一，問題描述

給定兩個(gè)字符串，求解這兩個(gè)字符串的最長公共子序列(Longest Common Sequence)。比如字符串1：BDCABA；字符串2：ABCBDAB

則這兩個(gè)字符串的最長公共子序列長度為4，最長公共子序列是：BCBA

二，算法求解

這是一個(gè)動態(tài)規(guī)劃的題目。對于可用動態(tài)規(guī)劃求解的問題，一般有兩個(gè)特征：①最優(yōu)子結(jié)構(gòu)；②重疊子問題

①最優(yōu)子結(jié)構(gòu)

設(shè) X=(x1,x2,.....xn) 和 Y={y1,y2,.....ym} 是兩個(gè)序列，將 X 和 Y 的最長公共子序列記為LCS(X,Y)

找出LCS(X,Y)就是一個(gè)最優(yōu)化問題。因?yàn)?#xff0c;我們需要找到X 和 Y中最長的那個(gè)公共子序列。而要找X 和 Y的LCS，首先考慮X的最后一個(gè)元素和Y的最后一個(gè)元素。

1)如果 xn=ym，即X的最后一個(gè)元素與Y的最后一個(gè)元素相同，這說明該元素一定位于公共子序列中。因此，現(xiàn)在只需要找：LCS(Xn-1，Ym-1)

LCS(Xn-1，Ym-1)就是原問題的一個(gè)子問題。為什么叫子問題？因?yàn)樗囊?guī)模比原問題小。(小一個(gè)元素也是小嘛....)

為什么是最優(yōu)的子問題？因?yàn)槲覀円业氖荴n-1和 Ym-1?的最長公共子序列啊。。。最長的！！！換句話說，就是最優(yōu)的那個(gè)。(這里的最優(yōu)就是最長的意思)

2)如果xn != ym，這下要麻煩一點(diǎn)，因?yàn)樗a(chǎn)生了兩個(gè)子問題：LCS(Xn-1，Ym) 和 LCS(Xn，Ym-1)

因?yàn)樾蛄蠿 和 序列Y 的最后一個(gè)元素不相等嘛，那說明最后一個(gè)元素不可能是最長公共子序列中的元素嘛。(都不相等了，怎么公共嘛)。

LCS(Xn-1，Ym)表示：最長公共序列可以在(x1,x2,....x(n-1)) 和 (y1,y2,...yn)中找。

LCS(Xn，Ym-1)表示：最長公共序列可以在(x1,x2,....xn) 和 (y1,y2,...y(n-1))中找。

求解上面兩個(gè)子問題，得到的公共子序列誰最長，那誰就是 LCS(X,Y)。用數(shù)學(xué)表示就是：

LCS=max{LCS(Xn-1，Ym)，LCS(Xn，Ym-1)}

由于條件 1)? 和? 2)? 考慮到了所有可能的情況。因此，我們成功地把原問題 轉(zhuǎn)化 成了 三個(gè)規(guī)模更小的子問題。

②重疊子問題

重疊子問題是啥？就是說原問題 轉(zhuǎn)化 成子問題后，? 子問題中有相同的問題。咦？我怎么沒有發(fā)現(xiàn)上面的三個(gè)子問題中有相同的啊？？？？

OK，來看看，原問題是：LCS(X,Y)。子問題有 ?LCS(Xn-1，Ym-1)??? ?LCS(Xn-1，Ym) ?? ?LCS(Xn，Ym-1)

初一看，這三個(gè)子問題是不重疊的。可本質(zhì)上它們是重疊的，因?yàn)樗鼈冎恢丿B了一大部分。舉例：

第二個(gè)子問題：LCS(Xn-1，Ym) 就包含了：問題?LCS(Xn-1，Ym-1)，為什么？

因?yàn)?#xff0c;當(dāng)Xn-1?和 Ym?的最后一個(gè)元素不相同時(shí)，我們又需要將LCS(Xn-1，Ym)進(jìn)行分解：分解成：LCS(Xn-1，Ym-1)?和 LCS(Xn-2，Ym)

也就是說：在子問題的繼續(xù)分解中，有些問題是重疊的。

由于像LCS這樣的問題，它具有重疊子問題的性質(zhì)，因此：用遞歸來求解就太不劃算了。因?yàn)椴捎眠f歸，它重復(fù)地求解了子問題啊。而且注意哦，所有子問題加起來的個(gè)數(shù) 可是指數(shù)級的哦。。。。

這篇文章中就演示了一個(gè)遞歸求解重疊子問題的示例。

那么問題來了，你說用遞歸求解，有指數(shù)級個(gè)子問題，故時(shí)間復(fù)雜度是指數(shù)級。這指數(shù)級個(gè)子問題，難道用了動態(tài)規(guī)劃，就變成多項(xiàng)式時(shí)間了？？

呵呵噠。。。。

關(guān)鍵是采用動態(tài)規(guī)劃時(shí)，并不需要去一 一 計(jì)算那些重疊了的子問題。或者說：用了動態(tài)規(guī)劃之后，有些子問題 是通過 “查表“ 直接得到的，而不是重新又計(jì)算一遍得到的。廢話少說：舉個(gè)例子吧！比如求Fib數(shù)列。關(guān)于Fib數(shù)列，可參考：

求fib(5)，分解成了兩個(gè)子問題：fib(4) 和 fib(3)，求解fib(4) 和 fib(3)時(shí)，又分解了一系列的小問題....

從圖中可以看出：根的左右子樹：fib(4) 和 fib(3)下，是有很多重疊的！！！比如，對于 fib(2)，它就一共出現(xiàn)了三次。如果用遞歸來求解，fib(2)就會被計(jì)算三次，而用DP(Dynamic Programming)動態(tài)規(guī)劃，則fib(2)只會計(jì)算一次，其他兩次則是通過”查表“直接求得。而且，更關(guān)鍵的是：查找求得該問題的解之后，就不需要再繼續(xù)去分解該問題了。而對于遞歸，是不斷地將問題分解，直到分解為 基準(zhǔn)問題(fib(1) 或者 fib(0))

說了這么多，還是要寫下最長公共子序列的遞歸式才完整。借用網(wǎng)友的一張圖吧：)

c[i,j]表示：(x1,x2....xi) 和 (y1,y2...yj) 的最長公共子序列的長度。(是長度哦，就是一個(gè)整數(shù)嘛)。公式的具體解釋可參考《算法導(dǎo)論》動態(tài)規(guī)劃章節(jié)

三，LCS python實(shí)現(xiàn)

1 defLCS(str1, str2):2 c = [[0 for i in range(len(str2)+1)] for j in range(len(str1)+1)]3 for i in range(1, len(str1)+1):4 for j in range(1, len(str2)+1):5 if str1[i-1] == str2[j-1]:6 c[i][j] = c[i-1][j-1] + 1

7 else:8 c[i][j] = max(c[i][j-1], c[i-1][j])9 printc10 return c[-1][-1]11

12 if __name__ == '__main__':13 str1 = 'BDCABA'

14 str2 = 'ABCBDAB'

15 print LCS(str1, str2)

感覺整個(gè)代碼就是直接根據(jù)上面的那個(gè)遞歸表達(dá)式寫的。

①第1行定義一個(gè)數(shù)組來保存最長公共子序列的長度

②第7，8行，就是遞歸表達(dá)式的程序表示。就是：? c[i,j] = max{c[i][j-1], c[i-1][j]}

③第10行返回最終結(jié)果。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的字符串最长公共子序列python_求解两个字符串的最长公共子序列的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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