1.矩陣和向量線性變換

線性變換可看著是對空間的擠壓伸展。

也就是看成把向量中的值對矩陣列向量加權?,在對向量求和

?2.矩陣和矩陣的線性變換

可以將其中一個矩陣看成是多個列向量,在拆開對剩下矩陣執行1操作

3.三維變換

繞y軸旋轉后的旋轉向量

?即由

[[1,0,00,1,00,0,1]]

?變為

[[0,0,10,1,0-1,0,0]]

4.行列式

如何量化變換對空間的擠壓，拉伸？

如下,線性變換面積增加6倍。?

a表示對x軸拉伸，b表示對y拉伸?

?如下,線性變換面積不變。??

線性變換改變面積的比例就被稱為行列式

行列式為0,說明平面被拉伸到線甚至點。

行列式為負表示空間被翻轉，但是絕對值仍然表示面積比例

?

三張圖展示這個過程，假設j不動,i移動

??

?而行列式對于三維空間就是體積縮放，也就是平行六面體體積。

?

?而三維行列式為0,則成一個面或者線甚至點，就說明了線性相關。

5.線性方程組理解

A已經表示一種線性變換了，其是就是尋找向量x去，使得A變換后與v重合。

6.逆矩陣

其實就是逆向變換跟蹤v的動向回到x

但是如果行列式為0,不可能存在逆矩陣，也就是線段不可能解壓縮為平面。

7.秩與列空間

如果3維空間經過變換為二維平面說明此時矩陣秩為2,如果變為直線，說明矩陣秩為1.也就是秩代表變換后空間維數。

而列空間表示的是所有可能的變換結果的集合。秩也可以理解為列空間的維數。

也可以理解為矩陣的列張成的空間。

8.點積

9.叉積

對于二維向量叉積就是行列式值(面積)在加上右手定則得出方向

對于三維

10.基變換

?雖然都關注同一組向量，但選擇的基向量不一樣，導致向量值不一樣。

需要表示一組基向量到另一組基向量變化。?

例如：如下圖，在他的坐標系下的[-1, 2]T,對應到常用的坐標系就是[-4, 1]T,

也就是:

[[1, 0 [[-4 [0, 1]] 1]]

一種線性變換。?

求他的坐標系下[-1, 2]T逆時針轉換后的向量 ,其中

[[2, -1[1, 1]]

是基變換矩陣，目的是將他的坐標系下向量對齊到標準坐標系下，在左乘一個旋轉矩陣，在乘回基變換矩陣的逆就是他的坐標系下的向量的選擇逆時針旋轉90?度。

整理出來就是如下：A表示的是基變換矩陣，M表示的是對齊的坐標系下的變換矩陣。?

?

11.特征向量與特征值

?

?也就是當v為非零向量時，求解使得的行列式為0（對應上面就是平行六面體體積為0）,需要降維。

參考:從【官方雙語/合集】線性代數的本質 - 系列合集_嗶哩嗶哩_bilibili

總結

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