我們發現，內積和外積都是和相對夾角相關，而和一對向量的整體剛體變換無關。本講用一種特別的角度，從勾股定理出發，把兩個向量長度構成的矩形面積分解稱內積和外積兩個部分。

兩個向量的夾角，在復數上可以表達為一個向量和另一個向量共軛的乘積，于是我們可以使用Hermite內積的結構。進一步，我們發現Hermite內積將內積和外積分解到實部和虛部，從而統一了二者。這樣的結構在復Hilbert空間和量子力學中有重要的應用。

繼而我們推廣到一般有限維度上的Hermite內積問題。這里面出現了復結構和辛矩陣。將來我們還可以在這些結構上過渡到辛幾何。

本講的內容，將來在許多地方都會遇到，包括泛函分析的Hilbert空間、微分幾何中的外代數、微分形式、張量，以及復幾何和辛幾何等等。本講將建立起基本的理解，便于今后的進一步理解。廣告：高中生想快速學會微積分、線性代數，嘗試大學數學物理知識戳這里網上私教 學霸養成。

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上一講在講到正定二次型的時候提到內積。我們在中學已經接觸到了內積和外積，對這些概念略有一些物理直觀。現在，我們回到復平面，用

的工具來深入了解這些概念，并且得到一種重要的內積結構：Hermit內積。Hermit內積與許多數學性質相關，在泛函分析的算子理論和量子力學的數學基礎上起著基礎性的作用。深入地理解內積是對學習泛函分析大有幫助，而深入地理解外積，未來則將幫助我們開啟外代數、外微分、外形式、symplectic結構等數學和物理領域。

矩形與平行四邊形的面積：回顧中學知識

中學數學和中學物理經常遇到的一個問題是，平面兩個向量所形成的平行四邊形。中學學過了正交，倘若兩向量正交，兩向量的長度為

，則兩向量形成一個矩形，面積為：

倘若兩向量之間的夾角為

，則兩向量形成的平行四邊形的面積為：

這個面積是有向的。中學物理中的力矩就是一個例子。力矩的大小相當于力和徑向長度兩向量之間的平行四邊形面積，且由夾角（面積）的符號方向決定力矩的符號方向。我們知道，這個有向的平行四邊形面積一般稱為外積。外（exterior）是一個在微分幾何中很常見的概念，將來會具體談。

作為余面積的內積

進一步，我們認為夾角

決定了投影 ，它把兩向量的矩形面積（兩向量間任意夾角的最大可能面積）投影為平行四邊形面積。即，外積是某種總面積投影形成的。

下面，我們談余（co-）這個字。

正弦（sin = sine）

余弦（cos = cosine）

可見人們理解了正弦以后，便可以認為余弦是正弦余下的某種東西，或者當前者變化就要伴隨（co-）著變化的某種東西。那么正弦和余弦之間靠什么聯系呢？靠宇宙第一真理：

我們所以在這里講到如此初等的內容，是為了讓大家看到，內積從某種意義上，也是一種余面積。前面講到總面積為

，在夾角 時，總面積投影成為外積 ，那么自然就得到了一個余面積 。它不是別的，正是我們所數知的內積，例如力向量和位移向量的內積就是功。

夾角的描述：共軛

前面的討論告訴我們，外積和內積是總面積根據兩向量夾角

進行的正交投影。夾角成為了最主要的因素。令兩向量分別為：

其夾角為

這個夾角是有方向的。于是外積和內積分別成為：

我們在第一講中，使用了中學數學的三角函數，在

中研究過Euler公式。現在我們用類似的方法，將內積和外積寫成 中的向量：

等下我們將了解到這個等式右邊就是Hermit內積定義中的共軛乘法。這個式子相當于復數運算：

其關鍵之處在于對第二個變元是共軛的，從而在復數乘法中，得到了兩向量的夾角。

Hermit內積

綜上，向量

之間定義運算

可以得到一個復數，其實部為向量內積、虛部為向量外積。

如此定義的運算可以證明是一個復內積，稱為Hermit內積。

既然

是同構的，我們在實平面 上構造向量：

我們注意到，這兩個向量的內積就是以上Hermit內積的實部，而Hermit內積的虛部可以展開為：

真正有趣的是這個形似單位矩陣卻又不同的東西：

在前面我們已經遇到過它，見：

MP3：SO(2)的求導：算子譜分析和復結構?zhuanlan.zhihu.com

這個結構是一個復結構，即：

它將是后面我們經常研究的對象。

除了現在討論的形式，Hermit內積還可以有多維復向量的形式，以及無窮維函數空間上平方可積的形式等等。無論那種形式，其核心思想仍然是通過對其中一個變元的共軛，將兩個矢量的角度構造夾角，從而能夠實現某種”總面積“的正交投影。

在量子力學中，廣泛出現的是波函數及其對偶空間上的bracket內積，它是在復平方可積空間

上，定義了左矢bra和右矢ket一對有序向量偶，通過如上的共軛方式構成了積分形式的Hermit內積，形成一個Hilbert空間。量子力學的大量基礎模型即建立在這個空間上。

多維Hermit內積和辛結構

下面考慮把Hermit內積推廣到多維，向量

之間定義運算

約定

表示由內部的分量構成一個向量，令：

定義多維的Hermit內積為：

上式用到Einstein求和約定，得到一個復數。

既然

是同構的，我們在實平面 上構造向量：

我們注意到，這兩個向量的內積就是以上Hermit內積的實部，而Hermit內積的虛部可以展開為：

其中

是分塊矩陣，由四個

維方陣構成。這個結構和前面一維情形提到的 非常相似：

于是

也是一個復結構。

Hermit內積的虛部，是以復結構

作為雙線性映射來構造的，稱為symplectic結構或辛結構。

作為實空間的產物，實內積就是數量乘法在多維的推廣，我們已經理解很深入了。更有趣的是外積的結構。目前，我們將其理解為平行四邊形的面積。然而，外積的交錯的形式，在數學上有非常深入的探討，它將帶領我們進入symplectic幾何也就是所謂辛幾何的領域。

在詳細討論辛幾何之前，我們還要了解更多關于對偶空間的知識，待我們深刻理解對偶空間上建立的最主要的代數結構——張量之后，我們將能夠繼續深入探討辛結構問題。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的欧氏空间内积定义_MP5：内积、外积、面积、Hermite内积、辛内积的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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