通常的Nim游戲的定義是這樣的：有若干堆石子，每堆石子的數量都是有限的，合法的移動是“選擇一堆石子并拿走若干顆（不能不拿）”， 如果輪到某個人時所有的石子堆都已經被拿空了，則判負（因為他此刻沒有任何合法的移動）。

*這游戲看上去有點復雜，先從簡單情況開始研究吧。
如果輪到你的時候，只剩下一堆石子，
那么此時的必勝策略肯定是把這堆石子全部拿完一顆也不給對手剩，然后對手就輸了。

*如果剩下兩堆不相等的石子，必勝策略是通過取多的一堆的石子將兩堆石子變得相等，
以后如果對手在某一堆里拿若干顆，你就可以在另一堆中拿同樣多的顆數，直至勝利。
如果你面對的是兩堆相等的石子，那么此時你是沒有任何必勝策略的，
反而對手可以遵循上面的策略保證必勝。

*現在我們如何從兩堆的取子策略擴展到任意堆數中呢？

*首先來回憶一下，每個正整數都有對應的一個二進制數，
于是，我們可以認為每一堆硬幣數由2的冪數的子堆組成。
這樣，含有57枚硬幣大堆就能看成是分別由數量為2^5、2^4、2^3、2^0的各個子堆組成。

*現在考慮各大堆大小分別為N1，N2，……Nk的一般的Nim取子游戲。
將每一個數Ni表示為其二進制數（數的位數相等，不等時在前面補0）：

N1 = as…a1a0

N2 = bs…b1b0

……

Nk = ms…m1m0

如果每一種大小的子堆的個數都是偶數，我們就稱Nim取子游戲是平衡的，

而對應位相加是偶數的稱為平衡位，否則稱為非平衡位。

因此，Nim取子游戲是平衡的，當且僅當：

as + bs + … + ms 是偶數

……
a1 + b1 + … + m1 是偶數

a0 + b0 + … + m0是偶數

于是，我們就能得出獲勝策略：

游戲人I能夠在非平衡取子游戲中取勝，而游戲人II能夠在平衡的取子游戲中取勝。

*我們以一個兩堆硬幣的Nim取子游戲作為試驗。設游戲開始時游戲處于非平衡狀態。
這樣，游戲人I就能通過一種取子方式使得他取子后留給游戲人II的是一個平衡狀態下的游戲，
接著無論游戲人II如何取子，再留給游戲人I的一定是一個非平衡狀態游戲，如此反復進行，
當游戲人II在最后一次平衡狀態下取子后，游戲人I便能一次性取走所有的硬幣而獲勝。
而如果游戲開始時游戲牌平衡狀態，那根據上述方式取子，最終游戲人II能獲勝。

*下面應用此獲勝策略來考慮 4堆 的Nim取子游戲。
其中各堆的大小分別為7，9，12，15枚硬幣。
用二進制表示各數分別為：0111，1001，1100和1111。于是可得到如下一表：

由Nim取子游戲的平衡條件可知，此游戲是一個非平衡狀態的取子游戲，
因此，游戲人I在按獲勝策略進行取子游戲下將一定能夠取得最終的勝利。
具體做法有多種，游戲人I可以從大小為12的堆中取走11枚硬幣，使得游戲達到平衡（如下表），

之后，無論游戲人II如何取子，游戲人I在取子后仍使得游戲達到平衡。
同樣的道理，游戲人I也可以選擇大小為9的堆并取走5枚硬幣而剩下4枚，
或者，游戲人I從大小為15的堆中取走13枚而留下2枚。

所以歸根結底，Nim游戲的核心就是判斷初始狀態是不是平衡狀態
非平衡狀態先手必勝，平衡狀態后手必勝

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總結

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