文章目錄

• • 1. 線性回歸
  • • 1.1 正規方程求解
    • 1.2 時間復雜度
    • 1.3 梯度下降
• • • 1.4 批量梯度下降
    • 1.5 隨機梯度下降
    • 1.6 小批量梯度下降
  • 2. 多項式回歸
  • 3. 線性模型正則化
  • 4. 早期停止法（Early Stopping）

本文為《機器學習實戰：基于Scikit-Learn和TensorFlow》的讀書筆記。
中文翻譯參考

1. 線性回歸

如何得到模型的參數

1.1 正規方程求解

• 先生成帶噪聲的線性數據

import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt X = 2*np.random.rand(100,1) y = 4+3*X+np.random.randn(100,1) plt.plot(X,y,"b.") plt.axis([0,2,0,15])

• 采用矩陣解方程，得到參數

X_b = np.c_[np.ones((100,1)),X] theta_best = np.linalg.inv(X_b.T.dot(X_b)).dot(X_b.T).dot(y) theta_best array([[4.46927218],[2.71589368]])

• 預測新的數據

X_new = np.array([[0],[2]]) X_new_b = np.c_[np.ones((2,1)),X_new] y_pred = X_new_b.dot(theta_best) y_pred array([[4.46927218],[9.90105954]])

• 畫出模型回歸線

plt.plot(X_new,y_pred,"r-") plt.plot(X,y,"b.") plt.axis([0,2,0,15]) plt.show()

• 使用sklearn求解

from sklearn.linear_model import LinearRegression lin_reg = LinearRegression() lin_reg.fit(X,y) lin_reg.intercept_, lin_reg.coef_ # (array([4.15725481]), array([[2.97840411]])) lin_reg.predict(X_new) array([[ 4.15725481],[10.11406304]])

1.2 時間復雜度

求解過程需要矩陣求逆，矩陣求逆時間復雜度在 $O(n^{2.4})$ 到 $O(n^3)$ 之間，n 為特征數

• 特征個數很多的時候，這種計算方法將會非常慢

1.3 梯度下降

整體思路：通過的迭代來逐漸調整參數使得損失函數達到最小值

由上圖右側可見，一開始的方向跟梯度方向幾乎垂直，走了彎路。

當我們使用梯度下降的時候，應該確保所有的特征有著相近的尺度范圍

（例如：使用 Scikit Learn 的 StandardScaler類），否則它將需要很長的時間才能夠收斂。

• 參數越多，找到最佳參數的難度也越大

1.4 批量梯度下降

• 會使用全部的訓練數據
• 在大數據集上會變得很慢

eta = 0.1 # 學習率 n_iter = 1000 m = 100 theta = np.random.randn(2,1)for iter in range(n_iter):gradients = 2/m*X_b.T.dot(X_b.dot(theta)-y)theta = theta - eta*gradients theta array([[4.33118102],[2.8597418 ]])

• 不同的學習率下，學習情況對比

eta = 0.1 # 學習率 n_iter = 1000 m = 100 theta = np.random.randn(2,1)plt.figure(figsize=(8,6)) plt.ion()# 打開交互模式 plt.axis([0,2,0,15]) plt.rcParams["font.sans-serif"] = "SimHei"for iter in range(n_iter):plt.cla() # 清除原圖像gradients = 2/m*X_b.T.dot(X_b.dot(theta)-y)theta = theta - eta*gradientsX_new = np.array([[0],[2]])X_new_b = np.c_[np.ones((2,1)),X_new]y_pred = X_new_b.dot(theta)plt.plot(X,y,"b.")plt.plot(X_new,y_pred,"r-")plt.title("學習率：{:.2f}".format(eta))plt.pause(0.1) # 暫停一會display.clear_output(wait=True)# 刷新圖像 plt.ioff()# 關閉交互模式 plt.show() theta

求解過程動圖請參看博文：matplotlib 繪制梯度下降求解過程

• 實際使用時，設置較大的迭代次數，和容差，當梯度向量變得非常小的時候，小于容差時，認為收斂，結束迭代

1.5 隨機梯度下降

每一步梯度計算只隨機選取訓練集中的一個樣本。這使得算法變得非常快。

• 隨機梯度算法可以在大規模訓練集上使用
• 由于隨機性，它到達最小值不是平緩下降，損失函數會忽高忽低，大體呈下降趨勢
• 迭代點不會停止在一個值上，會一直在這個值附近擺動，最后的參數還不錯，但不是最優值

由于其隨機性，它能跳過局部最優解，但同時它卻不能達到最小值。

解決辦法：逐漸降低學習率

• 開始時，走大步，快速前進+跳過局部最優解
• 然后逐步降低學習率，使算法到達全局最小值。 這個過程被稱為模擬退火，因為它類似于熔融金屬慢慢冷卻的冶金學退火過程

決定每次迭代的學習率的函數稱為 learning schedule

• 如果學習速度降得過快，可能陷入局部最小值，或者迭代次數到了半路就停止了
• 如果學習速度降得太慢，可能在最小值附近震蕩，如果過早停止訓練，只得到次優解

from sklearn.linear_model import SGDRegressor # help(SGDRegressor) sgd_reg = SGDRegressor(max_iter=100, penalty=None, eta0=0.1) sgd_reg.fit(X,y.ravel()) sgd_reg.intercept_, sgd_reg.coef_ (array([3.71001759]), array([2.99883799]))

1.6 小批量梯度下降

每次迭代的時候，使用一個隨機的小型實例集

2. 多項式回歸

依然可以使用線性模型來擬合非線性數據

• 一個簡單的方法：對每個特征進行加權后作為新的特征
• 然后訓練一個線性模型基于這個擴展的特征集。 這種方法稱為多項式回歸。

m = 100 X = 6*np.random.rand(m,1)-3 y = 0.5*X**2 + X + 2 + np.random.randn(m,1) plt.rcParams["axes.unicode_minus"] = False # 顯示負號 plt.plot(X, y, "g.")

from sklearn.preprocessing import PolynomialFeatures pf = PolynomialFeatures(degree=2, include_bias=False) # help(PolynomialFeatures) X_ploy = pf.fit_transform(X) print(X[0]) print(X_ploy[0])

• 對原始特征進行2階多項式轉換后，多出了 X² 項

[2.43507761] [2.43507761 5.92960298]

• 進行線性回歸

lin_reg = LinearRegression() lin_reg.fit(X_ploy, y) lin_reg.intercept_, lin_reg.coef_ (array([1.95147614]), array([[1.0462516 , 0.48003845]]))

• 繪出預測線

plt.plot(X, y, "g.") x = np.linspace(-3.5, 3.5, 500) print(x.shape) y_pred = lin_reg.intercept_ + lin_reg.coef_[0][0]*x + lin_reg.coef_[0][1]*x**2 plt.plot(x, y_pred, 'r-')

注意，階數變大時，特征的維度會急劇上升，不僅有 $a^n$，還有 $a^{n?1}b,a^{n?2}{b}^2$等

如何確定選擇多少階：

1、交叉驗證

• 在訓練集上表現良好，但泛化能力很差，過擬合
• 如果這兩方面都不好，欠擬合。可知模型是太復雜還是太簡單

2、觀察學習曲線

from sklearn.metrics import mean_squared_error from sklearn.model_selection import train_test_splitdef plot_learning_curves(model, X, y):X_train, X_val, y_train, y_val = train_test_split(X, y, test_size=0.2)train_errors, val_errors = [], []for m in range(1, len(X_train)):model.fit(X_train[:m], y_train[:m])y_train_predict = model.predict(X_train[:m])y_val_predict = model.predict(X_val)train_errors.append(mean_squared_error(y_train_predict, y_train[:m]))val_errors.append(mean_squared_error(y_val_predict, y_val))plt.plot(np.sqrt(train_errors), "r-+", linewidth=2, label="train")plt.plot(np.sqrt(val_errors), "b-", linewidth=3, label="val")lin_reg = LinearRegression() plot_learning_curves(lin_reg, X, y)

• 上圖顯示訓練集和測試集在數據不斷增加的情況下，曲線趨于穩定，同時誤差都非常大，欠擬合
• 欠擬合，添加樣本是沒用的，需要更復雜的模型或更好的特征

模型的泛化誤差由三個不同誤差的和決定：

• 偏差：模型假設不貼合，高偏差的模型最容易出現欠擬合
• 方差：模型對訓練數據的微小變化較為敏感，多自由度的模型更容易有高的方差（如高階多項式），會導致過擬合
• 不可約誤差：數據噪聲，可進行數據清洗

3. 線性模型正則化

限制模型的自由度，降低過擬合

• 嶺（Ridge）回歸 L2正則
• Lasso 回歸 L1正則
• 彈性網絡（ElasticNet），以上兩者的混合，r=0, 就是L2，r=1，就是 L1
  $$J(\theta )=MSE(\theta )+r\alpha \sum _{i=1}^n\left|{\theta }_i\right|+\frac{1?r}{2}\alpha \sum _{i=1}^n{\theta }_i^2$$

from sklearn.linear_model import Ridge ridge_reg = Ridge(alpha=1, solver="cholesky") ridge_reg.fit(X, y) ridge_reg.predict([[1.5]]) # array([[5.04581676]])from sklearn.linear_model import Lasso lasso_reg = Lasso(alpha=0.1) lasso_reg.fit(X, y) lasso_reg.predict([[1.5]]) # array([5.00189893])from sklearn.linear_model import ElasticNet elastic_net = ElasticNet(alpha=0.1, l1_ratio=0.5) elastic_net.fit(X, y) elastic_net.predict([[1.5]]) # array([4.99822842])

4. 早期停止法（Early Stopping）

驗證集 誤差達到最小值，并開始上升時（出現過擬合），結束迭代，回滾到之前的最小值處

總結

以上是生活随笔為你收集整理的[Hands On ML] 4. 训练模型的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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