原创：听说过“韩信点兵”的故事吗？
原標題：聽說過“韓信點兵”的故事嗎？
不知道大家小時候有沒有聽過一首歌謠：
“三人同行七十稀，五樹梅花二十一，七子團圓正半月，除百零五便得知。”
實際上這個歌謠是一個古老數學題的解法。
韓信點兵
在數學典籍《孫子算經》中，有許多著名的數學問題。其中最有名的是“雞兔同籠”問題。除此之外，另一個流傳很廣的經典問題，被后人稱為“物不知數”問題：
“有物不知其數，三三數之剩二，五五數之剩三，七七數之剩二。問物幾何？”
意思是說：有一堆物體不知道有幾個。如果三個三個分組，最后會剩下2個；如果五個五個分組，最后會剩下3個；如果七個七個分組，最后會剩下2個。問這些物體一共有幾個？
后來，人們為了讓這個問題更具體化，就把它改編成“韓信點兵”問題。
有一次戰斗后，韓信要清點士兵的人數。讓士兵三人一組，就有兩人沒法編組；五人一組，就有三人無法編組；七人一組，就有兩人無法編組。那么請問這些士兵一共有幾人？
宋朝數學家秦九韶在《數書九章》中對這個問題做出了完整系統的解答。明朝數學家程大位在《算法統宗》中將解法編成易于上口的《孫子歌訣》，就是文初的那首歌謠。
同余
現在我們一起來解決這個問題。首先我們來了解一下同余的概念。a和b關于c同余，意思是說a除以c和b除以c的余數相同。例如：8÷5=1余3，3÷5=0余3，所以8和3關于5同余，寫作8≡3（mod 5），其中mod讀作“模”。而且，由于3小于5，所以3本身就是3除以5的余數，因此8≡3（mod 5）也可以理解為8除以5的余數是3。
這樣，韓信點兵問題就可以表示為數學語言了。有一個數字x，除以3余2，除以5余3，除以7余2， 那么這個數字是多少？數學寫法是
對于這個問題，最基本的解法是窮舉法，就是把滿足每個條件的數字寫出來，然后找到相同的數字。
但是，這個問題的解并不是唯一的。3、5、7彼此互質，它們的最小公倍數是105。也就是說，105除以3、除以5或者除以7都沒有余數。如果一個數字x是滿足要求的，那么在x上加上幾個105都不會改變它對3、5、7的余數。比如，23是滿足要求的，那么23+105=128也是滿足要求的，23+210=233也是滿足要求的。
所以這個問題最后的解就是23+105n，其中n=0，1，2，3…
歌謠
那么，程大位在《算法統宗》中的歌謠又是什么意思呢？其實這個口訣是一個快速的算法，那就是：
例如在“韓信點兵”問題中，除以3的余數是2，除以5的余數是3，除以7的余數是2，那么前三句話就是70×2+21×3+15×2=233，233減去105等于128，128減去105=23，那么23、128、233等就都是這個問題的答案。
這個口訣的證明其實也并不難：
中國剩余定理
余數問題是一個重要的數學問題，是計算機密碼學的基石之一。世界著名的數學家歐拉、高斯等人，都曾經研究過這個問題。中國古代的先賢在這方面取得了豐碩的成果。“韓信點兵”問題只是一個例子，這樣的問題有更加普遍和系統化的表示方法。而這個方法，就被世界稱為“中國剩余定理”，是我國為數不多的獲得世界公認的古代數學成就之一。
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總結
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