數據結構與算法

1 算法

算法：是指解題方案的準確而完整的描述。

算法不等于程序，也不等計算機方法，程序的編制不可能優于算法的設計。

算法的基本特征：是一組嚴謹地定義運算順序的規則，每一個規則都是有效的，是明確的，此順序將在有限的次數下終止。特征包括：

(1)可行性；

(2)確定性，算法中每一步驟都必須有明確定義，不充許有模棱兩可的解釋，不允許有多義性；

(3)有窮性，算法必須能在有限的時間內做完，即能在執行有限個步驟后終止，包括合理的執行時間的含義；

(4)擁有足夠的情報。

算法的基本要素：一是對數據對象的運算和操作；二是算法的控制結構。

指令系統：一個計算機系統能執行的所有指令的集合。

基本運算和操作包括：算術運算、邏輯運算、關系運算、數據傳輸。

算法的控制結構：順序結構、選擇結構、循環結構。

算法基本設計方法：列舉法、歸納法、遞推、遞歸、減斗遞推技術、回溯法。

算法復雜度：算法時間復雜度和算法空間復雜度。

算法時間復雜度是指執行算法所需要的計算工作量。

算法空間復雜度是指執行這個算法所需要的內存空間。

2 數據結構的基本基本概念

數據結構研究的三個方面：

(1)數據集合中各數據元素之間所固有的邏輯關系，即數據的邏輯結構；

(2)在對數據進行處理時，各數據元素在計算機中的存儲關系，即數據的存儲結構；

(3)對各種數據結構進行的運算。

數據結構是指相互有關聯的數據元素的集合。

數據的邏輯結構包含：

(1)表示數據元素的信息；

(2)表示各數據元素之間的前后件關系。

數據的存儲結構有順序、鏈接、索引等。

線性結構條件：

(1)有且只有一個根結點；

(2)每一個結點多有一個前件，也多有一個后件。

非線性結構：不滿足線性結構條件的數據結構。

3 線性表及其順序存儲結構

線性表由一組數據元素構成，數據元素的位置只取決于自己的序號，元素之間的相對位置是線性的。

在復雜線性表中，由若干項數據元素組成的數據元素稱為記錄，而由多個記錄構成的線性表又稱為文件。

非空線性表的結構特征：

(1)且只有一個根結點a1，它無前件；

(2)有且只有一個終端結點an，它無后件；

(3)除根結點與終端結點外，其他所有結點有且只有一個前件，也有且只有一個后件。結點個數n稱為線性表的長度，當n=0時，稱為空表。

線性表的順序存儲結構具有以下兩個基本特點：

(1)線性表中所有元素的所占的存儲空間是連續的；

(2)線性表中各數據元素在存儲空間中是按邏輯順序依次存放的。

ai的存儲地址為：adr(ai)=adr(a1)+(i-1)k,，adr(a1)為個元素的地址，k代表每個元素占的字節數。

順序表的運算：插入、刪除。

4 棧和隊列

棧是限定在一端進行插入與刪除的線性表，允許插入與刪除的一端稱為棧頂，不允許插入與刪除的另一端稱為棧底。

棧按照“先進后出”(filo)或“后進先出”(lifo)組織數據，棧具有記憶作用。用top表示棧頂位置，用bottom表示棧底。

棧的基本運算：(1)插入元素稱為入棧運算；(2)刪除元素稱為退棧運算；(3)讀棧頂元素是將棧頂元素賦給一個指定的變量，此時指針無變化。

隊列是指允許在一端(隊尾)進入插入，而在另一端(隊頭)進行刪除的線性表。rear指針指向隊尾，front指針指向隊頭。

隊列是“先進行出”(fifo)或“后進后出”(lilo)的線性表。

隊列運算包括(1)入隊運算：從隊尾插入一個元素；(2)退隊運算：從隊頭刪除一個元素。

循環隊列：s=0表示隊列空，s=1且front=rear表示隊列滿

5 線性鏈表

數據結構中的每一個結點對應于一個存儲單元，這種存儲單元稱為存儲結點，簡稱結點。

結點由兩部分組成：(1)用于存儲數據元素值，稱為數據域；(2)用于存放指針，稱為指針域，用于指向前一個或后一個結點。在鏈式存儲結構中，存儲數據結構的存儲空間可以不連續，各數據結點的存儲順序與數據元素之間的邏輯關系可以不一致，而數據元素之間的邏輯關系是由指針域來確定的。

鏈式存儲方式即可用于表示線性結構，也可用于表示非線性結構。

線性鏈表，head稱為頭指針，head=null(或0)稱為空表，如果是兩指針：左指針(llink)指向前件結點，右指針(rlink)指向后件結點。

線性鏈表的基本運算：查找、插入、刪除。

6 樹與二叉樹

樹是一種簡單的非線性結構，所有元素之間具有明顯的層次特性。

在樹結構中，每一個結點只有一個前件，稱為父結點，沒有前件的結點只有一個，稱為樹的根結點，簡稱樹的根。每一個結點可以有多個后件，稱為該結點的子結點。沒有后件的結點稱為葉子結點。

在樹結構中，一個結點所擁有的后件的個數稱為該結點的度，所有結點中的度稱為樹的度。樹的層次稱為樹的深度。

二叉樹的特點：(1)非空二叉樹只有一個根結點；(2)每一個結點多有兩棵子樹，且分別稱為該結點的左子樹與右子樹。

二叉樹的基本性質：

(1)在二叉樹的第k層上，多有2k-1(k≥1)個結點；

(2)深度為m的二叉樹多有2m-1個結點；

(3)度為0的結點(即葉子結點)總是比度為2的結點多一個；

(4)具有n個結點的二叉樹，其深度至少為[log2n]+1,其中[log2n]表示取log2n的整數部分；

(5)具有n個結點的完全二叉樹的深度為[log2n]+1；

(6)設完全二叉樹共有n個結點。如果從根結點開始，按層序(每一層從左到右)用自然數1，2，….n給結點進行編號(k=1,2….n)，有以下結論：

①若k=1，則該結點為根結點，它沒有父結點；若k>1，則該結點的父結點編號為int(k/2)；

②若2k≤n，則編號為k的結點的左子結點編號為2k；否則該結點無左子結點(也無右子結點)；

③若2k+1≤n，則編號為k的結點的右子結點編號為2k+1；否則該結點無右子結點。

滿二叉樹是指除后一層外，每一層上的所有結點有兩個子結點，則k層上有2k-1個結點深度為m的滿二叉樹有2m-1個結點。

完全二叉樹是指除后一層外，每一層上的結點數均達到值，在后一層上只缺少右邊的若干結點。

二叉樹存儲結構采用鏈式存儲結構，對于滿二叉樹與完全二叉樹可以按層序進行順序存儲。

二叉樹的遍歷：

(1)前序遍歷(dlr)，首先訪問根結點，然后遍歷左子樹，后遍歷右子樹；

(2)中序遍歷(ldr)，首先遍歷左子樹，然后訪問根結點，后遍歷右子樹；

(3)后序遍歷(lrd)首先遍歷左子樹，然后訪問遍歷右子樹，后訪問根結點。

7 查找技術

順序查找的使用情況：

(1)線性表為無序表；

(2)表采用鏈式存儲結構。

二分法查找只適用于順序存儲的有序表，對于長度為n的有序線性表，壞情況只需比較log2n次。

8 排序技術

排序是指將一個無序序列整理成按值非遞減順序排列的有序序列。

交換類排序法：(1)冒泡排序法，需要比較的次數為n(n-1)/2； (2)快速排序法。

插入類排序法：(1)簡單插入排序法，壞情況需要n(n-1)/2次比較；(2)希爾排序法，壞情況需要o(n1.5)次比較。

選擇類排序法：(1)簡單選擇排序法,

壞情況需要n(n-1)/2次比較；(2)堆排序法，壞情況需要o(nlog2n)次比較。

總結

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