算法總結(jié)之歐拉函數(shù)&中國剩余定理

1.歐拉函數(shù)

　　概念：在數(shù)論，對(duì)正整數(shù)n，歐拉函數(shù)是少于或等于n的數(shù)中與n互質(zhì)的數(shù)的數(shù)目。

　　通式：φ(x)=x(1-1/p1)(1-1/p2)(1-1/p3)(1-1/p4)…..(1-1/pn)?

　　　　其中p1, p2……pn為x的所有質(zhì)因數(shù)，x是不為0的整數(shù)?

　　注意：

　　　　1)?φ(1)=1.

　　　　2)每種質(zhì)因數(shù)只一個(gè)。比如12=2*2*3那么φ（12）=12*（1-1/2）*(1-1/3)=4

　　　　3)若n是質(zhì)數(shù)p的k次冪，φ(n)=p^k-p^(k-1)=(p-1)p^(k-1)，因?yàn)槌藀的倍數(shù)外，其他數(shù)都跟n互質(zhì)。

　　　　4)φ(mn)=φ(m)φ(n)

　　　　5)當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，φ(2n)=φ(n)

　　代碼實(shí)現(xiàn)：

1)直接求歐拉數(shù)：

1 /*函數(shù)返回值為n的歐拉函數(shù)值*/ 2 int euler(int n) 3 { 4 int s=n,i,m; 5 m=sqrt(n); 6 for(i=2;i<=m;i++){ 7 if(n%i==0) 8 s=s/i*(i-1); 9 while(n%i==0) 10 n/=i; 11 } 12 if(n>1) 13 s=s/n*(n-1); 14 return s; 15 }

2)打表

1 /*打印1-MAXN的歐拉函數(shù)表*/ 2 int a[MAXN]= {1,1,0}; 3 void euler() 4 { 5 int i,j; 6 for(i=2; i<=MAXN; i++) 7 if(!a[i]) 8 for(j=i; j<=MAXN; j+=i) 9 { 10 if(a[j]==0) a[j]=j; 11 a[j]=a[j]/i*(i-1); 12 } 13 }

?2.中國剩余定理

　　原文：
　　　　《孫子算經(jīng)》中的題目：有物不知其數(shù)，三個(gè)一數(shù)余二，五個(gè)一數(shù)余三，七個(gè)一數(shù)又余二，問該物總數(shù)幾何？
　　　　《孫子算經(jīng)》中的解法：三三數(shù)之，取數(shù)七十，與余數(shù)二相乘；五五數(shù)之，取數(shù)二十一，與余數(shù)三相乘；七七數(shù)之，取數(shù)十五，與余數(shù)二相乘。將諸乘積相加，然后減去一百零五的倍數(shù)。

　　結(jié)論：

　　　　令任意固定整數(shù)為M，當(dāng)M/A余a，M/B余b，M/C余c，M/D余d，…，M/Z余z時(shí)，這里的A，B，C，D，…，Z為除數(shù)，除數(shù)為任意自然數(shù)時(shí)；余數(shù)a，b，c，d，……，z為自然整數(shù)時(shí)。

　　　　1)當(dāng)命題正確時(shí)，在這些除數(shù)的最小公倍數(shù)內(nèi)有解，有唯一的解，每一個(gè)最小公倍數(shù)內(nèi)都有唯一的解。

　　　　2)當(dāng)M在兩個(gè)或兩個(gè)以上的除數(shù)的最小公倍數(shù)內(nèi)時(shí)，這兩個(gè)或兩個(gè)以上的除數(shù)和余數(shù)可以定位M在最小公倍數(shù)內(nèi)的具體位置，也就是M的大小。

　　　　3)正確的命題：分別除以A，B，C，D，…，Z不同的余數(shù)組合個(gè)數(shù)=A，B，C，D，…，Z的最小公倍數(shù)=不同的余數(shù)組合的循環(huán)周期。

　　具體步驟(以《孫子算經(jīng)》中的題目為例):

　　　　1)找出三個(gè)數(shù)：從3和5的公倍數(shù)中找出被7除余1的最小數(shù)15，從3和7的公倍數(shù)中找出被5除余1 的最小數(shù)21，最后從5和7的公倍數(shù)中找出除3余1的最小數(shù)70。

　　　　2)用15乘以2(2為最終結(jié)果除以7的余數(shù))，用21乘以3(3為最終結(jié)果除以5的余數(shù))，同理，用70乘以2(2為最終結(jié)果除以3的余數(shù))，然后把三個(gè)乘積相加(15*2+21*3+70*2)得到和233。

　　　　3)用233除以3，5，7三個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)105，得到余數(shù)23，即233%105=23。這個(gè)余數(shù)23就是符合條件的最小數(shù)。

轉(zhuǎn)載于:https://www.cnblogs.com/Enumz/p/3878509.html

總結(jié)

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