一.線性結構

1.順序線性表

1.1 線性結構是一種基本的數據結構，具有單一前驅和后繼的數據關系描述。
1.2 線性表的存儲結構分為順序存儲和鏈式存儲。
1.3 順序線性表的元素間的邏輯關系無需占用額外的空間來存儲。
1.4 一般地，以LOC($a_1$)表示線性表中第一個元素的存儲位置，在順序存儲結構中，第ｉ個元素$a_i$的存儲位置為
$$LOC(a_i)=LOC(a_1)+(i?1)?L$$L表示表中每個元素所占用空間的字節數。

1.5 順序線性表的優點是可以隨機存儲表中的元素，缺點是插入和刪除元素需要移動元素。

1.6插入刪除操作需要移動元素個數的期望值
(1) 在長度為ｎ的線性表中插入元素時，共有n+1個插入位置，在位置１處插入元素需要移動ｎ個元素，在ｎ位置處插入元素，需要移動一個元素，則可知在**位置ｉ處插入元素，需要移動的元素個數為n+1 - i,**假設在n+1個位置插入元素的概率相等，則概率為：
$$\frac{\mathrm{１}}{n+1}$$則插入元素的期望為
$$E_{insert}=\sum _{i=1}^{n+1}\frac{\mathrm{１}}{n+1}(n+1?i)=\frac{n}{2}$$

(2) 刪除元素時，有ｎ個元素可刪除的元素，刪除第ｉ個元素需要移動的元素個數為n-i,則期望為：
$$E_{delete}=\sum _{i=1}^n\frac{\mathrm{１}}{n}(n?i)=\frac{n?1}{2}$$

1.7 因此，插入和刪除的時間復雜度為Ｏ(n)。

2.鏈式線性表

2.1 通過指針域來存儲元素之間的邏輯關系，若節點中只有一個指針域，則稱為線性鏈表，具有插入和刪除元素不需要移動元素的優點。
2.2 在單鏈表中，在ｐ所指節點后面插入新節點：

s->next = p->next; p->next = s

2.3 在單鏈表中刪除ｐ所指節點的后繼節點：

q = p->next;//記住需要刪除的節點，用于其釋放內存 p->next = p->next->next; free(q);

插入，刪除節點都需要從插入或刪除的節點入手，結合圖中所示，書寫首尾銜接，方便快速寫出正確的代碼。

2.4 在實際應用中，為了簡化對鏈表狀態的判定和處理，特別引入一個不存儲數據元素的節點，稱之為頭節點，將其作為鏈表的第一個節點并令頭指針指向該節點。

2.5 雙向鏈表，具有連個指針域，分別指出當前元素的直接前驅和直接后繼。循環鏈表，在單鏈表的基礎上，令表尾節點的指針指向鏈表的第一個節點。注意區分兩者的區別。

2.6 雙向鏈表的刪除和插入操作,front表示前驅，next表示后繼。

在ｐ節點之前插入節點ｓ：

s->front = p->front; p->front->next = s; s->next = p; p->front = s;

刪除節點ｐ：

p->front->next = p->next; p->next->front = p->front; free(p);

3. 棧和隊列

3.1 在棧中進行插入和刪除操作的一端稱為棧頂。
3.2 棧的存儲結構：順序存儲和鏈式存儲。采用順序存儲結構的棧稱為順序棧，在這種存儲方式下，需要預新申請棧的存儲空間。
3.3 棧的典型應用包括表達式求值，括號匹配等，其次將遞歸過程轉換成非遞歸過程，也需要利用棧來實現。

3.4 在對隊列中，允許插入元素的一端稱為隊尾(Rear),允許刪除元素的一端稱之為隊頭(Front)。順序存儲的隊列，可以通過求余運算來實現環狀結構。
元素入隊和元素出隊列;

Q.rear = (Q.rear +1) % MAXSIZE;// 采用下標加１的方式表示入隊和出隊 Q.front = (Q.front +1) % MAXSIZE;

3.5　當頭指針和為指針相等時，表示隊列為空，當尾指針的下一個位置為頭指針是表示隊列滿，或者設置一個隊列滿的標志是區分隊列的空與滿。

3.6 鏈式隊列，采用給隊列添加一個頭節點，并令頭指針指向該節點。因此，當頭指針與位置的值相等且均指向頭結點表示隊列空。
3.7 隊列主要用于需要排隊的場合，以及離散事件的計算機模擬等。

4.串的模式匹配

4.1 樸素的模式匹配算法：基本思想是從主串的第一個字符與模式串的第一個字符比較，若相等，則逐一對字符串進行后續的比較，否則從主串第二個字符與模式串的第一個字符重新比較，直到匹配成功或則失敗。

4.2 模式匹配的算法時間復雜度
(1) 假設主串和模式串長度分別為ｎ和ｍ，下表從０開始，假設從主串的第ｉ個位置匹配成功，且在前ｉ趟中都是模式串的第一個字符與主串匹配失敗，字符比較次數為ｉ，而第ｉ+1趟成功匹配字符的比較次數為ｍ,總的字符比較次數為ｉ+ m(0<=i<=n-m),若在n-m個位置上匹配成功的概率相同，即
$$\frac{\mathrm{１}}{n?m+1}$$
則，匹配成功時字符的平均比較次數為：
$$\frac{\mathrm{１}}{n?m+1}\sum _{i=0}^{n?m}(i+m)=\frac{n+m}{2}$$
因此，在最好情況下匹配算法的時間復雜度為O(n+ｍ)。

(2)假設最壞情況下，每次匹配不成功都是模式串的最后一個字符不匹配，則前ｉ趟中字符比較了ｉ×ｍ次，第ｉ＋１趟也比較了ｍ次，則：
$$\sum _{i=0}^{n?m}\frac{m(i+1)}{n?m+1}=\frac{1}{2}m(n?m+2)$$
因此，在最壞情況下匹配算法的時間復雜度為O(n×ｍ)。

5.矩陣的壓縮存儲

5.1 n階對稱矩陣，$a_{ij}$=$a_{ji}$,可將$n^2$個元素壓縮存儲到$\frac{n(n+1)}{2}$個元素的存儲空間。
采用行為主序存儲下三角包括對角線中的元素在數組A中，則A [k]與矩陣元素$a_{ij}$之間的一一對應關系為：
$$k=\{\begin{array}{ll}\frac{i(i?1)}{2}+j& \text{i?>=?j}\\ \frac{j(j?1)}{2}+i,& \text{i?<?j}\end{array}$$

總結

以上是生活随笔為你收集整理的数据结构-线性结构的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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