在網上翻到一個非常有意思的問題：

這個問題乍看起來無厘頭，但實際上是個非常深刻的問題，涉及到抽象代數(abstract algebra)的一些基本概念，因此我打算寫篇文章來詳細闡述一下。

人類的數學從數數開始，最早誕生的概念是自然數(natrual number)。后來隨著數學應用范圍的擴大，又產生了新類型的數。

初中時我們對數的體系做了詳細地介紹

到了高中我們又學了集合的概念，從集合的角度來研究數。為了敘述的方面，我們把由不同類型的數組成的集合用一個字母來表示，我們學過的有如下幾個：

• 自然數集：N
• 整數集：Z
• 有理數集：Q
• 實數集：R
• 復數集：C

相信很多小伙伴在這里也會碰到同這位網友一樣的疑問：無理數(irrational number)也是很重要的數的類型，為什么它們的集合沒有字母表示呢？是書上忘了講，還是說數學家懶得起名字？

其實，無理數集沒有用字母表示是有其中的道理的，要弄清楚這個道理，就得先弄清楚三個基本概念：集合(set)，二元運算(binary operation)，和封閉(closed)。

基本概念

• 集合

集合這個概念我們已經很清楚了，指的就是具有某些特定性質的元素做成的集體。當然關于集合的精確定義還有很多需要討論，但是理解到這個層次也就足夠了。

• 二元運算

二元運算我們其實也已經很熟悉了，但是之前沒有給它做出過精確的定義。用不太正式的語言來敘述，一個二元運算就是一種把兩個數變成一個數的對應法則。比如加法就是一個二元運算，因為他把1和1變成2，把2和3變成5等等。同樣道理，四則運算加減乘除都是二元運算。

不過我們一般把減法運算看作是加法運算的逆運算，把除法運算看作是乘法運算的逆運算，因此最基本的二元運算只有兩種。

于是有人就會問了，既然有二元運算，那有沒有一元運算呢？當然是有的，所謂的一元運算，無非就是把一個數變成另一個數唄，我們常見的，比如對數運算，開方運算，都是一元運算。但其實，所謂的一元運算，就相當于我們學過的函數。

同樣道理還會有三元運算，四元運算，n元運算等等，我們不再做過多討論。

• 封閉

“封閉”其實是理解本文最核心的一個概念。

封閉是建立在集合與二元運算的概念的基礎之上的。

對于某個數集和某種運算，如果從該數集里面任意挑兩個數，做二元運算所得到的結果仍然是這個集合中的數，就說該數集對于這個二元運算是封閉的。

比如舉個最簡單的例子，自然數集對加法就是封閉的，因為任意兩個自然數相加的結果，還是一個自然數。而自然數集對減法運算不封閉，比如我隨便就可以舉出兩個數來2和3，他倆都是自然數，但是2-3=-1，它就不是自然數了。

封閉

要回答本文提出的問題，就得從封閉這個概念來著手。

我們先來分析一下已知的集合對四則運算的封閉性。

• 自然數集N，對于加法運算和乘法運算都是封閉的，但是對于減法運算和除法運算不封閉。
• 整數集Z，對于加法運算，減法運算，乘法運算都是封閉的，但是對于除法運算不封閉。
• 有理數集Q，對于四則運算都是封閉的。
• 實數集R，對于四則運算都是封閉的。
• 復數集C，對于四則運算都是封閉的。

這里我想特別強調一下有理數集，有理數集對加減乘除4則運算都封閉，不是一件很明顯的事情，我們需要有嚴格的證明。

所謂有理數就是可以寫成兩個整數之比的數，所以我們假設有兩個有理數b1/a1，b2/a2，其中a1、b1、a2、b2都是整數，考察一下它們做四則運算的結果：

可以看出，四個運算結果依然都還是有理數，這就證明了有理數集對四則運算都是封閉的。

這里我想說的是，數學家們已經證明了：有理數集是對加減乘除四則運算都封閉的最小的數集。意思就是說任何比有理數還要小的集合，哪怕只比有理數集少一個數，就不再對加減乘除四則運算封閉了。

在抽象代數學中，我們把對加減乘除四則運算都封閉的集合稱為一個數域(number field)，可以看出，實數集和復數集都是數域。而我們上面提到的結論就是：有理數集是最小的數域。換句話說，任何數域都包含有理數集作為它的子集。

無理數集

分析完這些，我們就可以來看看無理數集了。我們會發現，無理數及對四則運算都不封閉。我們很容易就能舉出例子來：

• 對加法：√2和-√2都是無理數，但是加在一起等于0，0不是無理數。
• 對減法：√2和-√2的例子可以看成是√2-√2，結果也是0。
• 對乘法：√2×√2，結果是2，2不是無理數。
• 對除法：√2÷√2，結果是1，1不是無理數。

原來無理數集是個如此糟糕的集合！這就是我們不給它用字母表示的原因。

在現代代數學中，數學家們主要關注的就是集合及集合中元素的運算結構，產生了群(group)，環(ring)，域(field)等一系列概念。

一個集合上某個運算是封閉的，那么研究它才有意義，會有很多很美好的性質。但是如果運算不封閉，那么研究起來就會雜亂無章，并沒有太大意義。

對于前面五個集合，都存在至少一種運算使其封閉，我們就利用這種封閉性來得出不少新的性質，解決了很多數學問題，甚至構造出更多更復雜的結合。數學家們經常使用這五個集合，為了敘述上的方便，就拿五個字母來代替他們。

但是對于無理數集合，因為它對四則運算都不封閉，因此無法得到像前面五個集合那樣豐富的性質，使用起來也就不如它們頻繁，所以我們就沒有必要拿一個單獨的字母來命名它。

結束語

講到這里就不得不稍微提一下近世代數(modern algebra)的發展。

近世代數中最主要的概念——群，思想起源于19世紀法國數學天才伽羅瓦(Galois，1811～1832)。伽羅瓦利用群論的方法，徹底解決了五次及以上方程根式解的問題，是數學發展史上開天辟地的事情。我這位曠世數學天才卻因為意外而英年早逝，年僅21歲，是人類數學史上的一大憾事。

不過，我們現在在教科書上學到的代數學之所以長這個樣子，則主要歸功于20世紀德國女數學家，被譽為“現代代數之母”的艾米·諾特(Emmy Noether，1882～1935)。諾特是數學史上毫無爭議的最偉大的女數學家，他和他的學生所形成的“諾特學派”，徹底改變了代數學的全貌。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的设计一个程序实现两个任意长的整数的求和运算_自然数集，整数集，有理数集等都有字母表示，为什么无理数集没有...的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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