文章目錄

• • 1.概念
  • 2.構造最小生成樹Prim算法
  • 3.構造最小生成樹Kruskal算法

1.概念

• 對圖運用不同的遍歷方法就可能得到圖的不同遍歷順序，每一種遍歷順序對應于一棵生成樹
• 對于無向連通圖，所有的生成樹中必有一棵樹的所有邊的權的總和最小的，稱之為最小生成樹（Minimum cost spanning tree）

練習題：
LeetCode 1135. 最低成本聯通所有城市（最小生成樹+排序+并查集）
LeetCode 1489. 找到最小生成樹里的關鍵邊和偽關鍵邊（并查集+kruskal最小生成樹）

2.構造最小生成樹Prim算法

從某點出發（該點加入集合U），找到跟它相連接的點，從中取出權值最小的，加入集合U，對這個集合U，查找與U內所有的點相連的點的權值，取權值最小的點，加入集合U，直到所有點加入到U。

struct CloseEdge //最短的邊 {int startV;int endV;int minWeight; //最小的權值bool operator < (const CloseEdge &s) const{//符號重載return minWeight < s.minWeight;} }; //----------prim最小生成樹--------------- void MiniSpanTree_Prim(char ch) {int s = findPos(ch);if(s >= v)return;cout << "從 " << ch << " 開始的Prim最小生成樹：" << endl;int i, j, k, x, w, minid, sum = 0;for(i = 0; i < v; ++i)visited[i] = 0;//訪問標志置0visited[s] = 1;vector<int> q;vector<int>::iterator it;q.push_back(s);for(i = 0; i < v-1; ++i){for(it = q.begin(),x = 0; it != q.end(); ++it,++x){w = MaxValue;for(j = 0; j < v; ++j){if (!visited[j] && ew[*it][j] < w){w = ew[*it][j];minid = j;//記錄較小的權的序號為k}}close_edge[x].minWeight = w;close_edge[x].startV = *it;close_edge[x].endV = minid;}sort(close_edge,close_edge+x);visited[close_edge[0].endV] = 1;cout << vertex[close_edge[0].startV] << "-" << vertex[close_edge[0].endV] << " 權值 " << close_edge[0].minWeight << endl;sum += close_edge[0].minWeight;q.push_back(close_edge[0].endV);}cout << "最小生成樹權重總和為：" << sum << endl;}

我這個程序比較好理解，但是復雜度n³。書上的程序寫法是n²。

int main() { //------------以下測試Prim最小生成樹------------------ // A -40- B -50- C // 30| \10 5| 20| // D -35- E -45- F // 10| 55| 10| // I -15- G -25- H //請輸入以下數據生成上面的圖 //A B C D E F G H I A B 40 B C 50 A D 30 B E 5 C F 20 D E 35 E F 45 E G 55 F H 10 G H 25 A E 10 D I 10 I G 15arrGraph bg(9,13); //9個頂點，13條邊，默認生成無向圖bg.creatGraph();bg.printArrOfGraph();bg.MiniSpanTree_Prim('A');bg.MiniSpanTree_Prim('I');//從任一點出發，最小花費都一樣return 0; }

完整代碼：https://github.com/hitskyer/course/blob/master/dataAlgorithm/chenmingming/graph/arrayGraph.cpp


從任意一點出發最小生成樹的最小代價總和都相等。

看了別人的代碼，調試后，明白了n²復雜度的Prim算法

void MiniSpanTree_Prim_O_n2(char ch) {int s = findPos(ch);if (s >= v)return;cout << "從 " << ch << " 開始的Prim最小生成樹：" << endl;int i, j, k, minweight, sum = 0;int adjvex[v]; //保存頂點下標int lowcost[v]; //保存相關頂點見的權值lowcost[s] = 0; //=0，加入了生成樹adjvex[s] = s; //起點下標為自己for(i = 0; i < v; ++i){if(i == s)continue;lowcost[i] = ew[s][i];//將s起點與其他點的權值初始化adjvex[i] = s;//到達i的前一個點初始化為起點}for(i = 0; i < v-1; ++i){minweight = MaxValue;for(j = 0, k = 0; j < v; ++j){if(lowcost[j] != 0 && lowcost[j] < minweight)//未加入生成樹的，且j點的比較小{minweight = lowcost[j];//更新最小值k = j;//下標記錄入k}}cout << vertex[adjvex[k]] << "-" << vertex[k] << " 權值 " << ew[adjvex[k]][k] << endl;lowcost[k] = 0;//最小的權值點k加入生成樹sum += ew[adjvex[k]][k];for(j = 0; j < v; ++j){if(lowcost[j] != 0 && ew[k][j] < lowcost[j])//k加入生成樹后，對k周圍的權與最小權lowcost比較{lowcost[j] = ew[k][j];//更小的權更新lowcost數組adjvex[j] = k;//并記錄j的前一位是k}}}cout << "最小生成樹權重總和為：" << sum << endl; }

3.構造最小生成樹Kruskal算法

該算法思路是從邊（權重）出發考慮，取最小的權出來，若該邊不會造成回路就加入生成樹，然后次最小，循環下去

//----------Kruskal最小生成樹--------------- void MiniSpanTree_Kruskal() {cout << "Kruskal最小生成樹：" << endl;int i, j, k = 0, sum = 0;CloseEdge edges[MaxEdgeNum]; //邊數據集for(i = 0; i < v; ++i) //把邊信息輸入到edges數組for(j = 0; j < v; ++j)if(ew[i][j] != MaxValue && i > j)//無向圖，i>j 矩陣中一半就可獲取全部信息{edges[k].startV = i;edges[k].endV = j;edges[k].minWeight = ew[i][j];k++;}sort(edges,edges+k);//邊排序int parent[e]; //作用，判斷邊與邊是否形成回路int vf1, vf2;for(i = 0; i < k; ++i)parent[i] = 0;for(i = 0; i < k; ++i){vf1 = Find(parent, edges[i].startV);vf2 = Find(parent, edges[i].endV);if(vf1 != vf2)//沒有回路，可以選入生成樹{parent[vf2] = vf1;cout << vertex[edges[i].startV] << "-" << vertex[edges[i].endV]<< " 權重 " << edges[i].minWeight << endl;sum += edges[i].minWeight;}}cout << "最小生成樹權重總和為：" << sum << endl; } int Find(int* parent, int v) {int t = v;while(parent[t] > 0)t = parent[t];return t; }

總結

以上是生活随笔為你收集整理的图Graph--最小生成树的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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