點(diǎn)為s，樹(shù)的每條路徑都是有向圖中的一 條最短路徑。
  去往dijkstra算法
  

class DirectedEdge:def __init__(self, _from, _to, weight):self._from = _fromself._to = _toself.weight = weightdef get_weight(self):return self.weightdef start(self):return self._fromdef end(self):return self._to

• 加權(quán)有向圖的邊具有方向，其中_from是出發(fā)頂點(diǎn)；_to是目的頂點(diǎn)；weight是這條邊的權(quán)重。

加權(quán)有向圖的實(shí)現(xiàn)

去往dijkstra算法

from Structure.graph.DirectedEdge import DirectedEdgeclass WeightedDigraph:def __init__(self, num):self.num_vertices = numself.num_edges = 0self.adj_list = [[] for _ in range(num)]def add_edge(self, edge: DirectedEdge):_from = edge.start()# _to = edge.end()self.adj_list[_from].append(edge)self.num_edges += 1def get_all_edges_of(self, v):"""Get all edges connected with v"""return self.adj_list[v]def get_all_edges(self):"""Get all edges of this graph"""return [e for i in range(self.num_vertices) for e in self.adj_list[i]]

• num_vertices 定義了圖中頂點(diǎn)的個(gè)數(shù)；num_edges 為邊的數(shù)量，初始狀態(tài)下各頂點(diǎn)相互分隔，邊數(shù)量為0；adj_list 是一個(gè)列表，索引代表頂點(diǎn)，每個(gè)值也是一個(gè)列表，儲(chǔ)存著對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)通向的目的頂點(diǎn)；
• add_edge(edge: DirectedEdge)傳入一個(gè)DirectedEdge對(duì)象，向adj_list中對(duì)應(yīng)位置添加一條有向邊；
• get_all_edges_of(v) 獲取傳入的頂點(diǎn)v的所有通往的邊
• get_all_edges() 獲取整張圖的所有的邊；

松弛方法relax的過(guò)程

• 當(dāng)前已經(jīng)存在一條最短路徑S->W且知道其路徑總權(quán)重SP_weight[w]，現(xiàn)在要判斷下一條路徑S->V->W是否更短，則首先計(jì)算S->V的最短路徑的總權(quán)重SP_weight[V]，然后再加上V->W的最短邊的權(quán)重，如果相加之和大于之前最短路徑的權(quán)重和SP_weight[W]，則無(wú)需松弛，無(wú)需更新數(shù)據(jù)
  
• 當(dāng)從起點(diǎn)S到達(dá)V的最短路徑的權(quán)重之和加上從V到達(dá)W的權(quán)重小于從起點(diǎn)S到達(dá)W的最短路徑權(quán)重之和時(shí)，則對(duì)應(yīng)松弛成功的情況，需要將從S到W的最短路徑權(quán)重之和SP_weight[W]更新為SP_weight[V] + [V到W邊的權(quán)重]，到達(dá)終點(diǎn)前的最后一條邊last_edge要更新為[V→W]
• 頂點(diǎn)的松弛是基于邊的松弛完成的，只需要把某個(gè)頂點(diǎn)指出的所有邊松弛,那么該頂點(diǎn)就松弛完畢。例如要松弛頂點(diǎn)v，只需要遍歷v的鄰接表，把每一邊都松弛，那么頂點(diǎn)v就松弛了。

Python代碼實(shí)現(xiàn)dijkstra算法尋找最短路徑

from Structure.graph.DirectedEdge import DirectedEdge from Structure.graph.WeightedDigraph import WeightedDigraph from Structure.PriorityQueue.IndexMinPriorityQueue import IndexMinPriorityQueue from math import infclass DijkstraSP:def __init__(self, graph, start_vertex=0):self.graph = graphself.start_vertex = start_vertex# Each vertex(index) point to a minimum weight from the start vertex(0)self.SP_weight = [inf for _ in range(self.graph.num_vertices)]# Store the last SPT edge from 0 to the vertex(index)self.last_edge = [None for _ in range(self.graph.num_vertices)]# Store all edges? of the SPT(all the last_edge)# Index equals to vertex, element equals to edge.weight from the current vertexself.SPT_edge_weights = IndexMinPriorityQueue(self.graph.num_vertices) # num_vertices - 1 + 1self.SP_weight[start_vertex] = 0.0# Index equals to vertex, element equals to weightself.SPT_edge_weights.insert(start_vertex, 0.0)while self.SPT_edge_weights.size() > 0:min_weight_vertex = self.SPT_edge_weights.delete_min_and_get_index()# print(f"min_weight_vertex {min_weight_vertex}")self.relax(min_weight_vertex)def relax(self, v):"""Check if the total weight from 0 to v is lesser than from 0 to w"""# To relax a vertex is to relax all its edgesfor e in self.graph.get_all_edges_of(v):w = e.end()if self.SP_weight[v] + e.weight < self.SP_weight[w]:self.SP_weight[w] = self.SP_weight[v] + e.weightself.last_edge[w] = eif self.SPT_edge_weights.is_index_exist(w):self.SPT_edge_weights.change_item(w, e.weight)else:self.SPT_edge_weights.insert(w, e.weight)def sp_weight_to(self, v):"""Get the total weight of a shortest path from 0 to v"""return self.SP_weight[v]def has_path_to(self, v):"""Check if the start vertex to v is feasible"""# return self.graph.adj_list[v]return self.SP_weight[v] < infdef shortest_path_to(self, v):"""Get all the shortest path edges from 0 to v"""if not self.has_path_to(v):returnall_sp_edges = []while True:e = self.last_edge[v]if not e:breakall_sp_edges.insert(0, e)v = e.start()return all_sp_edges

屬性和方法說(shuō)明

構(gòu)造方法__init__()中
graph 接收傳入的圖對(duì)象；start_vertex 為要找出最短路徑樹(shù)的起始頂點(diǎn)；
SP_weight是一個(gè)列表，索引代表當(dāng)前頂點(diǎn)，值代表從起點(diǎn)出發(fā)到索引對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的最短路徑的權(quán)重和，它初始化儲(chǔ)存全部為無(wú)窮大inf，可以使搜尋時(shí)路徑時(shí)的初次權(quán)重比較一定會(huì)成功；
last_edge是一個(gè)列表，索引對(duì)應(yīng)著頂點(diǎn)，儲(chǔ)存的值表示從起點(diǎn)到索引對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的最短路徑中的最后一條邊；
SPT_edge_weights是一個(gè)最小優(yōu)先隊(duì)列MinIndexPriorityQueue對(duì)象，索引代表頂點(diǎn)，存入的值是從起點(diǎn)到當(dāng)前遍歷頂點(diǎn)的經(jīng)過(guò)松弛relax()后的路徑上的最后一條邊的權(quán)重，其實(shí)就是對(duì)應(yīng)的last_edge的權(quán)重

relax(v) 松弛圖graph中的頂點(diǎn)v，下面會(huì)介紹其操作過(guò)程

sp_weight_to(v) 獲取從起點(diǎn)到傳入的頂點(diǎn)v的SP的權(quán)重和

has_path_to(v) 檢查圖中從起點(diǎn)出發(fā)，是否存在一條路徑能到達(dá)頂點(diǎn)v

shortest_path_to(v) 獲取從起點(diǎn)到達(dá)頂點(diǎn)v的SP經(jīng)過(guò)的的所有邊

回到DirectedEdge
回到WeightedDigraph
其中用到的的索引最小優(yōu)先隊(duì)列IndexMinPriorityQueue傳送門

運(yùn)行測(cè)試：

if __name__ == '__main__':with open('../DSP.txt', 'r') as f:num_vertices = int(f.readline())num_edges = int(f.readline())graph = WeightedDigraph(num_vertices)edge = DirectedEdgefor _ in range(num_edges):_from, _to, weight = f.readline().split()# print(_from, _to, weight)graph.add_edge(edge(int(_from), int(_to), float(weight)))end = 6DSP = DijkstraSP(graph, 0)# print([e.start() for e in DSP.shortest_path_to(end)] + [end])print(DSP.sp_weight_to(end))print(DSP.has_path_to(end))for e in DSP.shortest_path_to(end):print(f"{e.start()}-->{e.end()}, {e.weight}")

運(yùn)行結(jié)果：

1.5100000000000002 True 0-->2, 0.26 2-->7, 0.34 7-->3, 0.39 3-->6, 0.52

0 → 2 → 7 → 3 → 6

對(duì)比參考結(jié)果：

DSP.txt

8 15 4 5 0.35 5 4 0.35 4 7 0.37 5 7 0.28 7 5 0.28 5 1 0.32 0 4 0.38 0 2 0.26 7 3 0.39 1 3 0.29 2 7 0.34 6 2 0.40 3 6 0.52 6 0 0.58 6 4 0.93

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的数据结构之图：加权有向图与dijkstra算法找到最短路径，Python——28的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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