文章目錄

• • 1. 題目
  • 2. 動態規劃
  • 3. 優化的DP

1. 題目

給出兩個整數 n 和 k，找出所有包含從 1 到 n 的數字，且恰好擁有 k 個逆序對的不同的數組的個數。

逆序對的定義如下：對于數組的第i個和第 j個元素，如果滿i < j且 a[i] > a[j]，則其為一個逆序對；否則不是。

由于答案可能很大，只需要返回 答案 mod 10⁹ + 7 的值。

示例 1: 輸入: n = 3, k = 0 輸出: 1 解釋: 只有數組 [1,2,3] 包含了從1到3的整數并且正好擁有 0 個逆序對。示例 2: 輸入: n = 3, k = 1 輸出: 2 解釋: 數組 [1,3,2] 和 [2,1,3] 都有 1 個逆序對。 說明:n 的范圍是 [1, 1000] 并且 k 的范圍是 [0, 1000]。

來源：力扣（LeetCode）
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2. 動態規劃

• $f(i,j)$表示i個數，j個逆序對的組合方式種類
• i個數的j個逆序對的組合，可以在i-1個數的基礎上得到
• 把第i個數插入到前面i-1的i個空位上，相應的逆序數會變化
• f(i - 1, j)插在最后，逆序增加0，插在倒數第1個前面，逆序數為1，為保持總逆序數j，那i-1個數的逆序數為j-1，依次類推
• $f(i,j)=f(i?1,j)+f(i?1,j?1)+...+f(i?1,j?i+1)$

class Solution { public:int kInversePairs(int n, int k) {//f(i,j)表示i個數，j個逆序對的組合方式//f(i, j) = f(i - 1, j) + f(i - 1, j - 1) + ... + f(i - 1, j - i + 1)int dp[n+1][k+1] = {0};int i, j, time, idx;for(i = 1; i <= n; i++)dp[i][0] = 1;for(i = 2; i <= n; i++){for(j = 1; j <= k; j++){time = i;idx = j;while(time-- && idx >= 0){dp[i][j] += dp[i-1][idx];dp[i][j] %= 1000000007;idx--;}}}return dp[n][k];} };

時間復雜度 $O(k?n^2)$

3. 優化的DP

• $f(i,j)=f(i?1,j)+f(i?1,j?1)+...+f(i?1,j?i+1)$
• 代入j=j-1到上式
• $f(i,j?1)=f(i?1,j?1)+f(i?1,j?2)+...+f(i?1,j?i)$
• 做差，$f(i,j)?f(i,j?1)=f(i?1,j)?f(i?1,j?i)$
• 即 $f(i,j)=f(i,j?1)+f(i?1,j)?f(i?1,j?i)$

class Solution { public:int kInversePairs(int n, int k) {int dp[n+1][k+1] = {0};int i, j, maxk, M = 1000000007;for(i = 1; i <= n; i++)dp[i][0] = 1;for(i = 2; i <= n; i++){maxk = i*(i-1)/2;//最大的逆序數for(j = 1; j <= k && j <= maxk; j++){dp[i][j] = dp[i][j-1]%M + (M + dp[i-1][j]-(j>=i ? dp[i-1][j-i]:0))%M;//dp[i-1][j] 不一定比 dp[i-1][j-i] 大（正態分布），+M防止負數dp[i][j] %= M;}}return dp[n][k];} };

時間復雜度 $O(k?n)$

總結

以上是生活随笔為你收集整理的LeetCode 629. K个逆序对数组（DP）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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