文章目錄

• • • 1 樹(shù)的基本概念
    • • • 1.1 樹(shù)的形式定義
        • 1.2 樹(shù)的遞歸定義
        • 1.3 樹(shù)的基本術(shù)語(yǔ)
        • 1.4 二叉樹(shù)的遞歸定義
        • 1.5 存儲(chǔ)方法
        • 1.6 滿二叉樹(shù)VS完全二叉樹(shù)
    • 2 二叉樹(shù)的性質(zhì)
    • 3 代碼實(shí)現(xiàn)

1 樹(shù)的基本概念

1.1 樹(shù)的形式定義

T={D，R}

• D為樹(shù)T中包含n個(gè)結(jié)點(diǎn)的有限集合，R為樹(shù)中結(jié)點(diǎn)之間關(guān)系的集合。
• 當(dāng)n=0時(shí)，樹(shù)為空樹(shù)；當(dāng)n>0時(shí)，R是D上某個(gè)二元關(guān)系的集合，滿足以下條件：

• 有且僅有一個(gè)結(jié)點(diǎn)，稱為根結(jié)點(diǎn)，該結(jié)點(diǎn)沒(méi)有直接前驅(qū)結(jié)點(diǎn)；
• 除根結(jié)點(diǎn)外，每個(gè)結(jié)點(diǎn)有且僅有一個(gè)前驅(qū)結(jié)點(diǎn)；
• D中每個(gè)結(jié)點(diǎn)可以有零個(gè)或多個(gè)后繼結(jié)點(diǎn)；

1.2 樹(shù)的遞歸定義

• 樹(shù)是由n（n≥0）個(gè)結(jié)點(diǎn)組成的有限集T。
• 當(dāng)n=0時(shí)，它是一個(gè)空樹(shù)；當(dāng)n>0時(shí)，它滿足兩個(gè)條件：

• 有且僅有一個(gè)特定的結(jié)點(diǎn)，稱為根結(jié)點(diǎn)。
• 除根結(jié)點(diǎn)以外的其余結(jié)點(diǎn)分為m個(gè)（m≥0）互不相交的有限集T₁、T₂、……T_m，其中每個(gè)集合又都是一棵樹(shù)，稱T₁、T₂、……T_m為根結(jié)點(diǎn)的子樹(shù)。

1.3 樹(shù)的基本術(shù)語(yǔ)

結(jié)點(diǎn)：樹(shù)的數(shù)據(jù)元素

結(jié)點(diǎn)的度：該結(jié)點(diǎn)的分支的個(gè)數(shù)

樹(shù)的度：樹(shù)中所有結(jié)點(diǎn)的度的最大值

結(jié)點(diǎn)的層次：從根到該結(jié)點(diǎn)的層數(shù)（根結(jié)點(diǎn)算第一層）

樹(shù)的深度：所有結(jié)點(diǎn)的層次的最大值

根結(jié)點(diǎn)：在非空樹(shù)中，無(wú)前驅(qū)結(jié)點(diǎn)的結(jié)點(diǎn)

分支結(jié)點(diǎn)：度不為0的結(jié)點(diǎn)

葉結(jié)點(diǎn)：度為0的結(jié)點(diǎn)

孩子結(jié)點(diǎn)：結(jié)點(diǎn)的子樹(shù)的根

雙親結(jié)點(diǎn)：孩子結(jié)點(diǎn)的根結(jié)點(diǎn)

兄弟結(jié)點(diǎn)：具有共同雙親的結(jié)點(diǎn)

堂兄弟結(jié)點(diǎn)：雙親互為兄弟的結(jié)點(diǎn)

祖先結(jié)點(diǎn)：從根到該結(jié)點(diǎn)的所經(jīng)歷的所有結(jié)點(diǎn)

子孫結(jié)點(diǎn)：以某結(jié)點(diǎn)為根的子樹(shù)中的任一結(jié)點(diǎn)

1.4 二叉樹(shù)的遞歸定義

二叉樹(shù)是結(jié)點(diǎn)的有限集合，這個(gè)有限集，或?yàn)榭占?#xff0c;或由一個(gè)根結(jié)點(diǎn)及兩棵互不相交的，分別叫作這個(gè)根的左子樹(shù)和右子樹(shù)的二叉樹(shù)組成。

【注意】二叉樹(shù)不是樹(shù)的特殊情況。

1.5 存儲(chǔ)方法

雙親表示法——求父結(jié)點(diǎn)方便
孩子表示法——求子結(jié)點(diǎn)方便
雙親孩子表示法—求父結(jié)點(diǎn)和子結(jié)點(diǎn)方便
二叉樹(shù)表示法——把一個(gè)普通樹(shù)轉(zhuǎn)化成二叉樹(shù)來(lái)存儲(chǔ)

1.6 滿二叉樹(shù)VS完全二叉樹(shù)

滿二叉樹(shù)

• 定義：深為k且有$2^k?1$個(gè)結(jié)點(diǎn)的二叉樹(shù)。
• 編號(hào)：約定編號(hào)從根開(kāi)始，自上而下，自左而右，給二叉樹(shù)中的每個(gè)結(jié)點(diǎn)一個(gè)從1開(kāi)始的連續(xù)的編號(hào)。

完全二叉樹(shù)

• 定義：深為k且有n個(gè)結(jié)點(diǎn)的二叉樹(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)其每一個(gè)結(jié)點(diǎn)都與深度為k的滿二叉樹(shù)中編號(hào)從1至n的結(jié)點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)。

滿二叉樹(shù)是完全二叉樹(shù)，反之則不一定！

2 二叉樹(shù)的性質(zhì)

在二叉樹(shù)的第 i 層上至多有 $2^{i?1}$個(gè)結(jié)點(diǎn) ($i\ge 1$)

證明：
（1）i=1時(shí)，只有一個(gè)根結(jié)點(diǎn)，$2^{i?1}$ =$2^0$= 1，結(jié)論正確；
（2）假設(shè)n=k-1命題成立，即第k-1層上至多有 $2^{k?2}$ 個(gè)結(jié)點(diǎn)，則當(dāng)n=k時(shí)，每個(gè)結(jié)點(diǎn)至多有兩棵子樹(shù)；
則k層結(jié)點(diǎn)最多為k-1層的2倍，故$s<=2?2^{k?2}=2^{k?1}$，第i層至多有 $2^{i?1}$ 個(gè)結(jié)點(diǎn)；
（3）由歸納法，即得證。

---

深度為 k 的二叉樹(shù)至多有$2^k?1$個(gè)節(jié)點(diǎn)($k\ge 1$)

2⁰+2¹+…+2^k-1=2^k-1（利用等比數(shù)列求和公式得到結(jié)果）

---

對(duì)任何一顆二叉樹(shù) T，如果其終端結(jié)點(diǎn)樹(shù)為 $n_0$，度為 2 的結(jié)點(diǎn)數(shù)為 $n_2$，則 $n_0$ = $n_2$+1

證明：
終端結(jié)點(diǎn)數(shù)就是葉結(jié)點(diǎn)數(shù)了，而一顆二叉樹(shù)，除了葉結(jié)點(diǎn)外，剩下的就是度為 1 和 2 的結(jié)點(diǎn)數(shù)了，我們?cè)O(shè) $n_1$ 為度是 1 的結(jié)點(diǎn)數(shù)，則樹(shù) T 的總結(jié)點(diǎn)數(shù)為

n = $n_0$ + $n_1$ + $n_2$

再換一個(gè)角度，數(shù)一下二叉樹(shù)中連接線的總數(shù)，由于根節(jié)點(diǎn)沒(méi)有雙親，所以一個(gè)二叉樹(shù)中，連接線數(shù)等于結(jié)點(diǎn)樹(shù)-1，$n_1$ 的度為 1 所以它僅有一條連接線，$n_2$同理，代數(shù)表達(dá)式就是

$n?1$ = $n_1$ +$2n_2$

再結(jié)合等式

n = $n_0$ + $n_1$ + $n_2$

推導(dǎo)出

$n_0$ + $n_1$ + $n_2$-1 = $n_1$ + $2n_2$

所以：

$n_0$ = $n_2$ + 1

---

具有 n 個(gè)結(jié)點(diǎn)的完全二叉樹(shù)的深度為 $[{\log }_{2}n]$ + 1 ,（[x]代表不大于 x 的最大整數(shù)）

證明：
1）對(duì)于滿二叉樹(shù)，深度為 k 的滿二叉樹(shù)至多有$2^k?1$個(gè)節(jié)點(diǎn)($k\ge 1$)
那么由：

$n=2^k?1$

可以倒推

$k={\log }_2(n+1)$

2）對(duì)于完全二叉樹(shù)，它的結(jié)點(diǎn)數(shù)一定少于等于同樣深度的滿二叉樹(shù) $2^k?1$，但一定多于 $2^{i?1}?1$，即：

$2^{i?1}?1<n\le 2^k?1$

所以

$2^{i?1}\le n<2^k$

兩邊取對(duì)數(shù)：

$2^{i?1}\le n<2^k$

而 k 又是整數(shù)：

$k=[{\log }_{2}n]+1$

---

對(duì)于一個(gè)有 n 個(gè)結(jié)點(diǎn)的完全二叉樹(shù)（或滿二叉樹(shù)）的結(jié)點(diǎn)按層序順序從左到右編號(hào)，對(duì)任意結(jié)點(diǎn) i 有：

1）如果 i = 1，那么結(jié)點(diǎn) i 為該樹(shù)的根，無(wú)雙親；若 i > 1 ，則其雙親是結(jié)點(diǎn) [i/2]
2）如果 2i > n，則結(jié)點(diǎn)無(wú)左孩子（結(jié)點(diǎn) i 為葉子結(jié)點(diǎn)），否則其左孩子結(jié)點(diǎn)是 2i
3）如果 2i + 1 > n，則結(jié)點(diǎn) i 無(wú)右孩子，否則其右孩子是結(jié)點(diǎn) 2i + 1

3 代碼實(shí)現(xiàn)

創(chuàng)建二叉樹(shù)：

#include <stdio.h> #include <stdlib.h>typedef char ElementType; typedef struct Binary {ElementType data;struct Binary *lchild;struct Binary *rchild; } *BinaryTree;/* Recursive implementation 1 */ BinaryTree CreateBinaryTree_1(void) {BinaryTree bt;char ch;scanf("%c", &ch);if (ch == '#') {bt = NULL;} else {bt = (BinaryTree)malloc(sizeof(struct Binary));bt->data = ch;bt->lchild = CreateBinaryTree_1();bt->rchild = CreateBinaryTree_1();}return bt; }/* Recursive implementation 2 */ void CreateBinaryTree_2(BinaryTree *bt) {char ch;scanf("%c", &ch);if (ch == '#') {*bt = NULL;} else {*bt = (BinaryTree)malloc(sizeof(struct Binary));(*bt)->data = ch;CreateBinaryTree_2(&((*bt)->lchild));CreateBinaryTree_2(&((*bt)->rchild));} }void PreviousOrderTraverse(BinaryTree T) {if (T == NULL) {return;}printf("%c", T->data);PreviousOrderTraverse(T->lchild);PreviousOrderTraverse(T->rchild); }int main(void) {BinaryTree bt;// bt = CreateBinaryTree_1();CreateBinaryTree_2(&bt);PreviousOrderTraverse(bt);return 0; }

運(yùn)行結(jié)果：

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的二叉树介绍与代码实现的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

如果覺(jué)得生活随笔網(wǎng)站內(nèi)容還不錯(cuò)，歡迎將生活随笔推薦給好友。