—2019/6/13—

概念

在數(shù)學(xué)建模中使用最優(yōu)化方法時，我們常常會忽略對模型進(jìn)行靈敏度分析，若缺少這一個步驟，會使得模型的可靠度受到質(zhì)疑，那到底什么是靈敏度分析？

參考百度：靈敏度分析，是研究與分析一個系統(tǒng)（或模型）的狀態(tài)或輸出變化對系統(tǒng)參數(shù)或周圍條件變化的敏感程度的方法。

說人話，就是改變模型（公式）的某個參數(shù)，引起這個模型輸出的變化的程度。

舉例說明

一頭牛重200斤，每天增重5斤，飼料每天花費45元。牛的市場價是每斤65元，但目前行情不好，每天下降1元，求出這頭牛的最佳銷售時間。

這是一個很簡單的單變量優(yōu)化問題。求這頭牛的最佳銷售時間，就是求賣出價格最高的時間，為了求出這個時間，我們假設(shè)：

銷售時間

牛的重量

牛的價格

飼料花費

賣出牛的收益

凈收益

于是有，

，其中， ， ，即得到凈收益模型如下：

…………………………………(1)

容易得出當(dāng)

時， 取最大值13320元。

其實，大多數(shù)情況下，問題到這里就已劃上句號。但現(xiàn)實生活中，稍微細(xì)心一點，我們會發(fā)現(xiàn)，在上述模型的參數(shù)中，牛的重量，當(dāng)前市場價格、每天飼料錢3個參數(shù)都是很容易測量的，即確定性較大，但牛的生長率和市場價格的下降率2個參數(shù)則不是那么好確定，例子中雖然規(guī)定了市場價格下降率

，但實際中，每天的 都是不一樣的。于是我們會有一個疑惑——是不是對于所有的市場價格下降率，這個模型都適用？

為了消除疑惑，我們分別隨便選取原下降率（1元/天）周圍的幾個數(shù)

來進(jìn)行研究。

根據(jù)公式(1)，分別得出

，得下圖：

從圖中可以看出，牛最佳賣出時間

隨著市場價格下降率 的變化而變化，這時候我們稱：牛的賣出最佳時間 對市場價格下降率 是敏感的！

但是究竟有多敏感，就要進(jìn)行靈敏度分析（敲黑板！！！劃重點！！！）。

靈敏度分析，就是將市場價格下降率

作為未知參數(shù)，計算最佳賣出時間 和 關(guān)系。這時候，將例子中的“每天下降1元”改成“每天下降 元”，凈收益模型就變成：

對 求導(dǎo)，

令

的點為

………………………………………(2)

至此，我們已經(jīng)得到了一種靈敏性關(guān)系——

關(guān)系，繪制 關(guān)系圖如下：

公式(2)和上圖的意義在于——作為牛販子，我能確定一個

關(guān)系，確保我在不同下，都能確定最佳賣牛時間 。當(dāng) 時，最佳賣出時間就由公式(2)給出；當(dāng) 時， ，這會導(dǎo)致 是一個始終下降的曲線，這意味著，最佳賣牛時間為 ，也就是說，一旦市場價格下降率 ，需要當(dāng)天就把牛賣掉，這時候飼養(yǎng)牛已經(jīng)沒有任何經(jīng)濟價值了。

然而，在實際使用中，我們更多地是將這種靈敏性關(guān)系表示成相對改變量或百分比改變的形式。例如，

的10%的下降，導(dǎo)致了 的38%的增加。如果 的改變量為 ，則 的相對改變量為 ，百分比改變量為，如果 改變了 ，導(dǎo)致 有 的改變量，則相對改變量的比值為與 的比值，令 ，由導(dǎo)數(shù)定義，有

業(yè)內(nèi)，稱極限值

就是 對 的靈敏性，記為 。

靈敏性有啥用？

比如，在這個例子中，有

在點

和 ，

也就是說，在點

= ，若市場價格下降率 增加 1%，則最佳賣牛時間 下降3.5%。

結(jié)語

本文僅分析了市場價格下降率

和最佳賣牛時間 的靈敏性關(guān)系，但可能還存在其他的關(guān)系，比如牛的重量增長率和最佳賣牛時間 的關(guān)系等，靈敏性分析的成功需要分析者具有較好的判斷力，通常我們不需要對模型中的每個參數(shù)都進(jìn)行靈敏性分析，只需要選擇那些有較大不確定性的參數(shù)進(jìn)行靈敏性分析即可。

參考文獻(xiàn)

數(shù)學(xué)建模方法與分析（原書第4版）/（美）Meerschaert, M. M. 著；劉來福，黃海洋，楊淳譯.—北京：機械工業(yè)出版社, 2014.12：1-9.

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—2019/6/18—更新

上述主要是對以下2個問題進(jìn)行了說明：

一個模型為什么要進(jìn)行靈敏度分析？

如何進(jìn)行 靈敏度 分析 ？

這次更新目的是說明第3個問題：如何判斷靈敏度分析的效果？

先擺出結(jié)果：

如果你改變了系統(tǒng)參數(shù)后，引起這個模型（公式）輸出的變化的程度不大，則說明你的模型穩(wěn)定性較強（即靈敏性較差），反之則反！

用上述例子說明，

改變了1%， 僅下降3.5%，這個改變很小，這就可以說明模型較為穩(wěn)定；若 改變了1%， 下降了35%，那這個模型絕逼是不穩(wěn)定的！ 創(chuàng)作挑戰(zhàn)賽新人創(chuàng)作獎勵來咯，堅持創(chuàng)作打卡瓜分現(xiàn)金大獎

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的数学建模灵敏度分析_数学建模中的灵敏度分析，到底在分析什么？的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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