最小生成樹

用來解決工程中的代價問題。

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一：普里姆算法

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具體代碼用C語言實現如下：

typedef int VRType;typedef char InfoType;#define MAX_NAME 3 /* 頂點字符串的最大長度+1 */#define MAX_INFO 20 /* 相關信息字符串的最大長度+1 */typedef char VertexType[MAX_NAME]; #include<string.h>#include<ctype.h>#include<malloc.h> /* malloc()等 */#include<limits.h> /* INT_MAX等 */#include<stdio.h> /* EOF(=^Z或F6),NULL */#include<stdlib.h> /* atoi() */#include<io.h> /* eof() */#include<math.h> /* floor(),ceil(),abs() */#include<process.h> /* exit() *//* 函數結果狀態代碼 */#define TRUE 1#define FALSE 0#define OK 1#define ERROR 0#define INFEASIBLE -1typedef int Status; /* Status是函數的類型,其值是函數結果狀態代碼，如OK等 */typedef int Boolean; /* Boolean是布爾類型,其值是TRUE或FALSE */#define MAX_NAME 5 /* 頂點字符串的最大長度 */typedef int InfoType;typedef char VertexType[MAX_NAME]; /* 字符串類型 *//* 圖的鄰接表存儲表示 */#define MAX_VERTEX_NUM 20typedef enum{DG,DN,AG,AN}GraphKind; /* {有向圖,有向網,無向圖,無向網} */typedef struct ArcNode{int adjvex; /* 該弧所指向的頂點的位置 */struct ArcNode *nextarc; /* 指向下一條弧的指針 */InfoType *info; /* 網的權值指針） */}ArcNode; /* 表結點 */typedef struct{VertexType data; /* 頂點信息 */ArcNode *firstarc; /* 第一個表結點的地址,指向第一條依附該頂點的弧的指針 */}VNode,AdjList[MAX_VERTEX_NUM]; /* 頭結點 */typedef struct{AdjList vertices;int vexnum,arcnum; /* 圖的當前頂點數和弧數 */int kind; /* 圖的種類標志 */}ALGraph;/* 圖的鄰接表存儲的基本操作(15個) */int LocateVex(ALGraph G,VertexType u){ /* 初始條件: 圖G存在,u和G中頂點有相同特征 *//* 操作結果: 若G中存在頂點u,則返回該頂點在圖中位置;否則返回-1 */int i;for(i=0;i<G.vexnum;++i)if(strcmp(u,G.vertices[i].data)==0) //比較頂點是否相等return i;return -1;}Status CreateGraph(ALGraph *G){ /* 采用鄰接表存儲結構,構造沒有相關信息的圖G(用一個函數構造4種圖) */int i,j,k;int w; /* 權值 */VertexType va,vb;ArcNode *p;printf("請輸入圖的類型(有向圖:0,有向網:1,無向圖:2,無向網:3): ");scanf("%d",&(*G).kind);printf("請輸入圖的頂點數,邊數: ");scanf("%d,%d",&(*G).vexnum,&(*G).arcnum);printf("請輸入%d個頂點的值(<%d個字符):\n",(*G).vexnum,MAX_NAME);for(i=0;i<(*G).vexnum;++i) /* 構造頂點向量 */{scanf("%s",(*G).vertices[i].data);(*G).vertices[i].firstarc=NULL;}if((*G).kind==1||(*G).kind==3) /* 網 */printf("請順序輸入每條弧(邊)的權值、弧尾和弧頭(以空格作為間隔):\n");else /* 圖 */printf("請順序輸入每條弧(邊)的弧尾和弧頭(以空格作為間隔):\n");for(k=0;k<(*G).arcnum;++k) /* 構造表結點鏈表 */{if((*G).kind==1||(*G).kind==3) /* 網 */scanf("%d%s%s",&w,va,vb);else /* 圖 */scanf("%s%s",va,vb);i=LocateVex(*G,va); /* 弧尾 */j=LocateVex(*G,vb); /* 弧頭 */p=(ArcNode*)malloc(sizeof(ArcNode));p->adjvex=j;if((*G).kind==1||(*G).kind==3) /* 網 */{p->info=(int *)malloc(sizeof(int));*(p->info)=w; //網的權值指針}elsep->info=NULL; /* 圖 */p->nextarc=(*G).vertices[i].firstarc; /* 插在表頭 */(*G).vertices[i].firstarc=p;if((*G).kind>=2) /* 無向圖或網,產生第二個表結點 */{p=(ArcNode*)malloc(sizeof(ArcNode));p->adjvex=i;if((*G).kind==3) /* 無向網 */{p->info=(int*)malloc(sizeof(int));*(p->info)=w;}elsep->info=NULL; /* 無向圖 */p->nextarc=(*G).vertices[j].firstarc; /* 插在表頭 */(*G).vertices[j].firstarc=p;}}return OK;}void DestroyGraph(ALGraph *G){ /* 初始條件: 圖G存在。操作結果: 銷毀圖G */int i;ArcNode *p,*q;(*G).vexnum=0;(*G).arcnum=0;for(i=0;i<(*G).vexnum;++i){p=(*G).vertices[i].firstarc; //第一個表結點的地址，頭結點while(p){q=p->nextarc;if((*G).kind%2) /* 網 */free(p->info);free(p);p=q;}}}VertexType* GetVex(ALGraph G,int v){ /* 初始條件: 圖G存在,v是G中某個頂點的序號。操作結果: 返回v的值 */if(v>=G.vexnum||v<0)exit(ERROR);return &G.vertices[v].data;}Status PutVex(ALGraph *G,VertexType v,VertexType value){ /* 初始條件: 圖G存在,v是G中某個頂點 *//* 操作結果: 對v賦新值value */int i;i=LocateVex(*G,v); //先找到該頂點if(i>-1) /* v是G的頂點 */{strcpy((*G).vertices[i].data,value);return OK;}return ERROR;}int FirstAdjVex(ALGraph G,VertexType v){ /* 初始條件: 圖G存在,v是G中某個頂點 *//* 操作結果: 返回v的第一個鄰接頂點的序號。若頂點在G中沒有鄰接頂點,則返回-1 */ArcNode *p;int v1;v1=LocateVex(G,v); /* v1為頂點v在圖G中的序號 */p=G.vertices[v1].firstarc;if(p)return p->adjvex;elsereturn -1;}int NextAdjVex(ALGraph G,VertexType v,VertexType w){ /* 初始條件: 圖G存在,v是G中某個頂點,w是v的鄰接頂點 *//* 操作結果: 返回v的(相對于w的)下一個鄰接頂點的序號。 *//* 若w是v的最后一個鄰接點,則返回-1 */ArcNode *p;int v1,w1;v1=LocateVex(G,v); /* v1為頂點v在圖G中的序號 */w1=LocateVex(G,w); /* w1為頂點w在圖G中的序號 */p=G.vertices[v1].firstarc;while(p&&p->adjvex!=w1) /* 指針p不空且所指表結點不是w */p=p->nextarc;if(!p||!p->nextarc) /* 沒找到w或w是最后一個鄰接點 */return -1;else /* p->adjvex==w */return p->nextarc->adjvex; /* 返回v的(相對于w的)下一個鄰接頂點的序號 */}void InsertVex(ALGraph *G,VertexType v){ /* 初始條件: 圖G存在,v和圖中頂點有相同特征 *//* 操作結果: 在圖G中增添新頂點v(不增添與頂點相關的弧,留待InsertArc()去做) */strcpy((*G).vertices[(*G).vexnum].data,v); /* 構造新頂點向量 */(*G).vertices[(*G).vexnum].firstarc=NULL;(*G).vexnum++; /* 圖G的頂點數加1 */}Status DeleteVex(ALGraph *G,VertexType v){ /* 初始條件: 圖G存在,v是G中某個頂點 *//* 操作結果: 刪除G中頂點v及其相關的弧 */int i,j;ArcNode *p,*q;j=LocateVex(*G,v); /* j是頂點v的序號 */if(j<0) /* v不是圖G的頂點 */return ERROR;p=(*G).vertices[j].firstarc; /* 刪除以v為出度的弧或邊 */while(p){q=p;p=p->nextarc;if((*G).kind%2) /* 網 */free(q->info);free(q);(*G).arcnum--; /* 弧或邊數減1 */}(*G).vexnum--; /* 頂點數減1 */for(i=j;i<(*G).vexnum;i++) /* 頂點v后面的頂點前移 */(*G).vertices[i]=(*G).vertices[i+1];for(i=0;i<(*G).vexnum;i++) /* 刪除以v為入度的弧或邊且必要時修改表結點的頂點位置值 */{p=(*G).vertices[i].firstarc; /* 指向第1條弧或邊 */while(p) /* 有弧 */{if(p->adjvex==j){if(p==(*G).vertices[i].firstarc) /* 待刪結點是第1個結點 */{(*G).vertices[i].firstarc=p->nextarc;if((*G).kind%2) /* 網 */free(p->info);free(p);p=(*G).vertices[i].firstarc;if((*G).kind<2) /* 有向 */(*G).arcnum--; /* 弧或邊數減1 */}else{q->nextarc=p->nextarc;if((*G).kind%2) /* 網 */free(p->info);free(p);p=q->nextarc;if((*G).kind<2) /* 有向 */(*G).arcnum--; /* 弧或邊數減1 */}}else{if(p->adjvex>j)p->adjvex--; /* 修改表結點的頂點位置值(序號) */q=p;p=p->nextarc;}}}return OK;}Status InsertArc(ALGraph *G,VertexType v,VertexType w){ /* 初始條件: 圖G存在,v和w是G中兩個頂點 *//* 操作結果: 在G中增添弧<v,w>,若G是無向的,則還增添對稱弧<w,v> */ArcNode *p;int w1,i,j;i=LocateVex(*G,v); /* 弧尾或邊的序號 */j=LocateVex(*G,w); /* 弧頭或邊的序號 */if(i<0||j<0)return ERROR;(*G).arcnum++; /* 圖G的弧或邊的數目加1 */if((*G).kind%2) /* 網 */{printf("請輸入弧(邊)%s→%s的權值: ",v,w);scanf("%d",&w1);}p=(ArcNode*)malloc(sizeof(ArcNode));p->adjvex=j;if((*G).kind%2) /* 網 */{p->info=(int*)malloc(sizeof(int));*(p->info)=w1;}elsep->info=NULL;p->nextarc=(*G).vertices[i].firstarc; /* 插在表頭 */(*G).vertices[i].firstarc=p;if((*G).kind>=2) /* 無向,生成另一個表結點 */{p=(ArcNode*)malloc(sizeof(ArcNode));p->adjvex=i;if((*G).kind==3) /* 無向網 */{p->info=(int*)malloc(sizeof(int));*(p->info)=w1;}elsep->info=NULL;p->nextarc=(*G).vertices[j].firstarc; /* 插在表頭 */(*G).vertices[j].firstarc=p;}return OK;}Status DeleteArc(ALGraph *G,VertexType v,VertexType w){ /* 初始條件: 圖G存在,v和w是G中兩個頂點 *//* 操作結果: 在G中刪除弧<v,w>,若G是無向的,則還刪除對稱弧<w,v> */ArcNode *p,*q;int i,j;i=LocateVex(*G,v); /* i是頂點v(弧尾)的序號 */j=LocateVex(*G,w); /* j是頂點w(弧頭)的序號 */if(i<0||j<0||i==j)return ERROR;p=(*G).vertices[i].firstarc; /* p指向頂點v的第一條出弧 */while(p&&p->adjvex!=j) /* p不空且所指之弧不是待刪除弧<v,w> */{ /* p指向下一條弧 */q=p;p=p->nextarc;}if(p&&p->adjvex==j) /* 找到弧<v,w> */{if(p==(*G).vertices[i].firstarc) /* p所指是第1條弧 */(*G).vertices[i].firstarc=p->nextarc; /* 指向下一條弧 */elseq->nextarc=p->nextarc; /* 指向下一條弧 */if((*G).kind%2) /* 網 */free(p->info);free(p); /* 釋放此結點 */(*G).arcnum--; /* 弧或邊數減1 */}if((*G).kind>=2) /* 無向,刪除對稱弧<w,v> */{p=(*G).vertices[j].firstarc; /* p指隙サ鉾的第一條出弧 */while(p&&p->adjvex!=i) /* p不空且所指之弧不是待刪除弧<w,v> */{ /* p指向下一條弧 */q=p;p=p->nextarc;}if(p&&p->adjvex==i) /* 找到弧<w,v> */{if(p==(*G).vertices[j].firstarc) /* p所指是第1條弧 */(*G).vertices[j].firstarc=p->nextarc; /* 指向下一條弧 */elseq->nextarc=p->nextarc; /* 指向下一條弧 */if((*G).kind==3) /* 無向網 */free(p->info);free(p); /* 釋放此結點 */}}return OK;}typedef struct{ /* 記錄從頂點集U到V-U的代價最小的邊的輔助數組定義 */VertexType adjvex;VRType lowcost;}minside[MAX_VERTEX_NUM];int minimum(minside SZ,MGraph G){ /* 求closedge.lowcost的最小正值 */int i=0,j,k,min;while(!SZ[i].lowcost)i++;min=SZ[i].lowcost; /* 第一個不為0的值 */k=i;for(j=i+1;j<G.vexnum;j++)if(SZ[j].lowcost>0)if(min>SZ[j].lowcost){min=SZ[j].lowcost;k=j;}return k;}void MiniSpanTree_PRIM(MGraph G,VertexType u){ /* 用普里姆算法從第u個頂點出發構造網G的最小生成樹T,輸出T的各條邊 算法7.9 */int i,j,k;minside closedge;k=LocateVex(G,u);for(j=0;j<G.vexnum;++j) /* 輔助數組初始化 */{if(j!=k){strcpy(closedge[j].adjvex,u);closedge[j].lowcost=G.arcs[k][j].adj;}}closedge[k].lowcost=0; /* 初始,U={u} */printf("最小代價生成樹的各條邊為:\n");for(i=1;i<G.vexnum;++i){ /* 選擇其余G.vexnum-1個頂點 */k=minimum(closedge,G); /* 求出T的下一個結點：第K頂點 */printf("(%s-%s)\n",closedge[k].adjvex,G.vexs[k]); /* 輸出生成樹的邊 */closedge[k].lowcost=0; /* 第K頂點并入U集 */for(j=0;j<G.vexnum;++j)if(G.arcs[k][j].adj<closedge[j].lowcost){ /* 新頂點并入U集后重新選擇最小邊 */strcpy(closedge[j].adjvex,G.vexs[k]);closedge[j].lowcost=G.arcs[k][j].adj;}}}void main(){MGraph G;CreateAN(&G);MiniSpanTree_PRIM(G,G.vexs[0]);}

注意：普里姆算法的時間復雜度為O()，與網中的邊數無關，因此適用于求邊稠密的網的最小生成樹。

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二：克魯斯卡爾算法

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分析過程：在網中先選取最小邊，繼續找下一條次小邊，如果和已選的邊構成回路則舍棄，繼續尋找直到所有頂點。

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克魯斯卡爾算法的時間復雜度為O(e*)。
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創作挑戰賽新人創作獎勵來咯，堅持創作打卡瓜分現金大獎

總結

以上是生活随笔為你收集整理的最小生成树——普里姆算法和克鲁斯卡尔算法的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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