如何理解離散傅里葉變換（一）

——實(shí)數(shù)形式傅里葉變換

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本文作者：隨煜而安 ?二零一五年五月二十三日

原創(chuàng)作者：July、dznlong ?

推薦閱讀：

1.The Scientist and Engineer's Guide to Digital Signal Processing，By Steven W. Smith, Ph.D。http://www.dspguide.com/pdfbook.htm。

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4.高等數(shù)學(xué)/數(shù)學(xué)分析中關(guān)于傅里葉級(jí)數(shù)，三角函數(shù)正交系的部分內(nèi)容

5.深入淺出的講解傅里葉變換（個(gè)人感覺講的一般，但是配圖很形象幫助理解） ?點(diǎn)擊打開鏈接

說明：

I、本文中闡述的離散傅里葉變換方法是July、dznlong 兩位根據(jù)此書：The Scientist and Engineer's Guide to Digital Signal Processing，By Steven W. Smith, Ph.D.而翻譯而成的，此書地址：http://www.dspguide.com/pdfbook.htm。

II、同時(shí)，有相當(dāng)一部分內(nèi)容編輯整理自dznlong、July兩位的博客，本文是根據(jù)兩人文章的思路添加上一些個(gè)人的想法以及補(bǔ)充一些細(xì)節(jié)的成果。上面也貼出了其博客地址，向原創(chuàng)的作者表示致敬。

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談?wù)劯道锶~變換

開始進(jìn)入正題：

“關(guān)于傅立葉變換，無論是書本還是在網(wǎng)上可以很容易找到關(guān)于傅立葉變換的描述，但是大都是些故弄玄虛的文章，太過抽象，盡是一些讓人看了就望而生畏的公式的羅列，讓人很難能夠從感性上得到理解”---dznlong，

那么，到底什么是傅里葉變換算法?傅里葉變換所涉及到的公式具體有多復(fù)雜列?這篇文章我借鑒兩位大神的思路，并且先不列出一些復(fù)雜的公式，一步一步的引出我們要研究的東西，盡量做到通俗易懂。

傅里葉變換（Fourier transform）是一種線性的積分變換。因其基本思想首先由法國(guó)學(xué)者傅里葉系統(tǒng)地提出，所以以其名字來命名以示紀(jì)念。傅里葉變換就是一種變換而已，只是這種變換是從時(shí)間轉(zhuǎn)換為頻率的變化。

傅里葉變換的提出：

傅立葉是一位法國(guó)數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家，原名是Jean Baptiste Joseph Fourier(1768-1830), Fourier于1807年在法國(guó)科學(xué)學(xué)會(huì)上發(fā)表了一篇論文，論文里描述運(yùn)用正弦曲線來描述溫度分布，論文里有個(gè)在當(dāng)時(shí)具有爭(zhēng)議性的決斷：任何連續(xù)周期信號(hào)都可以由一組適當(dāng)?shù)恼仪€組合而成。 當(dāng)時(shí)審查這個(gè)論文拉格朗日?qǐng)?jiān)決反對(duì)此論文的發(fā)表，而后在近50年的時(shí)間里，拉格朗日?qǐng)?jiān)持認(rèn)為傅立葉的方法無法表示帶有棱角的信號(hào)，如在方波中出現(xiàn)非連續(xù)變化斜率。直到拉格朗日死后15年這個(gè)論文才被發(fā)表出來。

誰是對(duì)的呢？拉格朗日是對(duì)的：正弦曲線無法組合成一個(gè)帶有棱角的信號(hào)。但是，我們可以用正弦曲線來非常逼近地表示它，逼近到兩種表示方法不存在能量差別，基于此，傅立葉是對(duì)的。

我們觀察下圖，直觀的感受一下這個(gè)決斷和傅里葉變換究竟在做怎樣的一件事情。（圖片來自：點(diǎn)擊打開鏈接）

? ? 在這兩幾幅圖中，分別代表了兩個(gè)傅里葉變換。最前面黑色的線代表的就是要進(jìn)行變換的時(shí)域上的函數(shù)f（t），它可以表示成后面所有彩色表示的正弦波疊加而成的總和。而后面依不同顏色排列而成的正弦波就是組合為f（t）的各個(gè)分量。這些正弦波按照頻率從低到高從前向后排列開來，而每一個(gè)波的振幅都是不同的。一定有細(xì)心的讀者發(fā)現(xiàn)了，在兩個(gè)正弦波之間可能還有一條直線，那并不是分割線，而是振幅為0的正弦波！也就是說，為了組成特殊的曲線，有些正弦波成分是不需要的，或者說時(shí)域上的函數(shù)f（t）中不含有這種對(duì)應(yīng)頻率的分量。來看一個(gè)更為詳細(xì)一些的圖：

? ? 對(duì)于每個(gè)正弦波分量，如果我們只看它的頻率和幅值。那么對(duì)于所有分量，就形成了一個(gè)以頻率為自變量，幅值為因變量的頻率域上的函數(shù)F（w），也就是頻域圖像。這時(shí)，一個(gè)時(shí)域——頻域的映射就形成了。這個(gè)例子中我們可以看出，一個(gè)時(shí)域上的近似矩形波被分解成了不同頻率分量的正弦波，反過來看，一些不同頻率的正弦波疊加成了一個(gè)矩形波。要注意的是，在實(shí)際中通常是將時(shí)域的函數(shù)變換為不同頻率的正弦波和余弦波的疊加，而不僅僅是一些正弦波的疊加，盡管這并沒有什么不同，因?yàn)槲覀冎勒嘞沂强梢曰ハ啾硎镜摹?/span>

? ? 到此，在沒有任何公式的情況下，我們也大概知曉了傅里葉變換在做怎樣的一件事情。

傅立葉變換分類

???根據(jù)原信號(hào)的不同類型，我們可以把傅立葉變換分為四種類別：
1、非周期性連續(xù)信號(hào)??????? 傅立葉變換（Fourier Transform）?
2、周期性連續(xù)信號(hào)?????????? 傅立葉級(jí)數(shù)(Fourier Series)?
3、非周期性離散信號(hào)???????離散時(shí)域傅立葉變換（Discrete Time Fourier Transform）?
4、周期性離散信號(hào)?????????? 離散傅立葉變換(Discrete Fourier Transform)?

現(xiàn)在我們要列出一些公式了，先觀察即可，后面會(huì)做出詳細(xì)的解釋。

? ? ?1.連續(xù)傅里葉變換

? ? ?一般情況下，若“傅里葉變換”一詞不加任何限定語，則指的是“連續(xù)傅里葉變換”。連續(xù)傅里葉變換將平方可積的函數(shù)f（t）表示成復(fù)指數(shù)函數(shù)的積分或級(jí)數(shù)形式。

這是將頻率域的函數(shù)F(ω)表示為時(shí)間域的函數(shù)f（t）的積分形式。

連續(xù)傅里葉變換的逆變換 (inverse Fourier transform)為：

即將時(shí)間域的函數(shù)f（t）表示為頻率域的函數(shù)F(ω)的積分。

2.傅里葉級(jí)數(shù)

連續(xù)形式的傅里葉變換其實(shí)是傅里葉級(jí)數(shù) (Fourier series)的推廣，因?yàn)榉e分其實(shí)是一種極限形式的求和算子而已。

對(duì)于周期函數(shù)，其傅里葉級(jí)數(shù)是存在的：

其中Fn為復(fù)幅度。對(duì)于實(shí)值函數(shù)，函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)可以寫成：

其中an和bn是實(shí)頻率分量的幅度。

3.離散時(shí)域傅里葉變換
???離散傅里葉變換是離散時(shí)間傅里葉變換（DTFT）的特例（有時(shí)作為后者的近似）。DTFT在時(shí)域上離散，在頻域上則是周期的。DTFT可以被看作是傅里葉級(jí)數(shù)的逆變換。

4.離散傅里葉變換
?? 離散傅里葉變換（DFT），是連續(xù)傅里葉變換在時(shí)域和頻域上都離散的形式，將時(shí)域信號(hào)的采樣變換為在離散時(shí)間傅里葉變換（DTFT）頻域的采樣。在形式上，變換兩端（時(shí)域和頻域上）的序列是有限長(zhǎng)的，而實(shí)際上這兩組序列都應(yīng)當(dāng)被認(rèn)為是離散周期信號(hào)的主值序列。即使對(duì)有限長(zhǎng)的離散信號(hào)作DFT，也應(yīng)當(dāng)將其看作經(jīng)過周期延拓成為周期信號(hào)再作變換。在實(shí)際應(yīng)用中通常采用快速傅里葉變換以高效計(jì)算DFT。

?? 為了在科學(xué)計(jì)算和數(shù)字信號(hào)處理等領(lǐng)域使用計(jì)算機(jī)進(jìn)行傅里葉變換，必須將函數(shù)xn定義在離散點(diǎn)而非連續(xù)域內(nèi)，且須滿足有限性或周期性條件。這種情況下，使用離散傅里葉變換（DFT），將函數(shù)xn表示為下面的求和形式：

其中Xk是傅里葉幅度。

現(xiàn)在我們已經(jīng)把四種類型的傅里葉變換的公式給出了，直接看這些公式，就像很多教科書那樣，我想大家跟我一樣都是一頭霧水。?下面是July、dznlong兩位大神給出的一些更為直觀的東西。

我們可以觀察思考下上述傅立葉變換的4種變體的特點(diǎn)

???????下圖是四種原信號(hào)圖例（從上到下，依次是FT，FS，DTFT，DFT）：

對(duì)于計(jì)算機(jī)來說只有離散的和有限長(zhǎng)度的數(shù)據(jù)才能被處理。所以首先可以肯定的是，對(duì)于計(jì)算機(jī)中的研究，我們的時(shí)域信號(hào)需要是離散的。對(duì)于我們要處理的輸入信號(hào)，考慮如果是非周期性信號(hào)的普遍情況。我們需要用無窮多不同頻率的正弦曲線來表示，這對(duì)于計(jì)算機(jī)來說也是不可能實(shí)現(xiàn)的。所以頻率域上也要是離散的。所以基于上面的分析，我們下面重點(diǎn)討論和理解的是離散傅立葉變換（DFT），因?yàn)橹挥兴拍鼙挥?jì)算機(jī)適用。

?另外，每種傅立葉變換都分成實(shí)數(shù)和復(fù)數(shù)兩種方法，對(duì)于實(shí)數(shù)方法是最好理解的，但是復(fù)數(shù)方法就相對(duì)復(fù)雜許多了，需要懂得有關(guān)復(fù)數(shù)的理論知識(shí)，不過，如果理解了實(shí)數(shù)離散傅立葉變換(real DFT)，再去理解復(fù)數(shù)傅立葉變換就更容易了，所以我們先把復(fù)數(shù)的傅立葉變換放到一邊去，先來理解實(shí)數(shù)傅立葉變換，在后面我們會(huì)先講講關(guān)于復(fù)數(shù)的基本理論，然后在理解了實(shí)數(shù)傅立葉變換的基礎(chǔ)上再來理解復(fù)數(shù)傅立葉變換。所以本文后面的重點(diǎn)是理解實(shí)數(shù)離散傅立葉變換(real DFT)。

截止到這里，我們簡(jiǎn)單闡述了傅里葉變換的一些基礎(chǔ)知識(shí)和思想。后面，我們將從相對(duì)簡(jiǎn)單的實(shí)數(shù)傅里葉變換出發(fā)，試著去理解它。

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實(shí)數(shù)離散傅立葉變換(real DFT)

首先，先來看一個(gè)關(guān)于實(shí)數(shù)離散傅立葉變換(Real DFT)的例子?????

通過這個(gè)例子，是想引出實(shí)數(shù)離散傅里葉變換在數(shù)學(xué)或者說程序中的表達(dá)方法，并且如果能理解實(shí)數(shù)離散傅里葉變換的原理就更好了

下圖是一個(gè)實(shí)數(shù)原始離散信號(hào)圖像：

?????? 這個(gè)信號(hào)的長(zhǎng)度是16，于是可以把這個(gè)信號(hào)分解9個(gè)余弦波和9個(gè)正弦波（一個(gè)長(zhǎng)度為N的信號(hào)可以分解成N/2+1個(gè)正余弦信號(hào)，這是為什么呢？我們稍后再討論，也許結(jié)合下圖你就能已經(jīng)看出其中的原因。參看最后面的證明1）

結(jié)合下面的18個(gè)正余弦圖,我想從計(jì)算機(jī)處理精度上就不難理解，一個(gè)長(zhǎng)度為N的信號(hào)，最多只能有N/2+1個(gè)不同頻率，再多的頻率就超過了計(jì)算機(jī)所能所處理的精度范圍），如下圖：

??????? 9個(gè)余弦信號(hào)：

從左至右，從上到下，分別對(duì)應(yīng)著頻率k=0~8；

頻率k=i就代表在長(zhǎng)度為N的區(qū)間上存在著i個(gè)周期。k越大，周期越小。

????????9個(gè)正弦信號(hào)：

同樣的，從左至右，從上到下，分別對(duì)應(yīng)著頻率k=0~8；

?????? 把以上所有信號(hào)相加即可得到原始信號(hào)，至于是怎么分別變換出9種不同頻率信號(hào)的，我們也先不急，后面會(huì)說到，先看看對(duì)于以上的變換結(jié)果，在程序中又是該怎么表示的，我們可以看看下面這個(gè)示例圖：

? 上圖中左邊表示時(shí)域中的信號(hào)，右邊是頻域信號(hào)表示方法，
從左向右，-->，表示正向轉(zhuǎn)換(Forward DFT)，從右向左，<--，表示逆向轉(zhuǎn)換(Inverse DFT)，
用小寫x[]表示信號(hào)在每個(gè)時(shí)間點(diǎn)上的幅度值數(shù)組, 用大寫X[]表示每種頻率的幅度值數(shù)組（即時(shí)間x-->頻率X）,?
因?yàn)樽儞Q到頻率域后有N/2+1種頻率，需要記錄N/2+1個(gè)幅值，所以該數(shù)組長(zhǎng)度為N/2+1

X[]數(shù)組又分兩種，一種是表示余弦波的不同頻率幅度值：Re X[]，另一種是表示正弦波的不同頻率幅度值：Im X[]。

其中，Re是實(shí)數(shù)(Real)的意思，Im是虛數(shù)(Imagine)的意思，采用復(fù)數(shù)的表示方法把正余弦波組合起來進(jìn)行表示，但這里我們不考慮復(fù)數(shù)的其它作用，只記住是一種組合方法而已，目的是為了便于表達(dá)（個(gè)人感覺這樣表示是因?yàn)楦鼮槠毡楹统Ｓ玫膹?fù)數(shù)形式傅里葉變換的存在，為了在形式上契合它）。還有，在后面我們會(huì)知道，復(fù)數(shù)形式的傅立葉變換頻率域數(shù)組長(zhǎng)度是N，而不是N/2+1。

到此，實(shí)數(shù)形式的離散傅里葉變換的表示方法及符號(hào)約定我們已經(jīng)說清楚了，并且變換所做的實(shí)際工作我們也心里有數(shù)了。現(xiàn)在，補(bǔ)充上面欠著的關(guān)于“一個(gè)長(zhǎng)度為N的信號(hào)可以分解成N/2+1個(gè)正余弦信號(hào)”的證明1。

這個(gè)問題解決了，不過到這里不知道有沒有人和我有同樣的疑問。為什么變換后的正弦余弦分量的頻率取值都正好是整數(shù)？這個(gè)問題將在下面的學(xué)習(xí)中自然而然的明白。

實(shí)數(shù)形式離散傅里葉正變換（DFT）

? ??由上面的討論我們知道DFT是要將時(shí)域長(zhǎng)度為N的離散序列x（n）變換為不同頻率取值的正余弦分量，且頻率K取值為0~N/2+1。其實(shí)我們正變換要做的是已知時(shí)域序列x（n），求頻率域上的幅度值數(shù)組，也就是ReX[] 和ImX[]。

有三種完全不同的方法進(jìn)行DFT：一種方法是通過聯(lián)立方程進(jìn)行求解, 從代數(shù)的角度看，要從N個(gè)已知值求N個(gè)未知值，需要N個(gè)聯(lián)立方程，且N個(gè)聯(lián)立方程必須是線性獨(dú)立的，但這是這種方法計(jì)算量非常的大且極其復(fù)雜，所以很少被采用；第二種方法是利用信號(hào)的相關(guān)性（correlation）進(jìn)行計(jì)算，這個(gè)是我們后面將要介紹的方法；第三種方法是快速傅立葉變換（FFT），這是一個(gè)非常具有創(chuàng)造性和革命性的的方法，因?yàn)樗蟠筇岣吡诉\(yùn)算速度，使得傅立葉變換能夠在計(jì)算機(jī)中被廣泛應(yīng)用，但這種算法是根據(jù)復(fù)數(shù)形式的傅立葉變換來實(shí)現(xiàn)的，它把N個(gè)點(diǎn)的信號(hào)分解成長(zhǎng)度為N的頻域，這個(gè)跟我們現(xiàn)在所進(jìn)行的實(shí)域DFT變換不一樣，而且這種方法也較難理解，這里我們先不去理解，等先理解了復(fù)數(shù)DFT后，再來看一下FFT。有一點(diǎn)很重要，那就是這三種方法所得的變換結(jié)果是一樣的，經(jīng)過實(shí)踐證明，當(dāng)頻域長(zhǎng)度為32時(shí)，利用相關(guān)性方法進(jìn)行計(jì)算效率最好，否則FFT算法效率較高。現(xiàn)在就讓我們來看一下相關(guān)性算法。--July
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利用第一種方法、信號(hào)的相關(guān)性(correlation)可以從噪聲背景中檢測(cè)出已知的信號(hào)，我們也可以利用這個(gè)方法檢測(cè)信號(hào)波中是否含有某個(gè)頻率的信號(hào)波：把一個(gè)待檢測(cè)信號(hào)波乘以另一個(gè)信號(hào)波，得到一個(gè)新的信號(hào)波，再把這個(gè)新的信號(hào)波所有的點(diǎn)進(jìn)行相加，從相加的結(jié)果就可以判斷出這兩個(gè)信號(hào)的相似程度。如下圖：

??????? 上面a和 b兩個(gè)圖是待檢測(cè)信號(hào)波，圖a很明顯可以看出是個(gè)3個(gè)周期的正弦信號(hào)波，圖b的信號(hào)波則看不出是否含有正弦或余弦信號(hào)，圖c和d都是個(gè)3個(gè)周期的正弦信號(hào)波，圖e和f分別是a、b兩圖跟c、d兩圖相乘后的結(jié)果，圖e所有點(diǎn)的平均值是0.5，說明信號(hào)a含有振幅為1的正弦信號(hào)c，但圖f所有點(diǎn)的平均值是0，則說明信號(hào)b不含有信號(hào)d。這個(gè)就是通過信號(hào)相關(guān)性來檢測(cè)是否含有某個(gè)信號(hào)的方法。
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???????第二種方法：相應(yīng)地，我也可以通過把輸入信號(hào)和每一種頻率的正余弦信號(hào)進(jìn)行相乘（關(guān)聯(lián)操作），從而得到原始信號(hào)與每種頻率的關(guān)聯(lián)程度（即總和大小），這個(gè)結(jié)果便是我們所要的傅立葉變換結(jié)果，下面兩個(gè)等式便是我們所要的計(jì)算方法：

?????? 第二個(gè)式子中加了個(gè)負(fù)號(hào)，是為了保持復(fù)數(shù)形式的一致，前面我們知道在計(jì)算時(shí)又加了個(gè)負(fù)號(hào)，所以這只是個(gè)形式的問題，并沒有實(shí)際意義，你也可以把負(fù)號(hào)去掉，并在計(jì)算時(shí)也不加負(fù)號(hào)。

?????? 這里有一點(diǎn)必須明白一個(gè)正交的概念：兩個(gè)函數(shù)相乘，如果結(jié)果中的每個(gè)點(diǎn)的總和為0，則可認(rèn)為這兩個(gè)函數(shù)為正交函數(shù)。要確保關(guān)聯(lián)性算法是正確的，則必須使得跟原始信號(hào)相乘的信號(hào)的函數(shù)形式是正交的，我們知道所有的正弦或余弦函數(shù)是正交的，這一點(diǎn)我們可以通過簡(jiǎn)單的高數(shù)知識(shí)就可以證明它，所以我們可以通過關(guān)聯(lián)的方法把原始信號(hào)分離出正余弦信號(hào)。也就是說，一個(gè)帶有多個(gè)頻率分量的時(shí)域函數(shù)f（t）乘以某個(gè)頻率的正交基的積分，其實(shí)就等于函數(shù)中對(duì)應(yīng)這個(gè)頻率的分量與這個(gè)頻率正交基的積分，也就求出了函數(shù)與這個(gè)頻率的“關(guān)聯(lián)度”。當(dāng)然，其它的正交函數(shù)也是存在的，如：方波、三角波等形式的脈沖信號(hào)，所以原始信號(hào)也可被分解成這些信號(hào)，但這只是說可以這樣做，卻是沒有用的。

實(shí)數(shù)形式離散傅里葉逆變換——合成運(yùn)算方法(Real Inverse DFT)?

DFT合成等式（合成原始時(shí)間信號(hào)，頻率-->時(shí)間，逆向變換）：

如果有學(xué)過傅立葉級(jí)數(shù)，對(duì)這個(gè)等式就會(huì)有似曾相識(shí)的感覺，不錯(cuò)！這個(gè)等式跟傅立葉級(jí)數(shù)是非常相似的：

? ? ? ? 當(dāng)然，差別是肯定是存在的，因?yàn)檫@兩個(gè)等式是在兩個(gè)不同條件下運(yùn)用的，至于怎么證明DFT合成公式，這個(gè)我想需要非常強(qiáng)的高等數(shù)學(xué)理論知識(shí)了，這是研究數(shù)學(xué)的人的工作，對(duì)于普通應(yīng)用者就不需要如此的追根究底了，但是傅立葉級(jí)數(shù)是好理解的，我們起碼可以從傅立葉級(jí)數(shù)公式中看出DFT合成公式的合理性。? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??
?????? DFT合成等式中的Im?X[k]和Re X[k]跟之前提到的Im X[k]和Re X[k]是不一樣的，下面是轉(zhuǎn)換方法（關(guān)于此公式的解釋，見下文）:

???????
?????? 但k等于0和N/2時(shí),實(shí)數(shù)部分的計(jì)算要用下面的等式:

??????????????
?????? 上面四個(gè)式中的N是時(shí)域中點(diǎn)的總數(shù)，k是從0到N/2的序號(hào)。
?????? 為什么要這樣進(jìn)行轉(zhuǎn)換呢？這個(gè)可以從頻譜密度(spectral density)得到理解，如下圖就是個(gè)頻譜圖：

???????
?????? 這是一個(gè)頻譜圖，橫坐標(biāo)表示頻率大小，縱坐標(biāo)表示振幅大小，原始信號(hào)長(zhǎng)度為N（這里是32），經(jīng)DFT轉(zhuǎn)換后得到的17個(gè)頻率的頻譜，頻譜密度表示每單位帶寬中為多大的振幅，那么帶寬是怎么計(jì)算出來的呢？看上圖，除了頭尾兩個(gè)，其余點(diǎn)的所占的寬度是2/N，這個(gè)寬度便是每個(gè)點(diǎn)的帶寬，頭尾兩個(gè)點(diǎn)的帶寬是1/N,而Im X[k]和Re X[k]表示的是頻譜密度，即每一個(gè)單位帶寬的振幅大小，但表示2/N（或1/N）帶寬的振幅大小，所以分別應(yīng)當(dāng)是Im X[k]和Re X[k]的2/N（或1/N）。
?
頻譜密度就象物理中物質(zhì)密度，原始信號(hào)中的每一個(gè)點(diǎn)就象是一個(gè)混合物，這個(gè)混合物是由不同密度的物質(zhì)組成的，混合物中含有的每種物質(zhì)的質(zhì)量是一樣的，除了最大和最小兩個(gè)密度的物質(zhì)外，這樣我們只要把每種物質(zhì)的密度加起來就可以得到該混合物的密度了，又該混合物的質(zhì)量是單位質(zhì)量，所以得到的密度值跟該混合物的質(zhì)量值是一樣的。--dznlong
?
?????? 至于為什么虛數(shù)部分是負(fù)數(shù)，這是為了跟復(fù)數(shù)DFT保持一致，這個(gè)我們將在后面會(huì)知道這是數(shù)學(xué)計(jì)算上的需要（Im X[k]在計(jì)算時(shí)就已經(jīng)加上了一個(gè)負(fù)號(hào)（稍后，由下文，便可知），再加上負(fù)號(hào)，結(jié)果便是正的，等于沒有變化）。
?
?????? 如果已經(jīng)得到了DFT結(jié)果，這時(shí)要進(jìn)行逆轉(zhuǎn)換，即合成原始信號(hào)，則可按如下步驟進(jìn)行轉(zhuǎn)換：
1、先根據(jù)上面四個(gè)式子計(jì)算得出的值；
2、再根據(jù)DFT合成等式得到原始信號(hào)數(shù)據(jù)。

?到此為止，我們對(duì)傅立葉變換便有了感性的認(rèn)識(shí)了。但是，這只是在實(shí)域上的離散傅立葉變換，其中雖然也用到了復(fù)數(shù)的形式，但那只是個(gè)替代的形式，并無實(shí)際意義，現(xiàn)實(shí)中一般使用的是復(fù)數(shù)形式的離散傅立葉變換，且快速傅立葉變換是根據(jù)復(fù)數(shù)離散傅立葉變換來設(shè)計(jì)算法的。隨著作者之后的學(xué)習(xí)，再總結(jié)出后面的博文。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的如何理解离散傅里叶变换（一）实数形式傅里叶变换的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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