文章目錄

• • 1. 問題描述
  • 2. 解題思路
  • • 2.1 動態(tài)規(guī)劃
    • 2.2 二分查找

1. 問題描述

有一個數(shù)字序列包含n個不同的數(shù)字，如何求出這個序列中的最長遞增子序列長度？比如2，9，3，6，5，1，7這樣一組數(shù)字序列，它的最長遞增子序列就是2，3，5，7，所以最長遞增子序列的長度是4。
https://leetcode-cn.com/problems/longest-increasing-subsequence/

2. 解題思路

• 類似題目：
  山谷序列（DP）
  LeetCode 5644. 得到子序列的最少操作次數(shù)（最長上升子序DP nlogn）
  LeetCode 5559. 得到山形數(shù)組的最少刪除次數(shù)（最長上升子序DP nlogn）
  程序員面試金典 - 面試題 17.08. 馬戲團(tuán)人塔（最長上升子序 DP/二分查找）
  LeetCode 354. 俄羅斯套娃信封問題（最長上升子序 DP/二分查找）
  LeetCode 368. 最大整除子集（DP）
  程序員面試金典 - 面試題 08.13. 堆箱子（DP）
  LeetCode 673. 最長遞增子序列的個數(shù)（DP）
  LeetCode 1027. 最長等差數(shù)列（DP）
  LeetCode 5545. 無矛盾的最佳球隊（最大上升子序DP）
  LeetCode 5245. 堆疊長方體的最大高度（排序+最大上升子序DP）

2.1 動態(tài)規(guī)劃

• 假設(shè)在包含 i-1 下標(biāo)數(shù)字時的最大遞增子序列長度為 maxLen（i-1），那么下標(biāo)為 i 時的 maxLen（i）需要考慮前面所有的狀態(tài)，
• 如果 a[j] < a[i] （0 <= j < i），則 maxlen[i] = max(maxlen[j]+1 | （0 <= j < i）);
• 如果 a[j] >= a[i] （0 <= j < i），則 maxlen[i] = 1;

借一張動圖說明

class Solution { public:int lengthOfLIS(vector<int>& nums) {int n = nums.size();if(n == 0)return 0;int maxlen[n], ans;int i, j;for(i = 0; i < n; ++i)maxlen[i] = 1;//至少為1，自己for(i = 1; i < n; ++i){ans = 1;for(j = 0; j < i; ++j){if(nums[i] > nums[j] && maxlen[j]+1 > ans){ans = maxlen[j]+1;maxlen[i] = ans;} }}for(ans = 1, i = 0; i < n; ++i){if(maxlen[i] > ans)//取最大值ans = maxlen[i];}return ans;} }; class Solution { //2020.3.14 public:int lengthOfLIS(vector<int>& nums) {if(nums.size() == 0)return 0;int i, j, n = nums.size(),maxlen = 1;vector<int> dp(n,1);for(i = 1; i < n; ++i){for(j = i-1; j >= 0; --j){if(nums[i] > nums[j])dp[i] = max(dp[i], dp[j]+1);}maxlen = max(maxlen, dp[i]);}return maxlen;} };

2.2 二分查找

• 參考官方的解答
• dp[i] 表示長度為 i+1 的子序的最后一個元素的 最小數(shù)值
• 遍歷每個 nums[i]，找到其在dp數(shù)組中的位置（大于等于 nums[i] 的第一個數(shù)），將他替換成較小的

以輸入序列 [0, 8, 4, 12, 2] 為例：

第一步插入 0，dp = [0]

第二步插入 8，dp = [0, 8]

第三步插入 4，dp = [0, 4]

第四步插入 12，dp = [0, 4, 12]

第五步插入 22，dp = [0, 2, 12]

class Solution { public:int lengthOfLIS(vector<int>& nums) {if(nums.size() == 0)return 0;int i, l, r, n = nums.size(), maxlen = 1, idx;vector<int> dp(n);dp[0] = nums[0];for(i = 1; i < n; ++i)//遍歷每個數(shù){l = 0, r = maxlen-1;idx = bs(dp,l,maxlen,nums[i],maxlen);//二分查找nums[i] 在dp中的位置if(idx == maxlen)//nums[i] 是最大的{dp[idx] = nums[i];maxlen++;}else//不是最大的，更新 dp[i] 里的數(shù)為較小的dp[idx] = min(dp[idx], nums[i]);}return maxlen;} int bs(vector<int> &dp, int l, int r, int& target, int& maxlen){ //二分查找nums[i] 在dp中的位置， 第一個大于等于 nums[i] 的int mid;while(l <= r){mid = l + ((r-l)>>1);if(dp[mid] < target)l = mid+1;else{if(mid == 0 || dp[mid-1] < target)return mid;elser = mid-1;}}return maxlen;//沒有找到，nums[i] 最大，放最后} };

• 基于上面的想法，直接用 treeset 可以簡化代碼

class Solution { public:int lengthOfLIS(vector<int>& nums) {if(nums.size() == 0)return 0;set<int> s;for(auto& n : nums){if(s.count(n))continue;else{auto it = s.upper_bound(n);//n的上界if(it == s.end())//沒有比我大的s.insert(n);else//有比我大的{s.erase(it);//刪除比我大的s.insert(n);//換成我}}}return s.size();} };

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的动态规划应用--最长递增子序列 LeetCode 300的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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