文章目錄

• • 遞歸：
  • • 注意事項：
  • 問題1
  • • • • • 思路
          • 1.遞歸代碼（未考慮重復計算問題）
          • 2.循環代碼
          • 3.遞歸代碼（避免重復計算問題）
          • 測試運行時間
  • 問題2

遞歸：

一個問題可以分解成若干子問題，且求解思路一樣，當到一定的情況下有終止條件，這樣的問題可以用遞歸方法求解

注意事項：

遞歸調用深度太大，棧空間會耗盡溢出

注意避免調用中某些值的重復計算（見以下代碼3）

遞歸，頻繁調用函數，時間成本高（見以下代碼1）

遞歸代碼可以改成循環代碼 （見以下代碼2）

問題1

給你 n 個臺階，你的最大步幅是2步，可以一次走1步，也可以一次走2步，問有多少種走法？

思路

假設總共走法為 f (n) ，我現在走1步，后面還有 n-1 步（其走法為 f (n-1) ）

我還可以，開始走2步，后面還有 n-2 步（其走法為 f(n-2) ）

那么遞推公式即： f (n) = f (n-1) + f (n-2)

終止條件：f (1) = 1; f (2) = 2;

1.遞歸代碼（未考慮重復計算問題）

以下所有代碼原來采用 size_t 溢出，改用 unsigned long

#include <iostream> using namespace std; unsigned long cal(unsigned long n) {if(n==1)return 1;else if(n==2)return 2;return cal(n-1)+cal(n-2); } int main() {size_t n;cout << "請輸入你要走的臺階數 n :" ;cin >> n;cout << "走臺階有 " << cal(n) << " 種方案。" << endl;return 0; }

以上遞歸方法，在 n 比較小的時候運行時間較短
輸入 n = 100 時，超過10s還沒出結果，我就終止程序了。以下改用循環。

2.循環代碼

#include <iostream> using namespace std; int main() //循環 {unsigned long n, step, nextStep = 2, nextnextStep = 1;cout << "請輸入你要走的臺階數 n :" ;cin >> n;if(n > 0){if(n == 1){step = 1;} else if(n == 2){step = 2;}else{for(int i = 2; i < n; ++i){step = nextStep + nextnextStep;nextnextStep = nextStep;nextStep = step;}}cout << "走臺階有 " << step << " 種方案。" << endl;}return 0; }

輸入 n = 100 時，改用循環，眨眼間出結果。

3.遞歸代碼（避免重復計算問題）

代碼 1 中的 f(n), 比如 n = 5 時

以下代碼，屏蔽多次計算重復的值

#include <iostream> #include <iterator> #include <map> using namespace std; unsigned long cal(unsigned long n, map<unsigned long, unsigned long>& n_fn_map) {map<unsigned long,unsigned long>::iterator iter = n_fn_map.find(n); //查找key nif(iter != n_fn_map.end()){return iter->second; //如果找到了，就不必進行下面計算了，直接返回value}if(n==1){n_fn_map.insert(pair<unsigned long, unsigned long>(1,1)); //把f(1)存入映射return 1;}else if(n==2){n_fn_map.insert(pair<unsigned long, unsigned long>(2,2)); //把f(2)存入映射return 2;}else{size_t sum = cal(n-1,n_fn_map)+cal(n-2,n_fn_map); //遞歸調用函數n_fn_map.insert(pair<unsigned long, unsigned long>(n,sum)); //求得的f(n)存入映射，供后面查詢直接使用return sum;} } int main() //遞歸(帶避免重復計算fn的值功能) {size_t n;cout << "請輸入你要走的臺階數 n :" ;cin >> n;map<unsigned long, unsigned long> n_Fn; //n，f(n)的 k，v 容器cout << "走臺階有 " << cal(n,n_Fn) << " 種方案。" << endl;return 0; }

輸入 n = 100，程序也是眨眼間出結果

測試運行時間

測試程序運行時間shell代碼：https://blog.csdn.net/qq_21201267/article/details/81840299

問題2

給你 n 個臺階，你的最大步幅是2步，可以一次走1步，也可以一次走2步，先邁左腳，要求最后到達時是右腳，問有多少種走法？

解法1：模擬實際的行走，暴力搜索

/**1. @description: 39個臺階，一次走1步或2步，左腳出發，要求右腳到達2. @author: michael ming3. @date: 2019/4/6 18:174. @modified by: */ #include <iostream> using namespace std; void recursion(const unsigned long &targetStairs, unsigned long steps, unsigned long stairsWalkAway, unsigned long &ways) { //暴力搜索，n很大時效果不好if(stairsWalkAway > targetStairs) //走過了，不做記錄return;else if(stairsWalkAway == targetStairs && steps%2 == 0) //正好走到，且步數為偶數（右腳到達）{ways++; //記錄一種方案可以return;}else //沒走到，繼續遞歸{recursion(targetStairs, steps+1, stairsWalkAway+1, ways);recursion(targetStairs, steps+1, stairsWalkAway+2, ways);} } int main() {unsigned long stairs = 0, steps = 0, stairsWalkAway = 0, ways = 0;cout << "請輸入臺階個數：" << endl;cin >> stairs;recursion(stairs, steps, stairsWalkAway, ways);cout << "左腳出發，右腳到達的方案有：" << ways << " 種。" << endl;return 0; }

解法2：遞推公式和之前一樣，結束條件變了

n = 2 時，不論什么情況，大家都只有1種可能，使得右腳到達，f (2) = 1

n = 1時，只剩1步了，如果已經走過了偶數步，那就是不可能右腳達到，f(1) = 0；如果已走過奇數步，那也只有1種可能，右腳到達，f(1) = 1

由于 f(1) 是變化的，所以不能用上面問題1的代碼3那種方法存儲 f(n) 的值，因為其都與 f(1) 相關。所以當 n 比較大的時候還沒有找到好的解決辦法。

#include <iostream> #include <map> using namespace std; unsigned long cal(size_t n, size_t stepWalkAway) {if(n==1){if(stepWalkAway%2 == 0)return 0; //只剩1步了，如果走過了偶數步，那就是右腳達到，不可能了，0return 1;}else if(n==2) //n = 2 時，不論什么情況，大家都只有1種可能，使得右腳到達{return 1;}else{return cal(n-1,stepWalkAway+1)+cal(n-2,stepWalkAway+1); //遞歸調用函數} } int main() {size_t n, stepWalkAway = 0;cout << "請輸入你要走的臺階數 n :" ;cin >> n;cout << "左腳開走，右腳走到有 " << cal(n,stepWalkAway) << " 種方案。" << endl;return 0; }

解法3：動態規劃，現在還不太明白
見他人博客：
https://blog.csdn.net/qq_40269087/article/details/80236102
大概的思路是：自底向上

• 用 left [ i ] 表示剩余 i 個臺階，左腳到達的可能方案， right [ i ] 表示右腳到達的方案
• 邊界條件： left [ 1 ] = 1； left [ 2 ] = 1； right [ 1 ] = 0； right [ 2 ] = 1
• 現在還有3個臺階到達，相當于在前面到達的方案中，退一步（1個臺階或者2個臺階），那么我在剩余3個臺階時，左腳到達 left [ 3 ] = right [ 2 ] + right [ 1 ] ；（右腳可以到達的方案，后退一步就變成了左腳到達的方案）
• 同理 right [ 3 ] = left [ 2 ] + left [ 1 ]

#include <iostream> using namespace std; unsigned long dynamicProgram(size_t N) {unsigned long left[N+1], right[N+1];left [1] = 1; left [2] = 1; right [1] = 0; right [2] = 1;for(size_t i = 3; i <= N; ++i){left[i] = right[i-1] + right[i-2];right[i] = left[i-1] + left[i-2];}return right[N]; //題目要求返回右腳到達方案 } int main() {size_t N;cout << "請輸入你要走的臺階數 n :" ;cin >> N;cout << "左腳開走，右腳走到有 " << dynamicProgram(N) << " 種方案。" << endl;return 0; }

總結

以上是生活随笔為你收集整理的算法--递归--走台阶问题（2种递归+递归改循环）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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