1. 題目

有 n 位乘客即將登機(jī)，飛機(jī)正好有 n 個(gè)座位。第一位乘客的票丟了，他隨便選了一個(gè)座位坐下。

剩下的乘客將會(huì)：

• 如果他們自己的座位還空著，就坐到自己的座位上，

• 當(dāng)他們自己的座位被占用時(shí)，隨機(jī)選擇其他座位

第 n 位乘客坐在自己的座位上的概率是多少？

示例 1： 輸入：n = 1 輸出：1.00000 解釋：第一個(gè)人只會(huì)坐在自己的位置上。示例 2： 輸入: n = 2 輸出: 0.50000 解釋：在第一個(gè)人選好座位坐下后，第二個(gè)人坐在自己的座位上的概率是 0.5。提示： 1 <= n <= 10^5

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2. 解題

1個(gè)人，1
2個(gè)人，0.5
n個(gè)人，分情況討論，假設(shè)n個(gè)座位最后一個(gè)人坐自己的座位的概率為 $f(n)$

• 1、第一個(gè)人在自己位置，最后一個(gè)人在自己位置概率概率：$\frac{1}{n}?1$
• 2、第一個(gè)人在最后一個(gè)人的位置，最后一個(gè)人在自己位置概率概率：$\frac{1}{n}?0$
• 3、第一個(gè)人在 2~n-1 號(hào)位置，最后一個(gè)人在自己位置概率概率：$\frac{n?2}{n}?f(n?1)$
• 所以加起來(lái)，$f(n)=\frac{1}{n}+\frac{n?2}{n}?f(n?1)$
• 數(shù)學(xué)歸納法證明，$f(n)=0.5,n\ge 2$
• $f(n+1)=\frac{1}{n+1}+\frac{n+1?2}{n+1}?f(n)=\frac{1}{n+1}+\frac{n+1?2}{n+1}?\frac{1}{2}=\frac{2+n+1?2}{2?(n+1)}=\frac{1}{2}$,得證

---

• 不用數(shù)學(xué)歸納法，可以由 $f(n)=\frac{1}{n}+\frac{n?2}{n}?f(n?1)$
• 容易得到 $nf(n)+\sum _{i=1}^{n?1}f(i)=n$

class Solution { public:double nthPersonGetsNthSeat(int n) {double fn = 1.0, sum_f_i = 1.0;for (int i = 2; i <= n; ++i) {fn = 1 - sum_f_i/i;sum_f_i += fn;}return fn;} };

24 ms 6 MB

class Solution { public:double nthPersonGetsNthSeat(int n) {return n==1 ? 1.0 : 0.5;} };

0 ms 5.8 MB

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的LeetCode 1227. 飞机座位分配概率（DP+数学归纳法）的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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