一開始 的 時候，? 以為 泰勒級數 是? ?f ( x )? 和 n 階導數 之間 的 關系，? 或者? f ( x ) 的? ?1 階導數 和? 2 階 、3 階 …… n 階導數 之間 的 關系? ，? ?作了 一些 這樣 的 推導? ：

f ′ ( x )? ?=? ?[? f ( x + ⊿ x ) - f ( x )? ]? /?⊿ x? ? ?,? ? ⊿ x -> 0

f ′ ′?( x )

=???[? f?′ ( x + ⊿ x ) - f ′ ( x )? ]? /?⊿ x

=? ?{??[? f ( x + 2 ⊿ x ) - f ( x +?⊿ x )? ]? /?⊿ x? -? ?[? f ( x + ⊿ x ) - f ( x )? ]? /?⊿ x? ?}? /?⊿ x

=??? {? [? f ( x + 2 ⊿ x ) - f ( x +?⊿ x?)? ?-? ??f ( x + ⊿ x )? +? f ( x )? ]? ?/?⊿ x? ?}??/?⊿ x

=?? ?{? [? f ( x + 2 ⊿ x ) -? ?2? f ( x +?⊿ x?)? +? f ( x ) ]? /?⊿ x? ?}??/?⊿ x

=? ? [? f ( x + 2 ⊿ x ) -? ?2? f ( x +?⊿ x?)? +? f ( x )? ]? / (⊿ x ) 2

f ﹙3﹚( x )

=???[? f?′?′ ( x + ⊿ x ) - f ′ ′ ( x )? ]? /?⊿ x

=? ?{? [? f ( x + 3 ⊿ x ) -? ?2? f ( x + 2 ⊿ x?)? +? f ( x +?⊿ x )? ]? /?(⊿ x ) 2 ?-? ?[? f ( x + 2 ⊿ x ) -? ?2? f ( x +?⊿ x?)? +? f ( x )? ] ?/?(⊿ x ) 2 ? }? /?⊿ x

=??? {? [? f ( x + 3 ⊿ x ) - 2? f ( x + 2 ⊿ x?)? ?+? ? f ( x + ⊿ x )? ?-? ?f ( x + 2 ⊿ x )? ?+? 2? f ( x +?⊿ x?)? -? f ( x )???]? /?(⊿ x ) 2 ? }??/?⊿ x

=?? ?{? [? f ( x + 3 ⊿ x ) -? ?3? f ( x + 2 ⊿ x?)? ?+? 3?f ( x + ⊿ x )? -? f ( x ) ] /?(⊿ x ) 2 ?}??/?⊿ x

=? ? [? ?f ( x + 3 ⊿ x ) -? ?3? f ( x + 2 ⊿ x?)? ?+? 3?f ( x + ⊿ x )? -? f ( x )? ]? / (⊿ x ) 3

f ﹙?﹚( x )

=???[? f?﹙3﹚ ( x + ⊿ x ) - f?﹙3﹚ ( x )? ]? /?⊿ x

=? ?{? [? f ( x + 4 ⊿ x ) -? ?3? f ( x + 3 ⊿ x?)? ?+? 3?f ( x + 2 ⊿ x )? -? f ( x +?⊿ x )?? ]? /?(⊿ x ) 3 ?-? ?[? f ( x + 3 ⊿ x ) -? ?3? f ( x + 2 ⊿ x?)? ?+? 3?f ( x + ⊿ x )? -? f ( x )??] ?/?(⊿ x ) 3 ? }? /?⊿ x

=??? {? [? f ( x + 4 ⊿ x ) -? ?3? f ( x + 3 ⊿ x?)? ?+? 3?f ( x + 2 ⊿ x )? -? f ( x +?⊿ x?)?? ?-? ?f ( x + 3 ⊿ x )? +? ?3? f ( x + 2 ⊿ x?)? ?-? 3?f ( x + ⊿ x )? +? f ( x ) ?]? /?(⊿ x ) 3 ? }??/?⊿ x

=?? ?{? [? f ( x + 4 ⊿ x )? -? ?4?f ( x + 3 ⊿ x )? +? 6? f ( x + 2 ⊿ x?)? ?-? 4 f ( x + ⊿ x )? +? f ( x ) ] /?(⊿ x ) 3 ? }??/?⊿ x

=? ? [? ??f ( x + 4 ⊿ x )? -? ?4?f ( x + 3 ⊿ x )? +? 6? f ( x + 2 ⊿ x?)? ?-? 4 f ( x + ⊿ x )? +? f ( x )? ?]? / (⊿ x ) ?

f ′ ( x ) ,? ?f ′ ′?( x )? ,???f ﹙3﹚( x )? ?,? ?f ﹙?﹚( x )? ?……? f ﹙n﹚( x )???? 是? f ( x ) 的 1 階導數，? 2?階導數，? 3?階導數，? 4?階導數? ……? n?階導數? 。

依此類推，? 可得

f ﹙?﹚( x )? ?=? ?……

f ﹙?﹚( x )? ?=? ?……

f ﹙?﹚( x )? ?=? ?……

……

f ﹙n﹚( x )? ?=? ?……

由上，

f ′ ( x )? ?=? ?[? f ( x + ⊿ x ) - f ( x )? ]? /?⊿ x? ? ?,? ? ⊿ x -> 0? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?(1) 式

f ′ ′?( x )? ?=? ? ??[? f ( x + 2 ⊿ x ) -? ?2? f ( x +?⊿ x?)? +? f ( x )? ]? / (⊿ x ) 2? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?(2) 式

f ﹙3﹚( x )? ?=? ??? [? ?f ( x + 3 ⊿ x ) -? ?3? f ( x + 2 ⊿ x?)? ?+? 3?f ( x + ⊿ x )? -? f ( x )? ]? / (⊿ x ) 3? ? ? (3) 式

f ﹙?﹚( x )? ?=? ???[? ??f ( x + 4 ⊿ x )? -? ?4?f ( x + 3 ⊿ x )? +? 6? f ( x + 2 ⊿ x?)? ?-? 4 f ( x + ⊿ x )? +? f ( x )? ?]? / (⊿ x ) ?? ? ? ? ?(4) 式

……

f ﹙n﹚( x )? ?=? ?……

怎么 感覺 好像 楊輝三角? ?……

根據 (1) 式，? 可得 ：

f ( x + ⊿ x )? =???f ′ ( x ) * ⊿ x? +??f ( x )? ? ? ?(5) 式

根據 (2) 式，? 可得 ：

f ( x + 2 ⊿ x )? =? ??f ′ ′?( x )? (⊿ x ) 2? +? 2? f ( x +?⊿ x?)? -? f ( x )

將? ?(5) 式 代入? ?，

f ( x + 2 ⊿ x )? =? ??f ′ ′?( x )? (⊿ x ) 2? +? 2 [ ?f ′ ( x ) * ⊿ x? +??f ( x )? ]? -? f ( x )

=? ??f ′ ′?( x )? (⊿ x ) 2? +? 2? f ′ ( x ) * ⊿ x? +??f ( x )? ? ? ? ? ? ?(6) 式

根據 (3) 式，? 同理可得 ：

f ( x + 3 ⊿ x )?? ?=? ?f ﹙3﹚( x ) *? ?(⊿ x ) 3??? +? 3? f ( x + 2 ⊿ x?)? ?-? 3?f ( x + ⊿ x )? +? f ( x )

將? (5) 式 (6) 式 代入 ，

f ( x + 3 ⊿ x )

=? ?f ﹙3﹚( x ) *???(⊿ x ) 3??+? ?3? [ ??f ′ ′?( x )? (⊿ x ) 2? +? 2? f ′ ( x ) * ⊿ x? +??f ( x )? ]? -? 3?[ ?f ′ ( x ) * ⊿ x? +??f ( x )??]? +? f ( x )

=? ??f ﹙3﹚( x ) *???(⊿ x ) 3??+? ? 3? f ′ ′?( x )? (⊿ x ) 2? +? ?6? f ′ ( x ) * ⊿ x? +? ?3 f ( x )? ?-? 3? f ′ ( x ) * ⊿ x? -? 3? f ( x )? ?+? f ( x )

=? ??f ﹙3﹚( x ) *???(⊿ x ) 3??+? ??3? f ′ ′?( x )? (⊿ x ) 2? +???3? f ′ ( x ) * ⊿ x? +? f ( x )? ? ? ? ? ? ? (7) 式

根據 (4) 式? ，

f ( x + 4 ⊿ x )? ?=? ?f ﹙?﹚( x )? *? (⊿ x )?? ? ?+? 4 f ( x + 3 ⊿ x )? -? 6? f ( x + 2 ⊿ x )? ?+? 4 f ( x + ⊿ x )? -? f ( x )

將? (5) 式 (6) 式 (7) 式 代入 ，

f ( x + 4 ⊿ x )

=? ?f ﹙?﹚( x )? *? (⊿ x )?? ? ?+? 4 [? ?f ﹙3﹚( x ) *? ?(⊿ x ) 3? +? ? 3? f ′ ′ ( x )? (⊿ x ) 2? +? ?3? f ′ ( x ) * ⊿ x? +? f ( x )? ]? -? 6? [? ?f ′ ′ ( x )? (⊿ x )?2 ?+? 2? f ′ ( x ) * ⊿ x? +? f ( x )? ]? ?+? 4 [? f ′ ( x ) * ⊿ x? +? f ( x )? ]? -? f ( x )

=?? f ﹙?﹚( x )? *? (⊿ x )??? ? ?+? 4? f ﹙3﹚( x ) *? ?(⊿ x )?3 ?+? ? 12? f ′ ′ ( x )? (⊿ x )?2 ?+? ?12? f ′ ( x ) * ⊿ x? +? 4 f ( x )? -? 6? ?f ′ ′ ( x )? (⊿ x )?2 ? -? ?12? f ′ ( x ) * ⊿ x? -? 6? f ( x )? ?+? 4? f ′ ( x ) * ⊿ x? +? ?4? f ( x )? ?-? f ( x )

=? ? f ﹙?﹚( x )? *? (⊿ x )?? ? ?+? ?4? f ﹙3﹚( x ) *? ?(⊿ x )?3 ?+? ?6? ?f ′ ′ ( x )? (⊿ x )?2 ? +? ? 4? f ′ ( x ) * ⊿ x? ?+? ?f ( x )? ? ? ? ? ? ?(8) 式

整理一下 ，

f ( x + ⊿ x )? =???f ′ ( x ) * ⊿ x? +??f ( x )? ? ? ?(5) 式

f ( x + 2 ⊿ x )? =? ??f ′ ′?( x )? (⊿ x ) 2? +? 2? f ′ ( x ) * ⊿ x? +??f ( x )? ? ? ? ? ? ?(6) 式

f ( x + 3 ⊿ x )? ? =? ??f ﹙3﹚( x ) *???(⊿ x ) 3??+? ??3? f ′ ′?( x )? (⊿ x ) 2? +???3? f ′ ( x ) * ⊿ x? +? f ( x )? ? ? ? ? ? ? (7) 式

f ( x + 4 ⊿ x )? ? =? ? f ﹙?﹚( x )? *? (⊿ x )?? ? ?+? ?4? f ﹙3﹚( x ) *? ?(⊿ x )?3 ?+? ?6? ?f ′ ′ ( x )? (⊿ x )?2 ? +? ? 4? f ′ ( x ) * ⊿ x? ?+? ?f ( x )? ? ? ? ? ? ?(8) 式

(1) ( 2) (3) (4) 式? ?的 系數 滿足 楊輝三角，? ? ?(5)?( 6)?(7)?(8) 式? ?的 系數 也 滿足 楊輝三角，? ?將? ?(1)?( 2)?(3)?(4) 式? ?稱為 1 組，? ???(5)?( 6)?(7)?(8) 式? 稱為 (2) 組，

1 組 可以繼續 推導???f ﹙?﹚( x )? ,? ? f ﹙?﹚( x )??,? ? f ﹙?﹚( x )?? ?……? f ﹙n﹚( x )? ? ?，? ? 可以知道，???f ﹙?﹚( x )? ,??? f ﹙?﹚( x )??,??? f ﹙?﹚( x )?? ?……? f ﹙n﹚( x )? ?的 系數 仍然 滿足 楊輝三角，

2 組 可以繼續 推導? ?f ( x + 5 ⊿ x )?? ,? ? f ( x + 6 ⊿ x )??? ,? ? f ( x + 7 ⊿ x )??? ?……? f ( x + n ⊿ x )??? ? ，? ? 大概? 可以知道，? ??f ( x + 5 ⊿ x )?? ,? ? f ( x + 6 ⊿ x )??? ,? ??f ( x + 7 ⊿ x )??? ?……??f ( x + n ⊿ x )? ?的 系數 仍然 滿足 楊輝三角，

區別 是? 2 組 的 系數 都是 正號，? 沒有 負號? 。

2 組? 由? 1 組? 移項 代入 而成，? ? 所以， 這個 現象 可以稱為 “楊輝三角 反轉定理”，? 或? “楊輝三角 逆轉代入定理”? ? 。

等 ……? 我們 的 任務 是 推導 泰勒級數，? ?接下來 要 怎么辦 ？? ? 把? ? (1) ( 2) (3) (4) …… 式? 像 接龍 一樣 的 接起來 ？? ?還是 把??(5)?( 6)?(7)?(8) ……? 式? 像 接龍 一樣 的 接起來? ?？

也可以 把? 式子? 再 變換一下? 再 接 起來，? ? ?總之 ，? ? 這里 可以有 一些 玩法? ?。

我原來 想過 用 等比數列 求和 公式? ?把? ? k1 *?⊿ x? +? ?k2? *??(⊿ x )?2? +? ?k3 * (⊿ x )?3? +? k4??* (⊿ x )??? ?+? ? ……? ? ?歸納起來 ，? 但? k1, k2, k3, k4? ……? ?不是 等比 的 。

把 每個 式子 歸納 以后? 再 接龍 起來? 會 怎么樣 ？? ? 如果 可以 做到的話? 。

2 組 中???f ( x + n ⊿ x )? ?=? ? ? ?……? ? ? ，? ? ?當? n -> 無窮? ?時，? ? ?n ⊿ x? ?會否 成為 一個 宏觀 的?⊿ x? ?？

宏觀 的?⊿ x? 記為??⊿ X? ?，

如果? ?n ⊿ x? ?是 宏觀 的?⊿ x??，? ? ? 即? ?如果? ? n ⊿ x? ?=? ?⊿ X? ? ?，

那么? ? ?f ( x +?⊿ X?)??=? ?f ( x + n ⊿ x )? ?=? ? ?……

就是 說 可能 計算出?? ? f ( x +?⊿ X?)? ? ，? ? ? 根據? ? f ( x )? ? 和? ?f ′ ( x ) ,? ?f ′′ ( x ) ,? ?f ﹙3﹚ ( x ) ,? ?f ﹙?﹚( x )? ?……? ?f ﹙n﹚( x )? ? ?計算 出? ??f ( x +?⊿ X?)? ? ，? ? ?這好像 有點 泰勒級數 的? 樣子? 了? ，? ?或者說，? 有點? “根據 f ( x ) 上 的 一個 定點 和 n 階導數? 計算出 任意一個 x 的? f ( x )”? ? ?的 樣子 了? 。

但，? 不行? 。

因為??n ⊿ x? 不是 宏觀 的?⊿ x，? ??n ⊿ x? ?!=? ?⊿ X? ?，

因為 上面 是 導數 推導，? ? 所以??(1) ( 2) (3) (4) …… 式 ，? ?? (5)?( 6)?(7)?(8) ……? 式? ?成立 的 條件 是?⊿ x -> 0 ,? 2 ⊿ x -> 0 ,? 3 ⊿ x -> 0 ,? 4 ⊿ x -> 0? ……? n?⊿ x -> 0? ，

當? n -> 無窮 時，? ?仍然? ?n?⊿ x -> 0，? ? 可以認為，? ?n -> 無窮 時，? ??n?⊿ x 里 的??⊿ x? 是?n?⊿ x? 的 高階無窮小? ?。

也可以 寫成? ? ?n ⊿ x? ?!=? ?⊿ X? ?，? ? ? n 2?⊿ x? ?=? ?⊿ X? ? ? 。

又 或者 通過 接龍 得到? ?f ( x + ⊿ x)? -? f ( x )? =? ? ……? ? ，

因為? ? ?⊿ f ( x ) =?? ?f ( x + ⊿ x)? -? f ( x )? =? ? ……? ? ?，

所以? ? ?f ( x )? =? ??? ⊿ f ( x )? =? ???? ?[? f ( x + ⊿ x)? -? f ( x )? ]? ?=? ?????? ……? ? ?，

就是說，? ?如果 可以得到????⊿ f ( x )? 的 一個 級數表達式 ，? ? ?f ( x )? =? ??? ⊿ f ( x )? ，?? 對? 這個 級數表達式 積分 就可以得到???f ( x ) ，? 幸運的話，? ? 積分??? ?可以 消掉? 級數表達式? 里 的 微分??⊿ x? ?，? ? ?這樣，? ? 級數表達式? 里 只剩下 代數式 的 成分，? ? ? 這樣，? ?就得到 一個 代數式 表達 的 級數 了? ?。

總之 ，? ? 這里 可以有 一些 玩法? ?。? ? ?這樣 能不能? 推導出? 泰勒級數 ，? 或者 一個 用? ?f ( x )? 的? n 階導數 表示? f ( x )? ?的 級數 ？

我作了一些 嘗試，? 沒有成功? 。? 但 說不定 也許能成功 呢? 。

總之，? ? ?直接 去 尋找? ?f ( x ) 和 n 階導數 之間 的 關系 似乎 行不通? ?。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的java测试一个泰勒级数_自己 推导一个 泰勒级数的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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