吳恩達《機器學(xué)習》學(xué)習筆記二——單變量線性回歸

• 一、 模型描述
• 二、 代價函數(shù)
• • 1.代價函數(shù)和目標函數(shù)的引出
  • 2.代價函數(shù)的理解（單變量）
  • 3.代價函數(shù)的理解（兩個參數(shù)）
• 三、 梯度下降——求解最優(yōu)參數(shù)
• • 1.梯度下降的步驟
  • 2.梯度下降的數(shù)學(xué)表達
• 四、 用梯度下降法求解的線性回歸

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第二次筆記主要針對機器學(xué)習第一個模型——線性回歸，首先給出模型的描述，理清楚各個變量都是什么含義；然后介紹代價函數(shù)以及目標函數(shù)，并詳細生動地解釋了參數(shù)優(yōu)化的過程，也就是梯度下降方法。

一、 模型描述

首先回顧一下筆記一的房價預(yù)測模型，這是監(jiān)督學(xué)習里回歸問題最經(jīng)典的例子，如下圖所示。后面就會依據(jù)這個問題來進行線性回歸模型的學(xué)習。

監(jiān)督學(xué)習有一個帶標注的數(shù)據(jù)集，為后面分析問題的方便，先定義一下幾個變量，如下圖所示。
圖中那個兩列的表格即為房價預(yù)測數(shù)據(jù)集。數(shù)據(jù)集樣本的數(shù)量用m表示，假如此處有47條數(shù)據(jù)樣本，則m=47；第一列是數(shù)據(jù)的面積屬性（輸入變量），用x來表示；第二列是價格（輸出變量），用y來表示。那么一個數(shù)據(jù)樣本就可以用（x，y）來表示，第i個樣本就可以用(x(i), y(i))來表示，需要注意的是，這里的上標不是指冪次，而是指代第i個樣本，如x(1) = 2104，x(2) = 1416。。。。。。

下面看一下房價預(yù)測這個問題的解決思路，如下圖所示。
簡單來說，就是將數(shù)據(jù)集送入學(xué)習算法進行訓(xùn)練，用訓(xùn)練好的模型對輸入x（房屋面積）進行預(yù)測，得到預(yù)測的輸出y（房價）。而這個被訓(xùn)練和用于預(yù)測的關(guān)鍵模型就被稱為假設(shè)函數(shù)。在訓(xùn)練階段需要利用數(shù)據(jù)集對假設(shè)函數(shù)的參數(shù)進行不斷更新，在預(yù)測階段假設(shè)函數(shù)就是做x到y(tǒng)的一個映射。

在房價預(yù)測這個問題中，我們選擇的模型形式是單變量一次線性函數(shù)形式：
也可以簡寫為h(x)。需要說明一下，房價預(yù)測的模型可以有很多種，除了這種一次線性模型以外，如二次、指數(shù)、對數(shù)等復(fù)雜模型都有可能適用這個問題。但是這里為了方便講解求解目標函數(shù)的過程，選擇了最簡單的單變量一次線性函數(shù)來作為假設(shè)函數(shù)，便于解釋原理。

二、 代價函數(shù)

1.代價函數(shù)和目標函數(shù)的引出

用數(shù)據(jù)集對假設(shè)函數(shù)進行訓(xùn)練的過程，其實就是求模型參數(shù)θ_0和θ_1的值的過程，不同的值表示不同的假設(shè)函數(shù)，取何值可以最擬合數(shù)據(jù)集是模型優(yōu)化的目標。

我們可以這樣理解，當假設(shè)函數(shù)與數(shù)據(jù)集最擬合的時候，就是所有數(shù)據(jù)樣本到假設(shè)函數(shù)的距離平均值最小的時候。那么反之，所有數(shù)據(jù)樣本到假設(shè)函數(shù)的距離平均值最小的時候，就是最擬合的時候，所以我們要求假設(shè)函數(shù)的參數(shù)，可以這樣定義：

其中，求和符號后的部分是各樣本點與假設(shè)函數(shù)的平方距離，求和之后取平均，然后求使得該表達式最小的θ_0,θ_1的值，即為最合適的假設(shè)函數(shù)。需要注意的是求平均時不是1/m，而是1/2m，主要是為了后續(xù)梯度下降法求最小值時求導(dǎo)方便，這點后面會提到。

在這里，令

并稱其為代價函數(shù)（也稱為平方誤差函數(shù)），則目標函數(shù)可以簡寫為

總結(jié)一下：

2.代價函數(shù)的理解（單變量）

首先為了簡化理解，我們假設(shè)θ_0為0，即只包含θ_1一個變量，如下圖所示。

下面我們來看一下假設(shè)函數(shù)h(x)與代價函數(shù)J(θ)之間的關(guān)系，三個數(shù)據(jù)樣本為（1，1）、（2，2）、（3，3）。

（1）θ_1=1，h(x)正好經(jīng)過三個數(shù)據(jù)樣本，代價函數(shù)計算下來為0。

（2）θ_1=0.5

（3）θ_1=0

以此類推，通過改變θ_1的值，可以繪制出代價函數(shù)J(θ)的曲線，如下圖。

可以觀察到，當θ_1=1時，代價函數(shù)最小，此時假設(shè)函數(shù)也是最擬合數(shù)據(jù)集的，所以利用最小化平方誤差函數(shù)（代價函數(shù)）來求假設(shè)函數(shù)的參數(shù)是正確的。但這是針對只有一個參數(shù)的情況，下面將對含有θ_0,θ_1兩個參數(shù)的情況進行理解。

3.代價函數(shù)的理解（兩個參數(shù)）

當考慮兩個參數(shù)時，代價函數(shù)已經(jīng)不能用二維坐標來繪制了，因為多了一個變量，所以可以用三維坐標繪制，如下圖所示，有了單個參數(shù)的經(jīng)驗，這個也不難理解，當改變θ_0,θ_1兩個參數(shù)的值時，代價函數(shù)J(θ_0,θ_1)也會隨之改變。

在課中，因為三維坐標不便演示變化的過程，故引入了等高線圖的概念，即將相同高度的J(θ_0,θ_1)畫成一個橢圓，在同一橢圓上的J(θ_0,θ_1)值都相同，不同橢圓上的J(θ_0,θ_1)值都不同，僅為方便演示。而所有橢圓的中心就是J(θ_0,θ_1)值最小的地方。

我們來看一些舉例：圖中紅色的×代表對應(yīng)的θ_0,θ_1取值及其相應(yīng)的J(θ_0,θ_1)，橢圓的中心為J(θ_0,θ_1)值最小的地方，兩者的距離就是差的多少。



綜上，選擇合適的參數(shù)，可以最好的擬合數(shù)據(jù)是問題的求解目標，而目前還停留在一組一組數(shù)據(jù)的嘗試，這顯然是不科學(xué)的，下面將介紹一種自動求解最優(yōu)參數(shù)解的方法——梯度下降。

三、 梯度下降——求解最優(yōu)參數(shù)

梯度下降是求解最優(yōu)參數(shù)很常用的一種方法，不僅可以使用在線性回歸中，后續(xù)很多模型的求解都可以使用。

1.梯度下降的步驟

其大致的思路如下所示，代價函數(shù)J(θ_0,θ_1)，目標是求其最小時的θ_0,θ_1參數(shù)值，首先給定θ_0,θ_1一組初始值（可以是任意的，比如都設(shè)為0），然后按照一定的規(guī)則去小小地改變θ_0,θ_1的值使得代價函數(shù)J(θ_0,θ_1)的值變小，直到其最小（很可能是局部最小，而不是全局最小），此時的θ_0,θ_1值就是待求的。顯然，其中的關(guān)鍵，就是按照什么規(guī)則去改變參數(shù)值。

下面用可視化圖來演示一下梯度下降的上述過程：
（1） 首先選擇一個初始點
（2） 然后每次朝下降最快的方向下降一小步，每次都獨立地尋找下降方向。

需要注意的是，因為初始位置選擇的不確定性，下降的路徑可能完全不一樣，如下圖所示，是從另一個初始位置開始下降，最終下降到了不同的最優(yōu)點。這兩個最優(yōu)點可能是全局最優(yōu)點，可能是局部最優(yōu)點，無法保證一定是全局最優(yōu)。

2.梯度下降的數(shù)學(xué)表達

上面提到，梯度下降方法最關(guān)鍵的是按照什么規(guī)則改變參數(shù)值，也就是可視化圖中朝著哪個方向下降一小步，它的數(shù)學(xué)表達式如下所示。

（1）:=是賦值的意思，將計算后的值賦給θ_j。當不止一個參數(shù)需要更新的時候，注意要使用同步更新的方法，就是將每個參數(shù)的新值用舊值計算好后，一次性全部賦值，而錯誤的做法是，計算更新了一個參數(shù)，然后用更新的值去計算更新別的參數(shù)，這樣就沒有做到同步更新。
（2）表達式中的α稱為學(xué)習率，它決定了參數(shù)更新的大小，它越大，每次更新的變化就越大，反之則越小。如果學(xué)習率太小，可能導(dǎo)致梯度下降收斂速度很慢；如果學(xué)習率太大，可能導(dǎo)致無法收斂甚至是發(fā)散，如下圖所示。

（3）偏導(dǎo)數(shù)項我們用單變量函數(shù)J(θ)來說明一下原理。
若J(θ)是一個如下圖所示的函數(shù)，在紅色點位置，J(θ)的導(dǎo)數(shù)為正數(shù)，θ將減去一個正數(shù)，即減小，從圖中可見，θ減小正是朝著使得J(θ)減小的方向變化。

再考慮如下紅色點位置，J(θ)的導(dǎo)數(shù)為負數(shù)，θ將減去一個負數(shù)，即增大，從圖中可見，θ增大正是朝著使得J(θ)減小的方向變化。

推廣到多參數(shù)的情況，雖然不方便可視化，但原理是一樣的，減去這個偏導(dǎo)數(shù)項，就是朝著使得J(θ)減小的方向變化。

如果已經(jīng)下降到局部最優(yōu)點，那么導(dǎo)數(shù)將等于0，參數(shù)將不再更新。

四、 用梯度下降法求解的線性回歸

主要就是將梯度下降法中的代價函數(shù)具體為線性回歸的表達式。

對

求偏導(dǎo)。

所以梯度下降表達式可表示為如下

下面用可視化圖來演示參數(shù)變化的過程，先給出初始位置。






補充：梯度下降有時也稱為Batch梯度下降，就是參數(shù)每次更新都用到了整個數(shù)據(jù)集的數(shù)據(jù)樣本。相應(yīng)的還有隨機梯度下降，每次更新只用隨機一個數(shù)據(jù)樣本，mini-batch梯度下降，每次使用一部分數(shù)據(jù)樣本進行更新。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的吴恩达《机器学习》学习笔记二——单变量线性回归的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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