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概述

在對汽車結構進行動力學有限元分析時，無論是瞬態問題還是頻響問題，都經常使用模態疊加法。

模態疊加法動力學分析是常規模態分析的自然擴展，它利用結構振型來縮減問題求解規模，從而使數值求解更為高效。

模態疊加法首先計算結構的各階固有頻率和振型，然后把有限元節點的位移變換為模態坐標(實旨是各階模態在總響應中的占比)，從而將動力學方程轉化為一系列非耦合的單自由度方程：?

ξξ求解這些單自由度方程，得到各階模態坐標?ξ?，再將各階模態坐標與其振型相乘疊加，即可得到各節點的位移響應。進而可得到各個部位的應力和應變響應。

大多數情況下我們都是對無約束結構進行分析，所涉及的模態是自由模態。而自由模態又包含剛體自由模態和彈性自由模態。

在模態分析環節，我們有時將模態分解的起始頻率設置為0或者負值，這樣得到的模態結果中包含了各階剛體模態，后續利用模態疊加得到的結構響應體現了剛體模態的貢獻。有時則將模態分解的起始頻率設置為大于0的數值(通常用1.0),令求解器不提取各階剛體模態，計算得到的結構響應也就忽略了剛體模態的貢獻。

常見的白車身原點動剛度(IPI)分析、車身振動傳函(VTF)分析、車身噪聲傳函(NTF)分析、基于時域載荷譜的瞬態動應力分析以及基于頻域載荷的隨機響應分析，一般都是采用模態疊加法。在這些分析中，剛體模態何時應當考慮，何時應當忽略，目前行業內似乎沒有定論。本文將對這一問題進行探討。

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彈性自由模態的物理意義

彈性自由模態表征的是結構無外界激勵和無阻尼條件下的自由振動。彈性自由模態有一個特性幾乎未被文獻提及，即：結構按某階彈性自由模態做自由簡諧振動時，結構的總動量和總角動量恒定為0。

我未在教科書或文獻中找到上述特性的證明過程，所以在本文將做一個比較詳細的證明。

一個包含n個節點(3n個自由度)的無約束有限元模型，它的某一階彈性模態振型矢量為?φ?，對應的固有圓頻率為?ω?，結構按該階模態做自由振動，則其節點速度列陣為?

φωω()

其中??和?φ?都是3n階矢量，?φφφφφφφφφφ?。

這n個節點的動量所構成的列陣為?

φωω()其中??為結構質量矩陣，節點動量列陣??也是3n階矢量。

將n個節點的動量相加，就可以得到結構總動量??，?

φωω

?φωω?

其中??、??和??都是3n階矢量列陣，跟據其定義可知，它們分別是結構沿X、Y和Z向做剛體平動，平動單位距離后的節點位移列陣。即??、??和??實質是三個剛體平動模態，對應的固有頻率為0。

固有頻率不同的兩個模態矢量關于質量矩陣??必然相互正交，所以，??

φφφ()將式(5)代入式(4)，得?

()即結構按某階彈性自由模態做自由簡諧振動時，總動量始終為0。

接下來我們來證明，結構按振型?φ?和固有圓頻率?ω?為做自由簡諧振動時，結構的總角動量始終為0。

式(3)給出了節點動量列陣，我們可以進一步計算出結構繞某固定點的總角動量。

我們首先計算第i節點繞固定點的角動量??，為3階矢量。?()其中??為第i節點到固定點的距離矢量，??為第i節點的動量，均為三階矢量。

對所有n個節點的角動量矢量求和，即可得到總的角動量??，也為三階矢量。

φωω?

φωω()上式中 ，??，??和??都是3n階矢量列陣，跟據其定義可知，它們分別是結構繞固定點以X、Y和Z方向為軸向旋轉所形成的節點位移列陣，即??，??和??實質是三個剛體轉動模態。這三個剛體模態與彈性模態?φ?關于質量矩陣??正交，所以

φφφ()將式(9)代入式(8)，得?

()即結構按某階彈性自由模態做自由振動時，結構總角動量始終為0。

上述結論也可從物理上簡證，結構按某階彈性自由模態做自由振動時，結構上所有的點同時達到最大振幅，此時各點的速度為0，即此時結構總動量和角總動量均為0。結構未受任何外力和外力矩作用，振動過程中結構的總動量和總角動量必然保持恒定。所以振動過程中結構的總動量和總角動量始終為0。

結構的總動量始終為0，意味著結構質心始終保持靜止，結構的振動不包含隨質心的平動；結構總動量矩始終為0，意味著結構的運動不包含繞質心的整體轉動。

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剛體模態的物理意義

一個無約束的空間三維結構，它有六階相互獨立的剛體模態。任一階剛體模態都是三向隨質心平動模態和三向繞質心轉動模態的線性組合。

如果結構按照某階剛體模態??發生位移，則此時結構無彈性變形，不產生應力和應變，外載荷為0，即?

()其中??為結構的剛度陣。

我們進行模態分析，實質是求解廣義特征值問題，?

ω比較公式(11)和(12)，可知當?ω?為0時，剛體模態??能夠使公式(12)成立。所以剛體模態的固有頻率為0。實際有限元分析中，因為運算誤差，計算出的剛體模態固有頻率并非絕對為0，但必定是非常接近0的一個數值。

剛體模態表征的是無約束結構的剛體位移。在基于模態疊加法的動力學分析中，剛體模態和彈性模態有明確分工。彈性模態用來描述是結構相對于質心的變形，質心位移始終為0，結構也不發生繞質心的總體轉動。而剛體模態用來描述結構隨質心的平動和繞質心的轉動，結構只有剛體移動但無彈性變形。

各階剛體模態疊加所體現的剛體運動由外載荷合力和合力矩、結構總質量和總轉動慣量決定，與載荷的分布形式、結構具體質量分布無關。

按照以上分工，我們就可針對具體問題來討論分析中應當保留還是忽略剛體模態。

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關于車身VTF分析

車身振動傳函分析，即車身VTF分析，主要用于校核車身關鍵板件的剛度是否合乎要求。車身VTF分析在動力總成懸置點或者懸架接附點施加單位簡諧力，考察關鍵壁板處的響應，如前后座椅導軌安裝點、前壁板踏板安裝點、乘員腳部位置等，如圖1。

圖1 座椅導軌安裝點為VTF分析的響應點

車身VTF分析的目的是控制關鍵板件在接附點激勵下的變形，所以只需要考慮各階彈性模態，忽略掉那些不含彈性變形的剛體模態。因此我們應該將模態分解的起始頻率設置為1.0。

TB車身VTF分析，有時還用來考察內飾板卡扣及IP部件卡扣連接點的速度響應，為內飾件異響控制提供參考，如圖2。

圖2 儀表板卡扣連接點作為響應點

卡扣異響是來源于卡扣所連接的兩個部件之間的相對運動。剛體模態所描述的運動中，部件之間沒有任何相對變形和相對運動，不可能產生摩擦和接觸，所以不會產生異響。因此用于卡扣異響控制的VTF分析也應該忽略剛體模態。

車身的振動傳函可用試驗方法測得，試驗測試通常不會刻意去除剛體模態的影響，所以試驗結果包含了剛體模態的貢獻。如果我們要將仿真結果與試驗結果對標，在仿真分析中應該考慮剛體模態，此時模態分解的下限應設置為0。

實際上，因為TB車身的總質量和總轉動慣量都很大，在簡諧激勵下，剛體模態的貢獻在結構響應中所占的比例非常小。對TB車身而言，模態分解的起始點設置成0或者1.0，對結果影響并不大，但對于一些質量和慣量較小的部件，剛體模態對結構響應的影響就無法忽略。

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關于車身NTF分析

車身噪聲傳函分析，即車身NTF分析，不僅需要內飾車身的結構網格，還需要如圖3所示的艙內聲腔網格，并且要在二者之間建立耦合關系。NTF分析也是在動力總成懸置點或者懸架接附點施加單位簡諧激勵，考察關鍵位置的聲壓響應，響應點一般是駕駛員或乘員的耳部位置。

結構和聲腔的交界面上有以下耦合關系：

圖3 NTF分析所需的聲腔網格?

ρ()其中，?ρ?為空氣密度，??為結構單元的法向振動加速度。

根據上式可知，無論車身結構是否發生彈性變形，只要結構單元有法向加速度，就將對聲腔產生激勵，從而在響應點處產生聲壓。

也就是說，車身的剛體運動雖然不產生彈性變形和應力應變，但能使結構-聲腔交界面產生法向加速度，所以仍能導致聲壓響應。

如果車身結構發生了設計變更，只要車身的質量和慣量無變化，則車身的剛體運動不會發生改變。但車身結構的改變有可能導致交界面的幾何和聲腔本身幾何發生變化，車身剛體運動所導致的聲壓響應也會發生變化。

總之，車身剛體運動能夠導致聲壓響應，而且還能部分體現結構幾何變更對聲壓響應的影響。所以我們在進行車身NTF分析時，不應忽略結構剛體模態，結構模態分解的起始頻率應設置為0。

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關于IPI分析

源點動剛度分析，又叫IPI分析，是在結構的接附點沿某個方向施加單位簡諧力，然后考察接附點在該方向的位移或者加速度幅值，通常也是采用模態疊加法。

IPI分析所考察的接附點是結構與其他部件發生柔性連接的點。柔性連接處的剛度遠低于兩側的結構，所以兩側結構振動的傳遞在此處中斷。這就意味著我們認為結構在接附點處不受位移約束，僅受外載荷激勵。

IPI分析常用于車身，有時也用于副車架和懸架部件。

白車身IPI分析主要是考察接附點在激勵力方向的位移幅值，控制住了位移幅值，就相當于控制住了一個周期內激勵能量輸入的上限。位移幅值既包含彈性變形的貢獻，也包含剛體運動的貢獻，所以在模態分解時應當考慮剛體模態。

白車身IPI分析雖然叫動剛度分析，但它的最終目的不是控制結構剛度，而是控制噪聲傳函。白車身IPI分析實質是車身NTF分析的前奏(對于乘用車，一般要求車身與底盤的接附點達到0.01Pa/N的NTF,經驗表明，為實現這個NTF目標，接附點主方向動剛度達到10000N/mm是比較穩妥的)。前面已經討論過,車身的剛體運動會影響NTF結果，從這個角度考慮，我們在車身IPI分析中考慮剛體模態是合理的。

對于副車架，按道理應該將其裝到車身模型上，再進行IPI分析。但是在研發的初期，一般不會有成熟的車身模型可用，副車架與車身的連接襯套剛度也不易確定，所以仍需要對自由狀態的副車架做IPI分析。

副車架IPI分析與白車身IPI分析有所不同。副車架剛度很大，不易發生彈性變形，且副車架的質量和轉動慣量都遠小于白車身，所以在單位簡諧激勵下，無約束副車架的響應中有相當大比例為剛體運動。但是，副車架在裝車狀態會受到車身約束，實際工作過程并沒有多少剛體運動。

對單獨副車架做IPI分析，主要目的是考察副車架本體在動載荷作用下抵抗變形的能力。如果我們在分析中考慮了剛體模態，則接附點的響應中剛體運動將占據很大一部分，有可能掩蓋了彈性變形的貢獻，使我們得到錯誤的結論。

下面我們用一個算例來說明。一個如圖4所示的副車架，對于某一接附點的Z方向做IPI分析，模態分解起始頻率設為0。然后我們改變副車架的狀態，將剛度提升10%，質量減少30%(通過彈性模量提升10%、材料密度減少30%來實現)，按同樣設置做IPI分析。對于原狀態和新狀態分別得到位移幅值隨頻率的曲線，如圖5。

圖4 副車架模型

圖5 考慮剛體模態的副車架IPI結果(模態分解起始頻率為0)

新狀態提升了副車架剛度，增加了抵抗變形能力，且實現了輕量化，按道理是明顯優于原狀態的。但是由于新狀態質量和慣量減少，剛體運動幅度大于原狀態，所以在中低頻段新狀態的位移幅值大于原狀態。根據圖5中的曲線結果，新狀態在50-200Hz頻段上的平均動剛度明顯低于原狀態，我們無法判定新狀態具有優勢，反而會得出新狀態不如原狀態的結論。

將模態分解的起始頻率設置為5.0，忽略掉剛體模態的影響，只考慮副車架的彈性變形，分別得到原狀態和新狀態的IPI曲線，如圖6所示。因為新狀態的結構剛度大，剔除了剛體運動后，新狀態的接附點位移幅值在大部分頻段都明顯低于原狀態。根據圖6的結果，我們可以確認新狀態的平均動剛度更高，相比原狀態有優勢。

圖6 不考慮剛體模態的副車架IPI結果(模態分解起始頻率為5)

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結語

在基于模態疊加法的動力學分析中，剛體模態和彈性模態有明確分工。彈性模態用來描述是結構相對于質心的變形，質心位移始終為0，結構也不發生繞質心的總體轉動。而剛體模態用來描述結構隨質心的平動和繞質心的轉動，結構只有剛體移動但無彈性變形。按照這個分工，我們就可針對具體問題來確定應當保留還是忽略剛體模態。

車身VTF分析用來控制關鍵板件在接附點激勵下的彈性變形，或者是控制卡扣所連接的部件之間的相對運動。而剛體模態不體現彈性變形和部件相對運動。所以車身VTF分析應當忽略剛體模態。

在車身NTF分析中，車身結構剛體運動能夠導致聲壓響應，而且還能部分體現車身結構幾何變化對聲壓響應的影響。所以在進行車身NTF分析時，應當考慮車身剛體模態。

白車身IPI分析主要是考察接附點在激勵力方向的位移幅值，以控制噪聲能量輸入。位移幅值既包含彈性變形的貢獻，也包含剛體運動的貢獻，所以我們在模態分解時應當考慮剛體模態。

對單獨副車架做IPI分析，主要目的是考察副車架在動載荷作用下抵抗變形的能力。在接附點的響應中，副車架的剛體運動占據了很大一部分，有可能掩蓋了彈性變形的貢獻。因此對于單獨副車架的IPI分析，應當忽略剛體模態。

作者簡介

王朋波，清華大學力學博士，汽車結構CAE分析專家。重慶市科協成員、《計算機輔助工程》期刊審稿人、交通運輸部項目評審專家。專業領域為整車疲勞耐久/NVH/碰撞安全性能開發與仿真計算，車體結構優化與輕量化，CAE分析流程自動化等。王朋波私人微信：poplewang。

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5.關于自由模態和約束模態分析的幾點常識

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的3点 刚体运动 opencv_模态法动力学分析中的刚体模态的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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