文章目錄

• 命題邏輯（語法Syntax)
• • 由枚舉推理（inference by enumeration
  • • 區別
• deduction(形式推演，演繹）
• 作業（定理證明）

• logics：邏輯，表達信息的形式語言

• 語法syntax

• 語義semantics

• 邏輯研究的內容：形式化定義句子之間的關系

  • 語法：deduction(演繹（形式推演|—
  • 語義 entailment蘊含（邏輯推導|=
    

• 完備性：任何語義上蘊含的東西|=都可以在語法上推演出來|-

• 可靠性：任何語法上可以推演|-的東西都是在語義上蘊含的|=

• 哥德爾不完全定理：

  • 在一個更大的范圍內(證明法和問題與正整數存在一一對應關系），不存在既可靠sound又完備的定理
    

• 一個句子$\alpha$：x+y=4

• model這個句子的模型：它的一個真值指派x=0,y=4

• $M(\alpha )$：句子的所有真值指派的集合,所有model

• 蘊含（entailment）：邏輯推導（語義上的）

  • 句子間的關系
  • $KB|=\alpha$
    • KB–知識庫knowledge base
    • $\alpha$真<==>KB真
    • 如果一個model(真值指派）能讓$\alpha$真，則KB真
      • 所以$M(KB)?M(\alpha )$

KB=Giants won and Reds won
$\alpha =$Giants won

命題邏輯（語法Syntax)

• 命題propositions：可以判斷真假的陳述句

  • 命題邏輯不考慮隨時間變化的命題（今天是星期一）

• 原子命題atomic propositions:最小的命題P/Q/R

• 文字：原子命題或它的反

• 允許的符號

  • negation非：?
  • conjunction: 合取-且∧
  • disjunction:析取-或∨
  • implication：=>
    • ==?P∨Q
  • biconditional:<=>
    • 都相同為真

• 原子句=True|False|P|Q|R

• 句子=原子句子|復合句

• 復合句=用符號鏈接起來的句子(帶括號的也是）

PQ?PP∧QP∨QP=>QP<=>Q

false	false	true	false	false	true	true
false	true	true	false	true	true	false
true	false	false	false	true	false	false
true	true	false	true	true	true	true

由枚舉推理（inference by enumeration

• 深度優先枚舉是
  • sound-可靠性
  • complete -完備性
• KB |=$\alpha$—也就是真值表證明
  • 用定義證：$M(KB)?M(\alpha )$
    • 如果一個model讓KB為真，且
      • 讓$\alpha$真，返回真；
      • 讓$\alpha$假，返回假
    • 如果讓KB假，也返回真
    • 對所有model的結果取∧
  • 遍歷所有model，如果他讓KB真，且讓$\alpha$真，則成立
  • 時間復雜度$O(2^n),n個符號，2^n種指派$
  • 是一個co-NPC問題
  • KB |=$\alpha$<==>
    • KB∧?$\alpha$永假（unsatisfiable）
    • KB |=$\alpha$<==> KB =>$\alpha$永真（valid）
      • 真值表證明吧
    • KB =>$\alpha$永真
      • <==> ?KB ∨$\alpha$永真
      • <==>?(KB∧ ?$\alpha$)永真
      • <==> KB∧?$\alpha$永假（unsatisfiable）

• $\beta |= \alpha 且 \alpha|=\beta $
  • $M(\beta )?M(\alpha )且M(\alpha )?M(\beta )$==>$ M(\beta) = M(\alpha)$

區別

* entailment蘊含|=：* 邏輯上的概念，刻畫兩種句子之間的關系 * implication暗含=>* 命題之間的運算子，使用真值表刻畫其語義

• validity符合邏輯的
  • 對所有model為真(永真）
    • eg：True,A∨?A
  • KB |=$\alpha$<==> KB =>$\alpha$永真（valid）
• satisfiable可滿足的：
  • 存在正確的真值指派model
  • eg：A∨B
• unsatisfiable不可滿足:
  • no model可以令它為真（永假）
  • True,A∧?A
  • KB |=$\alpha$<==> KB∧?$\alpha$永假（unsatisfiable）

deduction(形式推演，演繹）

–符號上面的形式推演，不用考慮語義
|—推出：$\Sigma |?A$

• 11條規則
• 自反：A|-A
• 增加前提：$\Sigma |?A$==>$\Sigma ,{\Sigma }^{\prime }|?A$
• ?消去：
  • $\Sigma$,? A |- B
  • $\Sigma$,? A |- ?B
  • ==>$\Sigma |?A$
• ->-消去：->是=>
  • $\Sigma |?A?>B$
  • $\Sigma |?A$
  • ==>$\Sigma |?B$
• ->+引入：->是=>
  • $\Sigma ,A|?B$
  • ==>$\Sigma |?A?>B$
• <->-消去：<->是<=>
  • a$\Sigma |?A<?>B$
  • $\Sigma |?A$
  • ==>$\Sigma |?B$.
  • b$\Sigma |?A<?>B$
  • $\Sigma |?B$
  • ==>$\Sigma |?A$
• <->+引入：<->是<=>
  • $\Sigma ,A|?B$
  • $\Sigma ,B|?A$
  • ==>$\Sigma |?A?>B$
• ∧-消除：
  • $\Sigma |?A\wedge B$
  • ==>$\Sigma |?A$
  • ==>$\Sigma |?B$
• ∧+引入：
  • $\Sigma |?A$
  • $\Sigma |?B$
  • ==>$\Sigma |?A\wedge B$
• ∨- 消去
  • $\Sigma ,A|?C$
  • $\Sigma ,B|?C$
  • ==>$\Sigma ，A∨B |-C $
• ∨引入
  • $\Sigma |?A$
  • ==>$\Sigma |- A∨B $
  • ==>$\Sigma |- B∨A $
• $\in$
  • $A\in \Sigma$
  • ==>$\Sigma |?A$
    • 若$A\in \Sigma 且{\Sigma }^{\prime }=\Sigma ?\{A\}$
    • A |- A
    • $A,{\Sigma }^{\prime }|?A$

作業（定理證明）

• 2.6.3
  

總結

以上是生活随笔為你收集整理的国科大高级人工智能7-命题逻辑的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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