RSA算法

• RSA
• 一、數學原理
• 二、實現代碼
• • 1 生成素數
  • 2 生成秘鑰
  • 3 對數據進行加密、解密
• 總結

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RSA

RSA是一種非對稱加密體制，由公鑰和私鑰組成，數學原理是實數域的模余法。在使用私鑰對數據進行加密后，可用公鑰對數據進行解密。
在RSA算法中，設公鑰為（D, N），私鑰為（E, N），加密過程可以表示為$$明{文}^{E}modN=密文$$
解密算法一致，把E換成Ｄ，$$密{文}^{Ｄ}modN=明文$$
當然，能這樣計算對N、E、D是有要求的。

RSA是目前公認的安全算法，對它進行破解需要進行大數的質數分解，目前除了窮舉法沒有發現其他方法能計算，而窮舉法在足夠大的大數面前計算是需要非常漫長的時間的，因此當RSA算法采用的N、E、D足夠大時，就認為是安全的。目前來說需要N達到1024bits。

一、數學原理

歐拉函數的性質：
若$n=qp，p和q是兩個質數,則\phi (n)=(q?1)(p?1)$

歐拉定理：若a與n互質，即$gcd(a,n)=1,則a^{\phi (n)}\equiv 1\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}n$
進一步，若n是質數，$a^{n?1}\equiv 1\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}n$，$a^n\equiv a\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}n$

費馬小定理：若n是質數，a與n互質，，則$a^{n?1}\equiv 1\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}n$，

逆元：如果$ab\equiv 1\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}n,則a和b互為逆元$

RSA加密的條件：
· $n=p\times q$
· $L=\phi (n)=(p?1)(q?1)$
· 隨機選取 $1<e<L，使得gcd(e,L)=1$
·計算 $ed\equiv 1\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}L$
·公鑰對 =（n, d），私鑰對 =（n, e）

繼續設明文 = M，密文 = C，現在來證明可以用上述方法加解密的條件。
$$M^{E}modN=C,C^D\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}N=M$$
根據模法，$C^D?kN=M$，代回第一個式子，
$$(C^D?kN{)}^E\equiv 1\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}N$$ $$C^{DE}\equiv C\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}N$$由于 $E\times D\equiv 1\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}\phi (N)$，也即 $ED?k\phi (N)=1$
若gcd(C, N) = 1，根據歐拉定理，$$C^{\phi (N)}\equiv 1\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}N$$$$C^{k\phi (N)+1}\equiv C\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}N$$$$C^{ED}\equiv C\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}N$$若C與N不互質，由于N是兩個質數的積，所以gcd(C,N)=q or gcd(C,N)=p。設 $C=k_{1}qorC=k_{2}p$，假設C = kp，而且gcd(m,q)=1，由歐拉定理和歐拉函數的性質，$$(kp{)}^{q?1}\equiv 1\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}q$$$$((kp{)}^{q?1}{)}^{k_2(p?1)}\equiv (kp{)}^{q?1}\equiv 1\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}q$$$$(kp{)}^{k_2\phi (n)}\equiv 1\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}q$$$$C^{k_2\phi (n)}?aq=1$$兩邊同時乘上C,$$C^{k_2\phi (n)+1}=aCq+C=akpq+C=akN+C=k_{3}N+C$$也即 $C^{ED}\equiv C\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}N$，原式得證。

素數檢驗（Miller-Rabbin算法）
涉及到兩個定理：
5.1 費馬小定理：參見3，但是費馬小定理的逆定理不一定成立
5.2 二次探測定理：如果 p是一個素數，$0<x<p$，則方程 $x^2\equiv 1\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p$ 的解為 $x=1$ 或 $x=p?1$
算法內容：
· 設一個數為x，分解為$2^{s}t=x?1$，t為x不斷除以2得到的最大奇數
· 隨機取a，$a=a^t$，對a進行s次平方（也即計算$b=a^2\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}x,a=b$），如果其中有次平方的結果為b=1而且此時a不為1或x-1，則不滿足二次探測定理
· 如果 $a^{x?1}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}x=1$，則不滿足費馬小定理
如果可以，a取小于x的足夠多的質數或者隨機選取a進行多次檢測。Miller-Rabbin算法只能保證x大概率是一個素數，不過這個概率已經足夠大了。

快速冪
計算$a^x\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}n=?$，當a和x很大的時候，中間結果超出存儲容量又或者數字太大計算復雜，此時需要快速計算這個指數模余值，可以如下進行：
對x分解為二進制形式，則有$$a^{x}modn=a^{2^{b_k}+2^{b_{k?1}}+??????+2^{b_0}}modn=((a^{2^{b_k}}modn)??????(a^{2^{b_0}}modn))modn$$

二、實現代碼

重新看下RSA算法的流程，
· $n=p\times q$
· $L=\phi (n)=(p?1)(q?1)$
· 隨機選取 $1<e<L，使得gcd(e,L)=1$
·計算 $ed\equiv 1\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}L$
·公鑰對 =（n, d），私鑰對 =（n, e）

由于RSA的安全性取決于n的大小，所以生成的p和q越大越好，那么需要

生成大素數p和q

計算L = (p-1)*(q-1)

隨機選取與L互質的e，2<e<L

計算e對L的逆元d

銷毀p、q，保存n,e,d

1 生成素數

用基礎算法列出1-1000的素數，從2到$\sqrt{x}$求x是非能被1和他自身外的其他數整除。

def createPrime():ret = []for i in range(1000):for j in range(2,ceil(sqrt(i))+1):if i % j == 0:breakif j == ceil(sqrt(i)):ret.append(i)return ret

先實現快速冪算法，再用Miller-Rabbin算法生成一個大的素數，這個大有多大看需求。

# 1000以內的質數 prime_list = [3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103,107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223,227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347,349, 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397, 401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463,467, 479, 487, 491, 499, 503, 509, 521, 523, 541, 547, 557, 563, 569, 571, 577, 587, 593, 599, 601, 607,613, 617, 619, 631, 641, 643, 647, 653, 659, 661, 673, 677, 683, 691, 701, 709, 719, 727, 733, 739, 743,751, 757, 761, 769, 773, 787, 797, 809, 811, 821, 823, 827, 829, 839, 853, 857, 859, 863, 877, 881, 883,887, 907, 911, 919, 929, 937, 941, 947, 953, 967, 971, 977, 983, 991, 997]def quickPowerMod(a,x,n):# 計算a**x % nc = b = 1binary = bin(x)[2:]binary = reversed(binary)for it in binary:if it == '0':# 結果不動，乘子指數加一a = (a ** 2) % nelse:# 結果乘上當前權重，乘子指數加一b = (a * b) % na = (a ** 2) % nreturn bdef MillerRabin(num):# 偶數if num & 1 == 0:return False# 將num分解為 (2**s)*t = num-1s = 1# 這時t必定是偶數，將其分解到為奇數t = num - 1while t & 1 == 0:s += 1t = t // 2for it in prime_list:if it >= num:breaka = quickPowerMod(it,t,num)# 二次探測定理for i in range(s):b = a * a % numif b == 1 and a != 1 and a != num-1:return Falsea = bif a != 1:# (it**t) 同余 1 mod num, 費馬小定理return Falsereturn Truedef createBigPrime():pMin = 10 ** 54pMax = 10 ** 64a = random.randint(pMin,pMax)while not MillerRabin(a):a = random.randint(pMin, pMax)return a

2 生成秘鑰

接下來編寫函數生成公鑰私鑰對，求逆元的時候有幾種算法，由于明文和N關系未知，選取擴展歐幾里得算法，又需要求最大公因子和最小公倍數的函數，這兩個很簡單，直接上代碼。

def gcd(a,b):if a % b == 0:return belse:return gcd(b, a % b)def lcm(a,b):c = gcd(a, b)return a * b // cdef inverseGCD(a,b):# 遞推求擴展歐幾里得算法if b == 0:return 1, 0else:k = a // bx2, y2 = inverseGCD(b, a % b)x1, y1 = y2, x2 - k * y2# 注意x1可能為負，在外面再求一次模return x1, y1def createKeys():q = createBigPrime()p = createBigPrime()n = q * p# n的歐拉函數L = (p - 1) * (q - 1)e = random.randint(2,L)while gcd(e,L) != 1:e = random.randint(2,L)# 計算e * d 同余 1 mod L# 擴展歐幾里得算法求逆元d, _ = inverseGCD(e,L)d = d % L#d = e**(L-2)with open('e.txt', 'w') as f:f.write(str(e))with open('d.txt', 'w') as f:f.write(str(d))with open('n.txt', 'w') as f:f.write(str(n))return n, e, d

3 對數據進行加密、解密

有了私鑰對，加密只是進行一個求快速冪的過程。

m = 8916534261681675 n,e,d = createKeys() print('私鑰對：\n',n,e) print('公鑰對：\n',n,d) en = quickPowerMod(m,e,n) print('原消息: ', m) print('加密后：', en) de = quickPowerMod(en,d,n) print('解密后：', de)

看下結果

已經完成正確的加解密！

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總結

RSA算法用到數論、離散數學的基礎，加密速度慢，而且每次加密過程中消息大小M不能大于N。但RSA算法是公認非常安全的算法。
如果想對大小超出N的消息加密，一般需要先用DES、SHA等對原消息計算成一定長度的摘要，再對摘要進行RSA加密。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的python实现RSA算法，对数据进行加密认证的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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