【Pytorch神经网络基础理论篇】 08 Softmax 回归 + 损失函数 + 图片分类数据集
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3.4.?softmax回歸
回歸可以用于預測多少的問題。 比如預測房屋被售出價格，或者棒球隊可能獲得的勝場數，又或者患者住院的天數。
事實上，我們也對分類問題感興趣：不是問“多少”，而是問“哪一個”：
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某個電子郵件是否屬于垃圾郵件文件夾？
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某個用戶可能注冊或不注冊訂閱服務？
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某個圖像描繪的是驢、狗、貓、還是雞？
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某人接下來最有可能看哪部電影？
通常，機器學習實踐者用分類這個詞來描述兩個有微妙差別的問題：
1. 我們只對樣本的“硬性”類別感興趣，即屬于哪個類別；
2. 我們希望得到“軟性”類別，即得到屬于每個類別的概率。 這兩者的界限往往很模糊。其中的一個原因是：即使我們只關心硬類別，我們仍然使用軟類別的模型。
3.4.1.?分類問題
我們從一個圖像分類問題開始。 假設每次輸入是一個2×2的灰度圖像。 我們可以用一個標量表示每個像素值，每個圖像對應四個特征x1,x2,x3,x4。 此外，假設每個圖像屬于類別“貓”，“雞”和“狗”中的一個。
接下來，我們要選擇如何表示標簽。 我們有兩個明顯的選擇：最直接的想法是選擇y∈{1,2,3}， 其中整數分別代表{狗,貓,雞}。 這是在計算機上存儲此類信息的有效方法。 如果類別間有一些自然順序， 比如說我們試圖預測{嬰兒,兒童,青少年,青年人,中年人,老年人}， 那么將這個問題轉變為回歸問題，并且保留這種格式是有意義的。
幸運的是，一般的分類問題并不與類別之間的自然順序有關。 統計學家很早以前就發明了一種表示分類數據的簡單方法：獨熱編碼（one-hot encoding）。 獨熱編碼是一個向量，它的分量和類別一樣多。類別對應的分量設置為1，其他所有分量設置為0。
在我們的例子中，標簽y將是一個三維向量， 其中(1,0,0)對應于“貓”、(0,1,0)對應于“雞”、(0,0,1)對應于“狗”：
3.4.2.?網絡架構
為了估計所有可能類別的條件概率，我們需要一個有多個輸出的模型，每個類別對應一個輸出。 為了解決線性模型的分類問題，我們需要和輸出一樣多的仿射函數（affine function）。 每個輸出對應于它自己的仿射函數。 在我們的例子中，由于我們有4個特征和3個可能的輸出類別， 我們將需要12個標量來表示權重（帶下標的w）， 3個標量來表示偏置（帶下標的b）。 下面我們為每個輸入計算三個未規范化的預測（logit）：o1、o2和o3。
我們可以用神經網絡圖下來描述這個計算過程。 與線性回歸一樣，softmax回歸也是一個單層神經網絡。 由于計算每個輸出o1、o2和o3取決于 所有輸入x1、x2、x3和x4， 所以softmax回歸的輸出層也是全連接層。
為了更簡潔地表達模型，我們仍然使用線性代數符號。 通過向量形式表達為o=Wx+b， 這是一種更適合數學和編寫代碼的形式。 由此，我們已經將所有權重放到一個3×4矩陣中。 對于給定數據樣本的特征x， 我們的輸出是由權重與輸入特征進行矩陣-向量乘法再加上偏置b得到的。
3.4.3.?全連接層的參數開銷
正如我們將在后續章節中看到的，在深度學習中，全連接層無處不在。全連接層是“完全”連接的，可能有很多可學習的參數。 具體來說，對于任何具有d個輸入和q個輸出的全連接層， 參數開銷為O(dq)，這個數字在實踐中可能高得令人望而卻步。 幸運的是，將d個輸入轉換為q個輸出的成本可以減少到O(dqn)， 其中超參數n可以由我們靈活指定，以在實際應用中平衡參數節約和模型有效性。
3.4.4.?softmax運算
現在我們將優化參數以最大化觀測數據的概率。 為了得到預測結果，我們將設置一個閾值，如選擇具有最大概率的標簽。
要將輸出視為概率，我們必須保證在任何數據上的輸出都是非負的且總和為1。 此外，我們需要一個訓練目標，來鼓勵模型精準地估計概率。 在分類器輸出0.5的所有樣本中，我們希望這些樣本有一半實際上屬于預測的類。 這個屬性叫做校準（calibration）。
社會科學家鄧肯·盧斯于1959年在選擇模型（choice model）的理論基礎上發明的softmax函數正是這樣做的： softmax函數將未規范化的預測變換為非負并且總和為1，同時要求模型保持可導。 我們首先對每個未規范化的預測求冪，這樣可以確保輸出非負。 為了確保最終輸出的總和為1，我們再對每個求冪后的結果除以它們的總和。如下式：
這里，對于所有的jj總有0≤y^j≤1。 因此，y^可以視為一個正確的概率分布。 softmax運算不會改變未規范化的預測o之間的順序，只會確定分配給每個類別的概率。 因此，在預測過程中，我們仍然可以用下式來選擇最有可能的類別。
盡管softmax是一個非線性函數，但softmax回歸的輸出仍然由輸入特征的仿射變換決定。 因此，softmax回歸是一個線性模型（linear model）。
3.4.5.?小批量樣本的矢量化
3.4.6.?損失函數
我們將使用最大似然估計來度量預測的效果。
3.4.6.1.?對數似然
由于y是一個長度為q的獨熱編碼向量， 所以除了一個項以外的所有項j都消失了。 由于所有y^j都是預測的概率，所以它們的對數永遠不會大于0。 因此，如果正確地預測實際標簽，即如果實際標簽P(y∣x)=1， 則損失函數不能進一步最小化。 注意，這往往是不可能的。 例如，數據集中可能存在標簽噪聲（比如某些樣本可能被誤標）， 或輸入特征沒有足夠的信息來完美地對每一個樣本分類。
3.4.6.2.?softmax及其導數
3.4.6.3.?交叉熵損失
我們觀察到的不僅僅是一個結果，而是整個結果分布。 對于標簽y，我們可以使用與以前相同的表示形式。 唯一的區別是，我們現在用一個概率向量表示，如(0.1,0.2,0.7)， 而不是僅包含二元項的向量(0,0,1)。 我們使用?(3.4.8)來定義損失l， 它是所有標簽分布的預期損失值。 此損失稱為交叉熵損失（cross-entropy loss），它是分類問題最常用的損失之一。 本節我們將通過介紹信息論基礎來理解交叉熵損失。?
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3.4.7.?信息論基礎
信息論（information theory）涉及編碼、解碼、發送以及盡可能簡潔地處理信息或數據。
3.4.7.1.?熵
信息論的核心思想是量化數據中的信息內容，該數值被稱為分布P的熵(entropy)。可以通過以下方程得到：
3.4.7.2.?驚異
壓縮與預測有什么關系呢？舉一個極端的例子，假如數據流中的每個數據完全相同，這會是一個非常無聊的數據流。 由于它們總是相同的，所以很容易被預測。 所以，為了傳遞數據流的內容，我們不必傳輸任何信息。 因此，當數據易于預測，也就易于壓縮。
但是，如果我們不能完全預測每一個事件，那么我們有時可能會感到“驚異”。 在觀察一個事件j，并賦予它（主觀）概率P(j)。 當我們賦予一個事件較低的概率時，我們的驚異會更大。 在?(3.4.11)中定義的熵， 是當分配的概率真正匹配數據生成過程時的預期驚異。
3.4.7.3.?重新審視交叉熵
交叉熵想象為“主觀概率為Q的觀察者在看到根據概率P生成的數據時的預期驚異”。 當P=Q時，交叉熵達到最低。 在這種情況下，從P到Q的交叉熵是H(P,P)=H(P)。
簡而言之，我們可以從兩方面來考慮交叉熵分類目標：
（i）最大化觀測數據的似然；
（ii）最小化傳達標簽所需的驚異。
3.4.8.?模型預測和評估
在訓練softmax回歸模型后，給出任何樣本特征，我們可以預測每個輸出類別的概率。 通常我們使用預測概率最高的類別作為輸出類別。 如果預測與實際類別（標簽）一致，則預測是正確的。 在接下來的實驗中，我們將使用精度（accuracy）來評估模型的性能。 精度等于正確預測數與預測總數之間的比率。
3.5.?圖像分類數據集
import torch import torchvision from torch.utils import data from torchvision import transforms from d2l import torch as d2l import os os.environ['KMP_DUPLICATE_LIB_OK'] = 'True' # 可能是由于是MacOS系統的原因def get_dataloader_workers():"""使用4個進程來讀取數據"""return 4def load_data_fashion_mnist(batch_size, resize=None):"""下載Fashion-MNIST數據集，然后將其加載到內存中"""# 通過ToTensor實例將圖像數據從PIL類型變換成32位浮點數格式# 并除以255使得所有像素的數值均在0到1之間trans = [transforms.ToTensor()]if resize:trans.insert(0, transforms.Resize(resize))trans = transforms.Compose(trans)mnist_train = torchvision.datasets.FashionMNIST(root="../data", train=True, transform=trans, download=True)mnist_test = torchvision.datasets.FashionMNIST(root="../data", train=False, transform=trans, download=True)return (data.DataLoader(mnist_train, batch_size, shuffle=True,num_workers=get_dataloader_workers()),data.DataLoader(mnist_test, batch_size, shuffle=False,num_workers=get_dataloader_workers()))def get_fashion_mnist_labels(labels):"""返回Fashion-MNIST數據集的文本標簽"""text_labels = ['t-shirt', 'trouser', 'pullover', 'dress', 'coat','sandal', 'shirt', 'sneaker', 'bag', 'ankle boot']return [text_labels[int(i)] for i in labels]def show_images(imgs, num_rows, num_cols, titles=None, scale=1.5): #@save"""繪制圖像列表"""figsize = (num_cols * scale, num_rows * scale)_, axes = d2l.plt.subplots(num_rows, num_cols, figsize=figsize)axes = axes.flatten()for i, (ax, img) in enumerate(zip(axes, imgs)):if torch.is_tensor(img):# 圖片張量ax.imshow(img.numpy())else:# PIL圖片ax.imshow(img)ax.axes.get_xaxis().set_visible(False)ax.axes.get_yaxis().set_visible(False)if titles:ax.set_title(titles[i])return axes
3.6.?softmax回歸的從零開始實現
3.4.9.?小結?
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softmax運算獲取一個向量并將其映射為概率。
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softmax回歸適用于分類問題，它使用了softmax運算中輸出類別的概率分布。
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交叉熵是一個衡量兩個概率分布之間差異的很好的度量，它測量給定模型編碼數據所需的比特數。
一、Softmax 回歸
1.1視頻截圖
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?二、損失函數
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?三、圖像分類數據集
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?四、從0開始實現sofymax回歸
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?五、softmax回歸的簡潔實現
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?QA：
?1.softmax 和 logistic類似
?2.相對熵：是一個對稱的關系
3.損失圖中：橙色線 表示梯度的絕對值
4.最小化損失就等于最大化似然函數
總結
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