1. 題目

有 n 位乘客即將登機，飛機正好有 n 個座位。第一位乘客的票丟了，他隨便選了一個座位坐下。

剩下的乘客將會：

• 如果他們自己的座位還空著，就坐到自己的座位上，

• 當他們自己的座位被占用時，隨機選擇其他座位

第 n 位乘客坐在自己的座位上的概率是多少？

示例 1： 輸入：n = 1 輸出：1.00000 解釋：第一個人只會坐在自己的位置上。示例 2： 輸入: n = 2 輸出: 0.50000 解釋：在第一個人選好座位坐下后，第二個人坐在自己的座位上的概率是 0.5。提示： 1 <= n <= 10^5

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2. 解題

1個人，1
2個人，0.5
n個人，分情況討論，假設n個座位最后一個人坐自己的座位的概率為 $f(n)$

• 1、第一個人在自己位置，最后一個人在自己位置概率概率：$\frac{1}{n}?1$
• 2、第一個人在最后一個人的位置，最后一個人在自己位置概率概率：$\frac{1}{n}?0$
• 3、第一個人在 2~n-1 號位置，最后一個人在自己位置概率概率：$\frac{n?2}{n}?f(n?1)$
• 所以加起來，$f(n)=\frac{1}{n}+\frac{n?2}{n}?f(n?1)$
• 數學歸納法證明，$f(n)=0.5,n\ge 2$
• $f(n+1)=\frac{1}{n+1}+\frac{n+1?2}{n+1}?f(n)=\frac{1}{n+1}+\frac{n+1?2}{n+1}?\frac{1}{2}=\frac{2+n+1?2}{2?(n+1)}=\frac{1}{2}$,得證

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• 不用數學歸納法，可以由 $f(n)=\frac{1}{n}+\frac{n?2}{n}?f(n?1)$
• 容易得到 $nf(n)+\sum _{i=1}^{n?1}f(i)=n$

class Solution { public:double nthPersonGetsNthSeat(int n) {double fn = 1.0, sum_f_i = 1.0;for (int i = 2; i <= n; ++i) {fn = 1 - sum_f_i/i;sum_f_i += fn;}return fn;} };

24 ms 6 MB

class Solution { public:double nthPersonGetsNthSeat(int n) {return n==1 ? 1.0 : 0.5;} };

0 ms 5.8 MB

總結

以上是生活随笔為你收集整理的LeetCode 1227. 飞机座位分配概率（DP+数学归纳法）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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