文章目錄

• • 1. 前言
  • 2. 原理簡介
  • • 2.1 SVD定義
  • 3. 實踐代碼
  • 4. 參考文獻

1. 前言

數字圖片在計算機中是以矩陣形式存儲的。所以可以通過矩陣理論和矩陣算法對數字圖像進行分析和處理。本文通過對圖片進行SVD壓縮，對不同的參數下的壓縮效果進行對比。

SVD概念可以參考：《統計學習方法》–奇異值分解（Singular Value Decomposition，SVD）

2. 原理簡介

彩色圖片有3個圖層，RGB（紅、綠、藍）也就是矩陣的一個位置上存儲了3個基色的數值，由3個基色混合成不同的色彩。

通過對3個圖層矩陣，分別進行SVD近似，SVD奇異值是唯一的，可以取前 k 個最大的奇異值進行近似表達，最后再將3個圖層的矩陣數據合并，用較少的數據去表達圖片。

2.1 SVD定義

$$\begin{gathered} A_{m\times n}=U\Sigma V^T \\ U{U}^T=I_m \\ V{V}^T=I_n \\ \Sigma =diag({\sigma }_1,{\sigma }_2,...,{\sigma }_p) \\ {\sigma }_1\ge {\sigma }_2\ge ...\ge {\sigma }_p\ge 0 \\ p=\min (m,n) \end{gathered}$$

• $U\Sigma V^T$ 稱為矩陣 $A$ 的奇異值分解（SVD），$U$ 是 $m$ 階正交矩陣， $V$ 是 $n$ 階正交矩陣，$\Sigma$ 是 $m\times n$ 的對角矩陣
• ${\sigma }_i$ 稱為矩陣 $A$ 的奇異值
• $U$ 的列向量，左奇異向量
• $V$ 的列向量，右奇異向量

$$Dat{a}_{m\times n}\approx U[:,0:k]\Sigma [0:k,0:k]V^T[0:k,:]$$

3. 實踐代碼

# -*- coding:utf-8 -*- # @Python Version: 3.7 # @Time: 2020/4/21 23:38 # @Author: Michael Ming # @Website: https://michael.blog.csdn.net/ # @File: 15.svd_pic_compress.py # @Reference: https://blog.csdn.net/weixin_44344462/article/details/89401727import numpy as np import matplotlib.pyplot as pltdef zip_img_by_svd(img, plotId, rate=0.8):zip_img = np.zeros(img.shape)u_shape = 0sigma_shape = 0vT_shape = 0for chanel in range(3): # 3個圖層u, sigma, v = np.linalg.svd(img[:, :, chanel]) # numpy svd函數sigma_i = 0temp = 0while (temp / np.sum(sigma)) < rate: # 選取的奇異值和需要達到設定的權重temp += sigma[sigma_i]sigma_i += 1SigmaMat = np.zeros((sigma_i, sigma_i)) # 選取了sigma_i 最大的奇異值for i in range(sigma_i):SigmaMat[i, i] = sigma[i] # 將奇異值填充到Sigma對角矩陣zip_img[:, :, chanel] = u[:, 0:sigma_i].dot(SigmaMat).dot(v[0:sigma_i, :])# 將分解得到的3個矩陣相乘，得到壓縮后的近似矩陣u_shape = u[:, 0:sigma_i].shapesigma_shape = SigmaMat.shapevT_shape = v[0:sigma_i, :].shapefor i in range(3): # 對三個通道的矩陣數值進行歸一化處理MAX = np.max(zip_img[:, :, i])MIN = np.min(zip_img[:, :, i])zip_img[:, :, i] = (zip_img[:, :, i] - MIN) / (MAX - MIN)zip_img = np.round(zip_img * 255).astype("uint8")# 不乘255圖片是黑的（接近0,0,0），數據類型uint8plt.imsave("zip_svd_img.jpg", zip_img) # 保存壓縮后的圖片zip_rate = (img.size - 3 * (u_shape[0] * u_shape[1] + sigma_shape[0] * sigma_shape[1] + vT_shape[0] * vT_shape[1])) / (zip_img.size)f = plt.subplot(3, 3, plotId)f.imshow(zip_img)f.set_title("SVD壓縮率 %.4f,奇異值數量：%d" % (zip_rate, sigma_i))print("設置的壓縮率：", rate)print("使用的奇異值數量：", sigma_i)print("原始圖片大小：", img.shape)print("壓縮后用到的矩陣大小：3x({}+{}+{})".format(u_shape, sigma_shape, vT_shape))print("壓縮率為：", zip_rate)if __name__ == '__main__':imgfile = "svd_img.jpg"plt.figure(figsize=(12, 12))plt.rcParams['font.sans-serif'] = 'SimHei' # 消除中文亂碼img = plt.imread(imgfile)f1 = plt.subplot(331) # 繪制子圖，3行3列，3*3個子圖，現在畫第1幅f1.imshow(img)f1.set_title("原始圖片")for i in range(8): # 再畫8個子圖rate = (i + 1) / 10.0 # 壓縮率 10% - 80%zip_img_by_svd(img, i + 2, rate)plt.suptitle('圖片SVD效果對比', fontsize=17, y=0.02) # y偏移距離plt.show()

• 可以看出在使用128個奇異值的SVD壓縮情況下，就可以得到跟原圖差不多效果的圖片
• 原圖是703x800的尺寸，SVD使用的矩陣 ((703, 128)+(128, 128)+(128, 800))=208768
• 可以少使用的矩陣數據比例為（703*800*3-208768*3）/（703*800*3）= 62.88%
• 可以只用37.12%的數據量去近似表達原始圖片，是不是很酷！！！
• 在網絡傳輸圖片的過程中，終端用戶可能點擊，也可能不點擊，那我都給他們發送SVD后的圖片矩陣數據（減少了當次傳輸數據量），然后在終端進行矩陣運算得到壓縮后的圖片，當用戶點擊圖片后，再進行傳輸原圖片（1、用戶點擊是分散的，可以降低統一發送原圖的網絡擁擠現象；2、有的用戶也不會點擊，就避免了傳輸原圖，達到了壓縮的目的，節省流量）
• 微信收到的圖片、小米手機云相冊的縮略圖等都可能用到類似的技術來節省空間

我是外行，自己想的結論，不對的地方，請大佬指點，感謝！

4. 參考文獻

本文參考了以下兩篇文章，對作者表示感謝！

• 利用SVD進行圖像壓縮（附Python代碼）
• 用SVD壓縮圖像

總結

以上是生活随笔為你收集整理的基于奇异值分解（SVD）的图片压缩实践的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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