問題

昨天晚上，小學(xué)6年級的外甥女從數(shù)學(xué)課外輔導(dǎo)班補習(xí)回來，興沖沖的對家里人說，哎，我發(fā)現(xiàn)了一個數(shù)學(xué)的大bug啊。

你說1/3不是一個無限循環(huán)小數(shù)0.33333...，那么三個1/3加起來，不就是0.99999...嗎？可是我們都知道3*1/3=1。這不就是說

這不就是一個大bug嘛！

看到這里，你是否也認(rèn)為這是一個bug呢？

答案

這不是數(shù)學(xué)的bug，因為，0.99999......就是等于1。

這看起來有點違反直覺。但是你要注意到，你這里的0.99999......，不是0.9，也不是0.99，甚至不能說是0.99后面跟了一串很長的9，而應(yīng)該是0.99后面跟了一串無窮長度的9。

一旦涉及到無窮，就不一樣了。

你有可能問，可是，不管后面有多少位9，0.99999......總是和1有一個差距吧！沒錯，如果你把0.99999......在某一位截斷的話，那么這個有限長度的0.99999......，確實和1的差距不為0。

但是‘0.99999......’的長度是無窮的，沒有所謂的最后一個數(shù)字，所以你不能說‘0.99999......’總是和1有一個差距。

看到這里，我們還是擺出嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明吧。

證明

數(shù)字‘0.99999......’，可以被展開成如下的式子

上式中的每一項，都是某個小數(shù)點后面跟了一個9，因此可以寫成如下的形式

注意到( )內(nèi)部是一個無限等比數(shù)列。按照等比數(shù)列的公式，我們可以接著計算

因此，我們證明了0.99999......=1

很多涉及到無窮和極限的東西，都會違反我們的直覺。和上面的例子很相似的一個例子是是古希臘數(shù)學(xué)家芝諾(Zeno of Elea)提出的一個芝諾悖論。

“一個人從A點走到B點，要先走完路程的1/2，再走完剩下總路程的1/2，再走完剩下的1/2...”如此循環(huán)下去，永遠(yuǎn)不能到終點”。

假設(shè)此人速度不變，那么實際需要時間是1/2+1/4+1/8+......。我們知道，雖然這個式子的項有無窮項，但是之和

關(guān)于這個的證明，只要從下面的圖里看起來就一目了然了。

很有意思的是，我們的莊子，在《莊子·天下篇》中直接給出了答案：

“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”。

莊子的這句話有兩點含義(1)“萬世不竭”，表明包含有無限的項，(2)"一尺之錘"，表明這所有的項之和為1。

今天，我從一個例子，談起了數(shù)學(xué)的美妙之處。沒有經(jīng)過數(shù)學(xué)的訓(xùn)練，我們很多人的思維經(jīng)常會有很多桎梏，例如很多人無法理解無窮、極限、量級等等，就會導(dǎo)致很多地方出現(xiàn)“違反直覺”的地方。但是經(jīng)過嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明，你就可以理解其中的概念了。

好了，今天的就到這里，希望你能有所收獲。今天的思考題是，你能不能給出幾個違反你的直覺，但是又正確的例子呢？

創(chuàng)作挑戰(zhàn)賽新人創(chuàng)作獎勵來咯，堅持創(chuàng)作打卡瓜分現(xiàn)金大獎

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的1 0.99999的悖论_无限小数与芝诺悖论的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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