prime算法

普里姆(Prim)算法，是用來求加權連通圖的最小生成樹的算法。

基本思想
對于圖G而言，V是所有頂點的集合；現在，設置兩個新的集合U和T，其中U用于存放G的最小生成樹中的頂點，T存放G的最小生成樹中的邊。 從所有u?U，v?(V-U) (V-U表示出去U的所有頂點)的邊中選取權值最小的邊(u, v)，將頂點v加入集合U中，將邊(u, v)加入集合T中，如此不斷重復，直到U=V為止，最小生成樹構造完畢，這時集合T中包含了最小生成樹中的所有邊。

鄰接矩陣實現

基本定義

class MatrixUDG {#define MAX 100#define INF (~(0x1<<31)) // 無窮大(即0X7FFFFFFF)private:char mVexs[MAX]; // 頂點集合int mVexNum; // 頂點數int mEdgNum; // 邊數int mMatrix[MAX][MAX]; // 鄰接矩陣public:// 創建圖(自己輸入數據)MatrixUDG();// 創建圖(用已提供的矩陣)//MatrixUDG(char vexs[], int vlen, char edges[][2], int elen);MatrixUDG(char vexs[], int vlen, int matrix[][9]);~MatrixUDG();// 深度優先搜索遍歷圖void DFS();// 廣度優先搜索（類似于樹的層次遍歷）void BFS();// prim最小生成樹(從start開始生成最小生成樹)void prim(int start);// 打印矩陣隊列圖void print();private:// 讀取一個輸入字符char readChar();// 返回ch在mMatrix矩陣中的位置int getPosition(char ch);// 返回頂點v的第一個鄰接頂點的索引，失敗則返回-1int firstVertex(int v);// 返回頂點v相對于w的下一個鄰接頂點的索引，失敗則返回-1int nextVertex(int v, int w);// 深度優先搜索遍歷圖的遞歸實現void DFS(int i, int *visited);};

MatrixUDG是鄰接矩陣對應的結構體。
mVexs用于保存頂點，mVexNum是頂點數，mEdgNum是邊數；mMatrix則是用于保存矩陣信息的二維數組。例如，mMatrix[i][j]=1，則表示”頂點i(即mVexs[i])”和”頂點j(即mVexs[j])”是鄰接點；mMatrix[i][j]=0，則表示它們不是鄰接點。

prime算法

/** prim最小生成樹** 參數說明：* start -- 從圖中的第start個元素開始，生成最小樹*/ void MatrixUDG::prim(int start) {int min,i,j,k,m,n,sum;int index=0; // prim最小樹的索引，即prims數組的索引char prims[MAX]; // prim最小樹的結果數組int weights[MAX]; // 頂點間邊的權值// prim最小生成樹中第一個數是"圖中第start個頂點"，因為是從start開始的。prims[index++] = mVexs[start];// 初始化"頂點的權值數組"，// 將每個頂點的權值初始化為"第start個頂點"到"該頂點"的權值。for (i = 0; i < mVexNum; i++ )weights[i] = mMatrix[start][i];// 將第start個頂點的權值初始化為0。// 可以理解為"第start個頂點到它自身的距離為0"。weights[start] = 0;for (i = 0; i < mVexNum; i++){// 由于從start開始的，因此不需要再對第start個頂點進行處理。if(start == i)continue;j = 0;k = 0;min = INF;// 在未被加入到最小生成樹的頂點中，找出權值最小的頂點。while (j < mVexNum){// 若weights[j]=0，意味著"第j個節點已經被排序過"(或者說已經加入了最小生成樹中)。if (weights[j] != 0 && weights[j] < min){min = weights[j];k = j;}j++;}// 經過上面的處理后，在未被加入到最小生成樹的頂點中，權值最小的頂點是第k個頂點。// 將第k個頂點加入到最小生成樹的結果數組中prims[index++] = mVexs[k];// 將"第k個頂點的權值"標記為0，意味著第k個頂點已經排序過了(或者說已經加入了最小樹結果中)。weights[k] = 0;// 當第k個頂點被加入到最小生成樹的結果數組中之后，更新其它頂點的權值。for (j = 0 ; j < mVexNum; j++){// 當第j個節點沒有被處理，并且需要更新時才被更新。if (weights[j] != 0 && mMatrix[k][j] < weights[j])weights[j] = mMatrix[k][j];}}// 計算最小生成樹的權值sum = 0;for (i = 1; i < index; i++){min = INF;// 獲取prims[i]在mMatrix中的位置n = getPosition(prims[i]);// 在vexs[0...i]中，找出到j的權值最小的頂點。for (j = 0; j < i; j++){m = getPosition(prims[j]);if (mMatrix[m][n]<min)min = mMatrix[m][n];}sum += min;}// 打印最小生成樹cout << "PRIM(" << mVexs[start] << ")=" << sum << ": ";for (i = 0; i < index; i++)cout << prims[i] << " ";cout << endl; }

kruskal算法

克魯斯卡爾(Kruskal)算法，是用來求加權連通圖的最小生成樹的算法。

基本思想：按照權值從小到大的順序選擇n-1條邊，并保證這n-1條邊不構成回路。
具體做法：首先構造一個只含n個頂點的森林，然后依權值從小到大從連通網中選擇邊加入到森林中，并使森林中不產生回路，直至森林變成一棵樹為止。

克魯斯卡爾算法分析

根據前面介紹的克魯斯卡爾算法的基本思想和做法，我們能夠了解到，克魯斯卡爾算法重點需要解決的以下兩個問題：
問題一 對圖的所有邊按照權值大小進行排序。
問題二 將邊添加到最小生成樹中時，怎么樣判斷是否形成了回路。

問題一很好解決，采用排序算法進行排序即可。

問題二，處理方式是：記錄頂點在”最小生成樹”中的終點，頂點的終點是”在最小生成樹中與它連通的最大頂點”(關于這一點，后面會通過圖片給出說明) 。然后每次需要將一條邊添加到最小生存樹時，判斷該邊的兩個頂點的終點是否重合，重合的話則會構成回路。 以下圖來進行說明：

在將

// 邊的結構體 class EData {public:char start; // 邊的起點char end; // 邊的終點int weight; // 邊的權重public:EData(){}EData(char s, char e, int w):start(s),end(e),weight(w){} };

EData是鄰接矩陣邊對應的結構體。

class MatrixUDG {#define MAX 100#define INF (~(0x1<<31)) // 無窮大(即0X7FFFFFFF)private:char mVexs[MAX]; // 頂點集合int mVexNum; // 頂點數int mEdgNum; // 邊數int mMatrix[MAX][MAX]; // 鄰接矩陣public:// 創建圖(自己輸入數據)MatrixUDG();// 創建圖(用已提供的矩陣)//MatrixUDG(char vexs[], int vlen, char edges[][2], int elen);MatrixUDG(char vexs[], int vlen, int matrix[][9]);~MatrixUDG();// 深度優先搜索遍歷圖void DFS();// 廣度優先搜索（類似于樹的層次遍歷）void BFS();// prim最小生成樹(從start開始生成最小生成樹)void prim(int start);// 克魯斯卡爾（Kruskal)最小生成樹void kruskal();// 打印矩陣隊列圖void print();private:// 讀取一個輸入字符char readChar();// 返回ch在mMatrix矩陣中的位置int getPosition(char ch);// 返回頂點v的第一個鄰接頂點的索引，失敗則返回-1int firstVertex(int v);// 返回頂點v相對于w的下一個鄰接頂點的索引，失敗則返回-1int nextVertex(int v, int w);// 深度優先搜索遍歷圖的遞歸實現void DFS(int i, int *visited);// 獲取圖中的邊EData* getEdges();// 對邊按照權值大小進行排序(由小到大)void sortEdges(EData* edges, int elen);// 獲取i的終點int getEnd(int vends[], int i); };

MatrixUDG是鄰接矩陣對應的結構體。
mVexs用于保存頂點，mVexNum是頂點數，mEdgNum是邊數；mMatrix則是用于保存矩陣信息的二維數組。例如，mMatrix[i][j]=1，則表示”頂點i(即mVexs[i])”和”頂點j(即mVexs[j])”是鄰接點；mMatrix[i][j]=0，則表示它們不是鄰接點。

/** 克魯斯卡爾（Kruskal)最小生成樹*/ void MatrixUDG::kruskal() {int i,m,n,p1,p2;int length;int index = 0; // rets數組的索引int vends[MAX]={0}; // 用于保存"已有最小生成樹"中每個頂點在該最小樹中的終點。EData rets[MAX]; // 結果數組，保存kruskal最小生成樹的邊EData *edges; // 圖對應的所有邊// 獲取"圖中所有的邊"edges = getEdges();// 將邊按照"權"的大小進行排序(從小到大)sortEdges(edges, mEdgNum);for (i=0; i<mEdgNum; i++){p1 = getPosition(edges[i].start); // 獲取第i條邊的"起點"的序號p2 = getPosition(edges[i].end); // 獲取第i條邊的"終點"的序號m = getEnd(vends, p1); // 獲取p1在"已有的最小生成樹"中的終點n = getEnd(vends, p2); // 獲取p2在"已有的最小生成樹"中的終點// 如果m!=n，意味著"邊i"與"已經添加到最小生成樹中的頂點"沒有形成環路if (m != n){vends[m] = n; // 設置m在"已有的最小生成樹"中的終點為nrets[index++] = edges[i]; // 保存結果}}delete[] edges;// 統計并打印"kruskal最小生成樹"的信息length = 0;for (i = 0; i < index; i++)length += rets[i].weight;cout << "Kruskal=" << length << ": ";for (i = 0; i < index; i++)cout << "(" << rets[i].start << "," << rets[i].end << ") ";cout << endl; }

References
Prim算法(二)之 C++詳解 - 如果天空不死 - 博客園

Kruskal算法(二)之 C++詳解 - 如果天空不死 - 博客園

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的数据结构之最小生成树的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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