主要內容：

1、引言

2、高斯消去法

3、直接分解法

4、解線性方程組的迭代法

5、向量范數、矩陣范數及迭代法的收斂性

第一節 引言

用克拉姆求解線性方程組

第二節 高斯消去法

高斯消去法是一種古老的直接法，其基本思想是通過消元將線性方程組的求解問題轉化成三角形式方程組的求解問題。

1、上三角形方程組

則上方程組可以寫成矩陣形式：

Ux=b

當 det(U) ≠0時，即aii≠0時，方程組有唯一解。

求解上述方程組：

一般地，假設已經求得xn,xn-1....xi+1，帶入第i 個方程得到：

此過程稱為回代過程。

2、回代過程的計算量

（1）乘除法運算次數

（2）加減法運算次數

第二節 高斯消去法

1、高斯消去法：

對一般的n階方程組，消去過程分n-1步：第一步消去a11下方元素，第二步消去a22下方元素，……，第n-1步消去an-1,n-1下方元素。

具體步驟如下：

第一步消元：

第二步消元：

.........

.........

第k步消元：

第n－1步后：

2.列主元高斯消去法

高斯消去法消去過程中，第k步求n-k個倍數用到的除數，稱為主元。它若為零或接近于零，計算機將“溢出”而停止計算，或產生較大誤差。

準確到九位小數的解是x1=0.250 001 875，x2=0.499 998 749，若在4位計算機上按高斯消去法求解

回代解得 x2=0.5， x1=0，顯然嚴重失真。

造成這種結果的原因，就是小主元的出現。用它做除數產生大乘數，出現大數吃小數產生舍入誤差

解決方法：為了避免出現小主元，可在第k步的第k列的元素 中選主元，即在其中找出絕對值最大的元素

然后交換第k和第p行，繼續進行消去過程。交換行相當于改變方程順序，不會影響原方程組的解。這種消去法稱為列主元消去法。

第三節、直接分解法

第四節、解線性方程組的迭代法

1、迭代法的基本思想

設有線性代數方程組：

a11 x1+a12 x2+····+a1n xn=b1

a21x1+a22x2+····+a2nxn=b2

. . . . . .

an1x1+an2x2+····+annxn=bn

用矩陣表示： Ax =b

其中A 為系數矩陣，非奇異且設aii≠0；b為右端常數項，x為解向量

則方程組的一個等價變換為：x=Bx+f

任取初始向量x(0)，按照下列公式構造迭代序列：

2、迭代公式：

迭代矩陣：B

3.不同的迭代矩陣構成不同的迭代法，介紹兩種迭代法：

雅可比迭代法

高斯-賽德爾迭代法

4.雅可比迭代法

公式推導：

a11x1+a12x2+····+a1nxn=b1

a21x1+a22x2+····+a2nxn=b2

. . . . . .

an1x1+an2x2+····+annxn=bn

5.高斯-賽德爾迭代法

第五節 向量范數、矩陣范數及迭代法收斂性

向量范數和矩陣范數是研究迭代法及其收斂性、估計方程組近似解的誤差的一種有力工具。

1、向量范數

定義：（1）絕對值

范數的最簡單的例子，是絕對值函數

（2）范數的另一個簡單例子是二維歐氏空間的長度

（3）設x = (x1, x2,…, xn)T，則有：

——向量的1范數：

——向量的2范數

——向量的無窮范數：

例題：

設x=[1 2 3]T，求x的1范數，2范數和無窮范數

解：根據定義可以得到：

2、矩陣范數

定義：

對于任意n 階方陣A，按一定的規則有一實數與之對應，記為||A||，若||A||滿足：

（1）正定：

（2）

（3）

則||A||稱為矩陣A的范數

矩陣范數與向量范數的相容性

對于任意的n 維向量x，都有：

這一性質稱為矩陣范數與向量范數的相容性。

常用的矩陣范數：

注釋：矩陣B的特征值表示為

則特征值的最大絕對值稱為B的譜半徑，記為：

則矩陣的2范數其實為AAT的譜半徑的平方根。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的qr分解求线性方程组_计算方法/数值分析第三章 线性方程组的数值解法的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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