有?NN?件物品和一個(gè)容量是?VV?的背包。每件物品只能使用一次。

第?ii?件物品的體積是?vivi，價(jià)值是?wiwi。

求解將哪些物品裝入背包，可使這些物品的總體積不超過(guò)背包容量，且總價(jià)值最大。
輸出最大價(jià)值。

輸入格式

第一行兩個(gè)整數(shù)，N，VN，V，用空格隔開(kāi)，分別表示物品數(shù)量和背包容積。

接下來(lái)有?NN?行，每行兩個(gè)整數(shù)?vi,wivi,wi，用空格隔開(kāi)，分別表示第?ii?件物品的體積和價(jià)值。

輸出格式

輸出一個(gè)整數(shù)，表示最大價(jià)值。

數(shù)據(jù)范圍

0<N,V≤10000<N,V≤1000
0<vi,wi≤10000<vi,wi≤1000

輸入樣例

4 5 1 2 2 4 3 4 4 5

輸出樣例：

8

思路：

f[i][j]:表示所有選法集合中,只從前i個(gè)物品中選,并且總體積比j小的選法的集合,它的值是這個(gè)集合中每一個(gè)選法的最大值.
狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程
f[i][j] = max(f[i-1][j], f[i-1][j-v[i]]+w[i])
f[i-1][j]:不選第i個(gè)物品的集合中的最大值
f[i-1][j-v[i]]+w[i]:選第i個(gè)物品的集合,但是直接求不容易求所在集合的屬性,先將第i個(gè)物品的體積減去,求剩下集合中選法的最大值.
問(wèn)題，例如選擇物品的體積為3，那么他的上一個(gè)就得是f[i-1][j-3],加上他之后就是f[i][j]

集合如何劃分

一般原則:不重不漏,不重不一定都要滿足(一般求個(gè)數(shù)時(shí)要滿足)

如何將現(xiàn)有的集合劃分為更小的子集,使得所有子集都可以計(jì)算出來(lái)。

?

import java.util.Scanner;

public class Solution2 {
public static void main(String[] args)
{
?? ?int m,n;
?? ?Scanner sc = new Scanner(System.in);
?? ?m = sc.nextInt();//物品數(shù)量
?? ?n = sc.nextInt();//背包容量
?? ?int i,j;
?? ?int dp[][] = new int[m+1][n+1];
?? ?dp[0][0]=0;
?? ?int weight[] = new int[m+1];
?? ?int value[] = new int[m+1];
?? ?for(i=1;i<=m;i++)
?? ?{
?? ??? ?weight[i] = sc.nextInt();
?? ??? ?value[i] = sc.nextInt();
?? ?}
?? ?for(i=1;i<=m;i++)
?? ?{
?? ??? ?for(j=0;j<=n;j++)
?? ??? ?{
?? ??? ??? ?dp[i][j] = dp[i-1][j];//不選第i個(gè)
?? ??? ??? ?if(j>=weight[i])
?? ??? ??? ?{
?? ??? ??? ??? ?dp[i][j]=Math.max(dp[i][j], dp[i-1][j-weight[i]]+value[i]);
?? ??? ??? ?}
?? ??? ?}
?? ?}
?? ?int max = 0;
?? ?for(i=0;i<=n;i++)
?? ?{
?? ??? ?max = Math.max(max, dp[m][i]);
?? ?}
?? ?System.out.println(max);
}
}
優(yōu)化后的代碼：dp只與前面那一行有關(guān)，與列無(wú)關(guān)，所以可以使用一維數(shù)組

import java.util.Scanner;

public class Main {
public static void main(String[] args)
{
?? ?int m,n;
?? ?Scanner sc = new Scanner(System.in);
?? ?m = sc.nextInt();//物品數(shù)量
?? ?n = sc.nextInt();//背包容量
?? ?int i,j;
?? ?int dp[] = new int[n+1];
?? ?int weight[] = new int[m+1];
?? ?int value[] = new int[m+1];
?? ?for(i=1;i<=m;i++)
?? ?{
?? ??? ?weight[i] = sc.nextInt();
?? ??? ?value[i] = sc.nextInt();
?? ?}
?? ?for(i=1;i<=m;i++)
?? ?{
?? ??? ?for(j=n;j>=weight[i];j--)? //從大到小枚舉是因?yàn)?#xff0c;如果寫(xiě)成從小到大，那相當(dāng)于是

//dp[i][j]=Math.max(dp[i][j], dp[i][j-weight[i]]+value[i]),

//例如：第一個(gè)物體體積為3，dp[3]=3，dp[6]=6,選取了兩次，i=1時(shí)，dp[3~n]都應(yīng)該是3，因?yàn)榇藭r(shí)物體只有一個(gè)
?? ??? ?{

?? ??? ??? ?dp[j]=Math.max(dp[j], dp[j-weight[i]]+value[i]);
?? ??? ?}
?? ?}
?? ?int max = 0;
?? ?for(i=0;i<=n;i++)
?? ?{
?? ??? ?max = Math.max(max, dp[i]);
?? ?}
?? ?System.out.println(max);
}
}
?

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的AcWing--2.01背包问题的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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