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Description

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給出一個(gè)食物網(wǎng)，每個(gè)生物指向的生物都是它可以捕食的對(duì)象，保證是圖是DAG。

如果一個(gè)捕食者的所有捕食對(duì)象都滅絕了，那么它們也會(huì)滅絕。

求每一個(gè)動(dòng)物滅絕之后，有多少個(gè)動(dòng)物會(huì)隨之滅絕。

• \(n\le 65534\)

Solution

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考察建圖思維的好題。

如果我們按照 捕食者\(\to\)捕食對(duì)象 的關(guān)系連邊，那么我們得到的是一張捕食關(guān)系的流向圖，無法判斷反向的影響。

所以要按照 捕食對(duì)象\(\to\)捕食者 的關(guān)系連邊，得到的是一張能量供應(yīng)的流向圖。

那么形象的說，每個(gè)點(diǎn)都把能量流向出邊指向的點(diǎn)，如果一個(gè)點(diǎn)消失了，從他這里流出去的所有能量全都消失。

如果這個(gè)時(shí)候某些點(diǎn)沒有能量流入，那么這些點(diǎn)就是需要統(tǒng)計(jì)到消失點(diǎn)的答案里。

但是只有這些嗎？并不是。因?yàn)檫@些受影響消失的點(diǎn)可能繼續(xù)導(dǎo)致一些點(diǎn)消失，后面的答案我們沒有統(tǒng)計(jì)。

我們?cè)O(shè) \(die_x\) 表示節(jié)點(diǎn) x 如果消失，有連邊的點(diǎn)直接消失的點(diǎn)的個(gè)數(shù)。

那么我們一個(gè)點(diǎn)要累加的，就是所有直接指向的消失的點(diǎn)的個(gè)數(shù)+這些點(diǎn)的 \(die\) 值。

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考慮如何求出 \(die\) 值。我們發(fā)現(xiàn)這就是能量供應(yīng)關(guān)系的圖的拓?fù)湫颉?/p>

我們新建一棵樹形結(jié)構(gòu)，父子關(guān)系表示，如果父節(jié)點(diǎn)消失，子節(jié)點(diǎn)必然消失。

首先將這張能量供應(yīng)圖中所有入度為 \(0\) 的點(diǎn)連向虛擬根節(jié)點(diǎn)，代表他們不會(huì)因?yàn)閯e的生物滅亡而滅亡。

然后考慮拓?fù)涞揭粋€(gè)點(diǎn)時(shí)，它應(yīng)該作為哪個(gè)節(jié)點(diǎn)的子節(jié)點(diǎn)。顯然是它的所有食物在這棵樹上的 \(LCA\)。

因?yàn)橥負(fù)?#xff0c;所以他的所有食物必然已經(jīng)在這個(gè)樹上，我們兩兩合并求 \(LCA\) 即可。

因?yàn)橐宜性谀芰抗┙o圖上指向當(dāng)前點(diǎn)的點(diǎn)，所以我們還要把捕食的圖建出來，便于找食物有哪些。

因?yàn)榍?\(LCA\) 多次，需要 \(log\) 的復(fù)雜度，因?yàn)闃涞男螒B(tài)是變化的，所以鏈剖和離線算法顯然都不行。

考慮倍增。查找兩兩合并是沒有問題了，但是新插入節(jié)點(diǎn)怎么辦？

注意到倍增數(shù)組的構(gòu)造只需要知道父節(jié)點(diǎn)，所以在把拓?fù)涞降狞c(diǎn)插入樹的同時(shí)構(gòu)造一下倍增數(shù)組就好了。

因?yàn)檫@個(gè)樹的定義，每一個(gè)點(diǎn)的答案顯然是子樹大小 \(-1\) 。

Code

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一直 \(90\) 不知道為什么，后來發(fā)現(xiàn)........

在 \(LCA\) 的時(shí)候根節(jié)點(diǎn)設(shè)成了 \(n+1\) ，但是如果倍增的時(shí)候深的跳超了，但是另一個(gè)是根節(jié)點(diǎn)，根據(jù)判斷條件并沒有跳超深度，它就會(huì)跳到 0 號(hào)節(jié)點(diǎn)然后 GG....

給 \(n+1\) 號(hào)節(jié)點(diǎn)設(shè)個(gè)深度，或者根節(jié)點(diǎn)換成 \(0\) 號(hào)節(jié)點(diǎn)就好啦

#include<cmath> #include<queue> #include<cstdio> #include<cctype> #include<cstdlib> #include<cstring> #include<iostream> #include<algorithm> #define N 70000 #define R register #define gc getchar using namespace std;inline int rd(){int x=0; bool f=0; char c=gc();while(!isdigit(c)){if(c=='-')f=1;c=gc();}while(isdigit(c)){x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48);c=gc();}return f?-x:x; }int n,m,tot,hd[N],deg[N],tot2,hd2[N];int t,tot1,d[N],hd1[N],f[N][20],ans[N];struct edge{int to,nxt;}e[N<<3],e1[N<<1],e2[N<<3];inline void add(int u,int v){e[++tot].to=v; e[tot].nxt=hd[u]; hd[u]=tot; }inline void add1(int u,int v){e1[++tot1].to=v; e1[tot1].nxt=hd1[u]; hd1[u]=tot1; }inline void add2(int u,int v){e2[++tot2].to=v; e2[tot2].nxt=hd2[u]; hd2[u]=tot2; }inline void getfa(int u,int fa){f[u][0]=fa; d[u]=d[fa]+1;for(R int i=1;i<=t;++i) f[u][i]=f[f[u][i-1]][i-1]; }inline int lca(int u,int v){if(d[u]>d[v]) u^=v^=u^=v;for(R int i=t;~i;--i) if(d[f[v][i]]>=d[u]) v=f[v][i];if(u==v) return u;for(R int i=t;~i;--i)if(f[u][i]!=f[v][i]) u=f[u][i],v=f[v][i];return f[u][0]; }inline void work(int u){int res=e2[hd2[u]].to;for(R int i=e2[hd2[u]].nxt;i;i=e2[i].nxt) res=lca(res,e2[i].to);getfa(u,res); add1(u,res); add1(res,u); }void dfs(int u,int fa){for(R int i=hd1[u],v;i;i=e1[i].nxt)if((v=e1[i].to)!=fa){dfs(v,u); ans[u]+=ans[v];} }queue<int> q;int main(){t=log2(n=rd())+1;for(R int i=1,x;i<=n;++i){x=rd();while(x){++deg[i];add(x,i);add2(i,x);x=rd();}ans[i]=1;}for(R int i=1;i<=n;++i)if(!deg[i]){q.push(i); getfa(i,0);add1(i,0); add1(0,i);}while(!q.empty()){int u=q.front(); q.pop();for(R int i=hd[u],v;i;i=e[i].nxt)if((--deg[v=e[i].to])==0) q.push(v),work(v);}dfs(0,-1);for(R int i=1;i<=n;++i) printf("%d\n",ans[i]-1);return 0; }

轉(zhuǎn)載于:https://www.cnblogs.com/SGCollin/p/9949158.html

總結(jié)

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