一、從平行線談起。

平行線，永不相交。沒有人懷疑把：）不過到了近代這個結(jié)論遭到了質(zhì)疑。平行線會不會在很遠(yuǎn)很遠(yuǎn)的地方相交了？事實上沒有人見到過。所以“平行線，永不相交”只是假設(shè)（大家想想初中學(xué)習(xí)的平行公理，是沒有證明的）。既然可以假設(shè)平行線永不相交，也可以假設(shè)平行線在很遠(yuǎn)很遠(yuǎn)的地方相交了。即平行線相交于無窮遠(yuǎn)點P∞（請大家閉上眼睛，想象一下那個無窮遠(yuǎn)點P∞，P∞是不是很虛幻，其實與其說數(shù)學(xué)鍛煉人的抽象能力，還不如說是鍛煉人的想象力）。給個圖幫助理解一下：?

直線上出現(xiàn)P∞點，所帶來的好處是所有的直線都相交了，且只有一個交點。這就把直線的平行與相交統(tǒng)一了。為與無窮遠(yuǎn)點相區(qū)別把原來平面上的點叫做平常點。?

以下是無窮遠(yuǎn)點的幾個性質(zhì)。?
▲直線L上的無窮遠(yuǎn)點只能有一個。?
（從定義可直接得出）?
▲平面上一組相互平行的直線有公共的無窮遠(yuǎn)點。?
（從定義可直接得出）?
▲ 平面上任何相交的兩直線L1,L2有不同的無窮遠(yuǎn)點。?
（否則L1和L2有公共的無窮遠(yuǎn)點P ，則L1和L2有兩個交點A、P，故假設(shè)錯誤。）?
▲平面上全體無窮遠(yuǎn)點構(gòu)成一條 無窮遠(yuǎn)直線 。（自己想象一下這條直線吧）?

▲平面上全體無窮遠(yuǎn)點與全體平常點構(gòu)成射影平面。?

二、射影平面坐標(biāo)系?

? ?射影平面坐標(biāo)系是對普通平面直角坐標(biāo)系（就是我們初中學(xué)到的那個笛卡兒平面直角坐標(biāo)系）的擴(kuò)展。我們知道普通平面直角坐標(biāo)系沒有為無窮遠(yuǎn)點設(shè)計坐標(biāo)，不能表示無窮遠(yuǎn)點。為了表示無窮遠(yuǎn)點，產(chǎn)生了射影平面坐標(biāo)系，當(dāng)然射影平面坐標(biāo)系同樣能很好的表示舊有的平常點（數(shù)學(xué)也是“向下兼容”的）。?

? ?我們對普通平面直角坐標(biāo)系上的點A的坐標(biāo)（x,y）做如下改造：?
? ?令x=X/Z ，y=Y/Z（Z≠0）；則A點可以表示為（X:Y:Z）。?
? ?變成了有三個參量的坐標(biāo)點，這就對平面上的點建立了一個新的坐標(biāo)體系。?

? ?例2.1：求點（1,2）在新的坐標(biāo)體系下的坐標(biāo)。?
? ?解：∵X/Z=1 ，Y/Z=2（Z≠0）∴X=Z，Y=2Z ∴坐標(biāo)為（Z:2Z:Z），Z≠0。即（1:2:1）（2:4:2）（1.2:2.4:1.2）等形如（Z:2Z:Z），Z≠0的坐標(biāo)，都是（1,2）在新的坐標(biāo)體系下的坐標(biāo)。?

? ?我們也可以得到直線的方程aX+bY+cZ=0（想想為什么？提示：普通平面直角坐標(biāo)系下直線一般方程是ax+by+c=0）。新的坐標(biāo)體系能夠表示無窮遠(yuǎn)點么？那要讓我們先想想無窮遠(yuǎn)點在哪里。根據(jù)上一節(jié)的知識，我們知道無窮遠(yuǎn)點是兩條平行直線的交點。那么，如何求兩條直線的交點坐標(biāo)？這是初中的知識，就是將兩條直線對應(yīng)的方程聯(lián)立求解。平行直線的方程是：?
aX+bY+c₁Z =0； aX+bY+c₂Z =0 ?(c₁≠c₂)；?
（為什么？提示：可以從斜率考慮，因為平行線斜率相同）；?

? ?將二方程聯(lián)立，求解。有c₂Z= c₁Z= -（aX+bY），∵c₁≠c₂?∴Z=0 ?∴aX+bY=0；?
所以無窮遠(yuǎn)點就是這種形式（X：Y：0）表示。注意，平常點Z≠0，無窮遠(yuǎn)點Z=0，因此無窮遠(yuǎn)直線對應(yīng)的方程是Z=0。?

? ?例2.2：求平行線L1：X+2Y+3Z=0 與L2：X+2Y+Z=0 相交的無窮遠(yuǎn)點。?
? ?解：因為L1∥L2 所以有Z=0， X+2Y=0；所以坐標(biāo)為（-2Y:Y:0），Y≠0。即（-2:1:0）（-4:2:0）（-2.4:1.2:0）等形如（-2Y:Y:0），Y≠0的坐標(biāo)，都表示這個無窮遠(yuǎn)點。?

? ?看來這個新的坐標(biāo)體系能夠表示射影平面上所有的點，我們就把這個能夠表示射影平面上所有點的坐標(biāo)體系叫做射影平面坐標(biāo)系。?


練習(xí)：?
? ? ? 1、求點A(2,4) 在射影平面坐標(biāo)系下的坐標(biāo)。?
? ? ? 2、求射影平面坐標(biāo)系下點(4.5:3:0.5)，在普通平面直角坐標(biāo)系下的坐標(biāo)。?
? ? ? 3、求直線X+Y+Z=0上無窮遠(yuǎn)點的坐標(biāo)。?
? ? ? 4、判斷：直線aX+bY+cZ=0上的無窮遠(yuǎn)點 和 無窮遠(yuǎn)直線與直線aX+bY=0的交點，是否是同一個點？?


三、橢圓曲線?

? ?上一節(jié)，我們建立了射影平面坐標(biāo)系，這一節(jié)我們將在這個坐標(biāo)系下建立橢圓曲線方程。因為我們知道，坐標(biāo)中的曲線是可以用方程來表示的（比如：單位圓方程是x²+y²=1）。橢圓曲線是曲線，自然橢圓曲線也有方程。?

? ?橢圓曲線的定義：?
? ?一條橢圓曲線是在射影平面上滿足方程?
? ?Y²Z+a₁XYZ+a₃YZ²=X³+a₂X²Z+a₄XZ²+a₆Z³?? ----------------[3-1]?
? ?的所有點的集合，且曲線上的每個點都是非奇異（或光滑）的。?

定義詳解：

? ? ? ▲ Y²Z+a₁XYZ+a₃YZ²?= X³+a₂X²Z+a₄XZ²+a₆Z³是Weierstrass方程（維爾斯特拉斯，Karl Theodor Wilhelm Weierstrass,1815-1897），是一個齊次方程。?

? ?▲ 橢圓曲線的形狀，并不是橢圓的。只是因為橢圓曲線的描述方程，類似于計算一個橢圓周長的方程（計算橢圓周長的方程，我沒有見過，而對橢圓線積分（設(shè)密度為1）是求不出來的。誰知道這個方程，請告訴我呀^_^），故得名。?

? ?我們來看看橢圓曲線是什么樣的。?

? ?▲ 所謂“非奇異”或“光滑”的，在數(shù)學(xué)中是指曲線上任意一點的偏導(dǎo)數(shù)F_x(x,y,z)，F_y(x,y,z)，F_z(x,y,z)不能同時為0。如果你沒有學(xué)過高等數(shù)學(xué)，可以這樣理解這個詞，即滿足方程的任意一點都存在切線。?

? ?下面兩個方程都不是橢圓曲線，盡管他們是方程[3-1]的形式。

? ?因為他們在(0:0:1)點處（即遠(yuǎn)點）沒有切線。

? ?▲橢圓曲線上有一個無窮遠(yuǎn)點O∞（0:1:0），因為這個點滿足方程[3-1]。?

? ?知道了橢圓曲線上的無窮遠(yuǎn)點。我們就可以把橢圓曲線放到普通平面直角坐標(biāo)系上了。因為普通平面直角坐標(biāo)系只比射影平面坐標(biāo)系少無窮遠(yuǎn)點。我們在普通平面直角坐標(biāo)系上，求出橢圓曲線上所有平常點組成的曲線方程，再加上無窮遠(yuǎn)點O∞（0:1:0），不就構(gòu)成橢圓曲線了么？?

? ?我們設(shè)x=X/Z ，y=Y/Z代入方程[3-1]得到：?
? ?y²+a₁xy+a₃y = x³+a₂x²+a₄x+a₆?-------------------------[3-2]?

? ?也就是說滿足方程[3-2]的光滑曲線加上一個無窮遠(yuǎn)點O∞，組成了橢圓曲線。為了方便運算，表述，以及理解，今后論述橢圓曲線將主要使用[3-2]的形式。?

? ?本節(jié)的最后，我們談一下求橢圓曲線一點的切線斜率問題。?
? ?由橢圓曲線的定義可以知道，橢圓曲線是光滑的，所以橢圓曲線上的平常點都有切線。而切線最重要的一個參數(shù)就是斜率k。?

? ?例3.1：求橢圓曲線方程y²+a₁xy+a₃y=x³+a₂x²+a₄x+a₆上，平常點A(x,y)的切線的斜率k。?
? ?解：令F(x,y)= y²+a₁xy+a₃y-x³-a₂x²-a₄x-a₆?
? ?求偏導(dǎo)數(shù)?
? ?F_x(x,y)= a₁y-3x²-2a₂x-a₄?
? ?F_y(x,y)= 2y+a₁x +a₃?
? ?則導(dǎo)數(shù)為：f'(x)=- F_x(x,y)/ F_y(x,y)=-( a₁y-3x²-2a₂x-a₄)/(2y+a₁x +a₃)?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?= (3x²+2a₂x+a₄-a₁y) /(2y+a₁x +a₃)?
? ?所以k=(3x²+2a₂x+a₄-a₁y) /(2y+a₁x +a₃) ?------------------------[3-3]?

? ?看不懂解題過程沒有關(guān)系，記住結(jié)論[3-3]就可以了。?

練習(xí)：?
? ? ? 1、將給出圖例的橢圓曲線方程Y²Z=X³-XZ²?和Y²Z=X³+XZ²+Z³轉(zhuǎn)換成普通平面直角坐標(biāo)系上的方程。?


四、橢圓曲線上的加法?

? ?上一節(jié)，我們已經(jīng)看到了橢圓曲線的圖象，但點與點之間好象沒有什么聯(lián)系。我們能不能建立一個類似于在實數(shù)軸上加法的運算法則呢？天才的數(shù)學(xué)家找到了這一運算法則?

? ?☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆?
? ?自從近世紀(jì)代數(shù)學(xué)引入了群、環(huán)、域的概念，使得代數(shù)運算達(dá)到了高度的統(tǒng)一。比如數(shù)學(xué)家總結(jié)了普通加法的主要特征，提出了加群（也叫交換群，或Abel（阿貝爾）群），在加群的眼中。實數(shù)的加法和橢圓曲線的上的加法沒有什么區(qū)別。這也許就是數(shù)學(xué)抽象把：）。關(guān)于群以及加群的具體概念請參考近世代數(shù)方面的數(shù)學(xué)書。?
? ?☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆?

? ?運算法則：任意取橢圓曲線上兩點P、Q （若P、Q兩點重合，則做P點的切線）做直線交于橢圓曲線的另一點R’，過R’做y軸的平行線交于R。我們規(guī)定P+Q=R。（如圖）?

法則詳解：?
? ?▲這里的+不是實數(shù)中普通的加法，而是從普通加法中抽象出來的加法，他具備普通加法的一些性質(zhì)，但具體的運算法則顯然與普通加法不同。?

? ?▲根據(jù)這個法則，可以知道橢圓曲線無窮遠(yuǎn)點O∞與橢圓曲線上一點P的連線交于P’，過P’作y軸的平行線交于P，所以有 無窮遠(yuǎn)點 O∞+ P = P 。這樣，無窮遠(yuǎn)點 O∞的作用與普通加法中零的作用相當(dāng)（0+2=2），我們把無窮遠(yuǎn)點 O∞ 稱為?零元。同時我們把P’稱為P的負(fù)元（簡稱，負(fù)P；記作，-P）。（參見下圖）?

? ?▲根據(jù)這個法則，可以得到如下結(jié)論 ：如果橢圓曲線上的三個點A、B、C，處于同一條直線上，那么他們的和等于零元，即A+B+C= O∞?

? ?▲k個相同的點P相加，我們記作kP。如下圖：P+P+P = 2P+P = 3P。

下面，我們利用P、Q點的坐標(biāo)(x₁,y₁)，(x₂,y₂)，求出R=P+Q的坐標(biāo)(x₄,y₄)。?

? ?例4.1：求橢圓曲線方程y²+a₁xy+a₃y=x³+a₂x²+a₄x+a₆上，平常點P(x₁,y₁)，Q(x₂,y₂)的和R(x₄,y₄)的坐標(biāo)。?
? ?解：（1）先求點-R(x₃,y₃)?
? ?因為P,Q,-R三點共線，故設(shè)共線方程為y=kx+b,其中?
? ?若P≠Q(mào)(P,Q兩點不重合) 則?
? ? ? ?直線斜率k=(y₁-y₂)/(x₁-x₂)?
? ?若P=Q(P,Q兩點重合) 則直線為橢圓曲線的切線，故由例3.1可知：?
? ? ? ?k=(3x₂+2a₂x+a₄?-a₁y) /(2y+a₁x+a₃)?

? ?因此P,Q,-R三點的坐標(biāo)值就是方程組：?
? ? ? ?y²+a₁xy+a₃y=x³+a₂x²+a₄x+a₆?? ?-----------------[1]?
? ? ? ?y=(kx+b) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? -----------------[2]?
? ?的解。?

? ?將[2]，代入[1] 有?
? ? ? (kx+b)²+a₁x(kx+b)+a₃(kx+b) =x³+a₂x²+a₄x+a₆?? ?--------[3]?
? ?對[3]化為一般方程，根據(jù)三次方程根與系數(shù)關(guān)系（當(dāng)三次項系數(shù)為1時；-x₁x₂x₃?等于常數(shù)項系數(shù)， x₁x₂+x₂x₃+x₃x₁等于一次項系數(shù)，-(x₁+x₂+x₃)等于二次項系數(shù)。）?
? ?所以-(x₁+x₂+x₃)=a₂-ka₁-k²?
? ?x₃=k²+ka₁+a₂+x₁+x₂;---------------------求出點-R的橫坐標(biāo)?
? ?因為k=(y₁-y₃)/(x₁-x₃) 故?
? ?y₃=y₁-k(x₁-x₃);-------------------------------求出點-R的縱坐標(biāo)?

? （2）利用-R求R?
? ?顯然有 x₄=x₃= k²+ka₁+a₂+x₁+x₂; ------------求出點R的橫坐標(biāo)?
? ?而y₃?y₄?為 x=x₄時 方程y²+a₁xy+a₃y=x₃+a₂x₂+a₄x+a₆的解?
? ?化為一般方程y²+(a₁x+a₃)y-(x³+a₂x²+a₄x+a₆)=0 , 根據(jù)二次方程根與系數(shù)關(guān)系得：?
? ? ? ?-(a₁x+a₃)=y₃+y₄?
? ?故y₄=-y₃-(a₁x+a₃)=k(x₁-x₄)-y₁-(a₁x₄+a₃); ---------------求出點R的縱坐標(biāo)?
? ?即：?
? ? ? ?x₄=k²+ka₁+a₂+x₁+x₂;?
? ? ? ?y₄=k(x₁-x₄)-y₁-a₁x₄-a₃;?

? ?本節(jié)的最后，提醒大家注意一點，以前提供的圖像可能會給大家產(chǎn)生一種錯覺，即橢圓曲線是關(guān)于x軸對稱的。事實上，橢圓曲線并不一定關(guān)于x軸對稱。如下圖的y²-xy=x³+1?

五、密碼學(xué)中的橢圓曲線?

? ?我們現(xiàn)在基本上對橢圓曲線有了初步的認(rèn)識，這是值得高興的。但請大家注意，前面學(xué)到的橢圓曲線是連續(xù)的，并不適合用于加密；所以，我們必須把橢圓曲線變成離散的點。?
? ?讓我們想一想，為什么橢圓曲線為什么連續(xù)？是因為橢圓曲線上點的坐標(biāo)，是實數(shù)的（也就是說前面講到的橢圓曲線是定義在實數(shù)域上的），實數(shù)是連續(xù)的，導(dǎo)致了曲線的連續(xù)。因此，我們要把橢圓曲線定義在有限域上（顧名思義，有限域是一種只有由有限個元素組成的域）。?

☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆?
? ?域的概念是從我們的有理數(shù)，實數(shù)的運算中抽象出來的，嚴(yán)格的定義請參考近世代數(shù)方面的書。簡單的說，域中的元素同有理數(shù)一樣，有自己得的加法、乘法、除法、單位元(1)，零元(0),并滿足交換率、分配率。?
☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆?

? ?下面，我們給出一個有限域F_p，這個域只有有限個元素。?
? ?
? ?F_p中只有p（p為素數(shù)）個元素0,1,2 …… p-2,p-1；?
? ?F_p?的加法（a+b）法則是 a+b≡c (mod p)；即，(a+c)÷p的余數(shù) 和c÷p的余數(shù)相同。?
? ?F_p?的乘法(a×b)法則是 ?a×b≡c (mod p)；?
? ?F_p?的除法(a÷b)法則是 ?a/b≡c (mod p)；即 a×b^-1≡c ?(mod p)；（b^-1也是一個0到p-1之間的整數(shù)，但滿足b×b^-1≡1 (mod p)；具體求法可以參考初等數(shù)論。?
? ?F_p?的單位元是1，零元是 0。?

? ?同時，并不是所有的橢圓曲線都適合加密。y²=x³+ax+b是一類可以用來加密的橢圓曲線，也是最為簡單的一類。下面我們就把y²=x³+ax+b 這條曲線定義在F_p上：?

? ?選擇兩個滿足下列條件的小于p(p為素數(shù))的非負(fù)整數(shù)a、b?
? ? ? 4a³+27b²≠0　(mod p)?
? ?則滿足下列方程的所有點(x,y)，再加上 無窮遠(yuǎn)點O∞ ，構(gòu)成一條橢圓曲線。?
? ? ?y²=x³+ax+b ?(mod p)?
? ?其中 x,y屬于0到p-1間的整數(shù)，并將這條橢圓曲線記為Ep(a,b)。?

? ?我們看一下y²=x³+x+1 ?(mod 23)的圖像?

? ?是不是覺得不可思議？橢圓曲線，怎么變成了這般模樣，成了一個一個離散的點？?
? ?橢圓曲線在不同的數(shù)域中會呈現(xiàn)出不同的樣子，但其本質(zhì)仍是一條橢圓曲線。舉一個不太恰當(dāng)?shù)睦?#xff0c;好比是水，在常溫下，是液體；到了零下，水就變成冰，成了固體；而溫度上升到一百度，水又變成了水蒸氣。但其本質(zhì)仍是H₂O。?

? ?F_p上的橢圓曲線同樣有加法，但已經(jīng)不能給以幾何意義的解釋。不過，加法法則和實數(shù)域上的差不多，請讀者自行對比。?

? ?1 無窮遠(yuǎn)點 O∞是零元，有O∞+ O∞= O∞，O∞+P=P?
? ?2 P(x,y)的負(fù)元是 (x,-y)，有P+(-P)= O∞?
? ?3 P(x₁,y₁),Q(x₂,y₂)的和R(x₃,y₃) 有如下關(guān)系：?
? ? ?x₃≡k²-x₁-x₂(mod p)?
? ? ?y₃≡k(x₁-x₃)-y₁(mod p)?
? ? ?其中若P=Q 則 k=(3x²+a)/2y₁??若P≠Q(mào)，則k=(y₂-y₁)/(x₂-x₁)?

? ?例5.1 已知E23(1,1)上兩點P(3,10)，Q(9,7)，求1)-P，2)P+Q，3) 2P。?
? ?解 1) ?–P的值為(3,-10)?
? ? ? 2) ?k=(7-10)/(9-3)=-1/2，2的乘法逆元為12 因為2*12≡1 (mod 23)?
? ? ? ? ? k≡-1*12 (mod 23) 故 k=11。?
? ? ? ? ? x=11²-3-9=109≡17 (mod 23);?
? ? ? ? ? y=11[3-(-6)]-10=89≡20 (mod 23)?
? ? ? ? ? 故P+Q的坐標(biāo)為(17,20)?
? ? ? 3) ?k=[3(3²)+1]/(2*10)=1/4≡6 (mod 23)?
? ? ? ? ? x=6²-3-3=30≡20 (mod 23)?
? ? ? ? ? y=6(3-7)-10=-34≡12 (mod 23)?
? ? ? ? ? 故2P的坐標(biāo)為(7,12)?
??? ??
? ?最后，我們講一下橢圓曲線上的點的階。?
? ?如果橢圓曲線上一點P，存在最小的正整數(shù)n，使得數(shù)乘nP=O∞，則將n稱為P的?階，若n不存在，我們說P是無限階的。?
? ?事實上，在有限域上定義的橢圓曲線上所有的點的階n都是存在的（證明，請參考近世代數(shù)方面的書）?

練習(xí)：?
? 1 求出E₁₁(1,6)上所有的點。?
? 2 已知E₁₁(1,6)上一點G(2,7)，求2G到13G所有的值。?

六、橢圓曲線上簡單的加密/解密?

? ?公開密鑰算法總是要基于一個數(shù)學(xué)上的難題。比如RSA 依據(jù)的是：給定兩個素數(shù)p、q 很容易相乘得到n，而對n進(jìn)行因式分解卻相對困難。那橢圓曲線上有什么難題呢？?

? ?考慮如下等式：?
? ?K=kG ?[其中 K,G為Ep(a,b)上的點，k為小于n（n是點G的階）的整數(shù)]?
? ?不難發(fā)現(xiàn)，給定k和G，根據(jù)加法法則，計算K很容易；但給定K和G，求k就相對困難了。?
? ?這就是橢圓曲線加密算法采用的難題。我們把點G稱為基點（base point），k（k<n，n為基點G的階）稱為私有密鑰（privte key），K稱為公開密鑰（public key)。?

? ?現(xiàn)在我們描述一個利用橢圓曲線進(jìn)行加密通信的過程：?

? ?1、用戶A選定一條橢圓曲線Ep(a,b)，并取橢圓曲線上一點，作為基點G。?
? ?2、用戶A選擇一個私有密鑰k，并生成公開密鑰K=kG。?
? ?3、用戶A將Ep(a,b)和點K，G傳給用戶B。?
? ?4、用戶B接到信息后 ，將待傳輸?shù)拿魑木幋a到Ep(a,b)上一點M（編碼方法很多，這里不作討論），并產(chǎn)生一個隨機(jī)整數(shù)r（r<n）。?
? ?5、用戶B計算點C₁=M+rK；C₂=rG。?
? ?6、用戶B將C₁、C₂傳給用戶A。?
? ?7、用戶A接到信息后，計算C₁-kC₂，結(jié)果就是點M。因為?
? ? ? ? ? C₁-kC₂=M+rK-k(rG)=M+rK-r(kG)=M?
? ? ? 再對點M進(jìn)行解碼就可以得到明文。?

? ?在這個加密通信中，如果有一個偷窺者H ，他只能看到Ep(a,b)、K、G、C₁、C₂?而通過K、G 求k 或通過C₂、G求r 都是相對困難的。因此，H無法得到A、B間傳送的明文信息。?

密碼學(xué)中，描述一條Fp上的橢圓曲線，常用到六個參量：?
? ? ? ?T=(p,a,b,G,n,h)。?
? ?（p 、a 、b 用來確定一條橢圓曲線，?
? ?G為基點，?
? ?n為點G的階，?
? ?h 是橢圓曲線上所有點的個數(shù)m與n相除的整數(shù)部分）?

? ?這幾個參量取值的選擇，直接影響了加密的安全性。參量值一般要求滿足以下幾個條件：?

? ?1、p 當(dāng)然越大越安全，但越大，計算速度會變慢，200位左右可以滿足一般安全要求；?
? ?2、p≠n×h；?
? ?3、p^t≠1 (mod n)，1≤t<20；?
? ?4、4a³+27b²≠0 (mod p)；?
? ?5、n 為素數(shù)；?
? ?6、h≤4。?

七、橢圓曲線在軟件注冊保護(hù)的應(yīng)用?

???我們知道將公開密鑰算法作為軟件注冊算法的好處是Cracker很難通過跟蹤驗證算法得到注冊機(jī)。下面，將簡介一種利用Fp(a,b)橢圓曲線進(jìn)行軟件注冊的方法。

? ?軟件作者按如下方法制作注冊機(jī)（也可稱為簽名過程）?

? ?1.選擇一條橢圓曲線Ep(a,b)和橢圓上的一點作為基點G;

? ?2.選擇私有密鑰k(k<n,n為G的階)，利用基點G計算公開密鑰K=kG;

? ?3.產(chǎn)生一個隨機(jī)整數(shù)r(r<n)，計算點R=rG;

? ?4.將用戶名和點R的坐標(biāo)值x,y作為參數(shù)，計算SHA值，即Hash=SHA(username,x,y)

? ?5.計算sn≡ r - Hash * k(mod n)

? ?6.將sn和hash作為用戶名username的序列號。

軟件驗證過程如下：（軟件中存有橢圓曲線Ep(a,b)，和基點G，公開密鑰K）

? 1、從用戶輸入的序列號中，提取sn以及Hash;

? 2、計算點R=sn * G + Hash * k (mod p),如果sn,Hash正確，其值等于軟件作者簽名過程中的點R(x,y)的坐標(biāo)，因為sn≡ r - Hash * k(mod n)

? ? ?所以 sn*G+Hash*K = (r-Hash*k)*G + Hash*K = rG-Hash*kG +Hash*K = rG - Hash*K + Hash*k = rG = R

? 3、將用戶名和點R的坐標(biāo)值x,y作為參數(shù)，計算H = SHA(username,x,y);

? 4、如果H=Hash則注冊成功。如果H !=HASH，則注冊失敗。

簡單對比一下兩個過程：

作者簽名用到了：橢圓曲線Ep(a,b),基點G,私鑰k,及隨機(jī)數(shù)r

軟件驗證用到了：橢圓曲線Ep(a,b),基點G，公開密鑰K。

Cracker要想制作注冊機(jī)，只能通過軟件中的Ep(a,b)，點G,公開密鑰K，并利用K=kG這個關(guān)系獲得k后，才可以。而求k是很困難的。

練習(xí)：?
? ?下面也是一種常于軟件保護(hù)的注冊算法，請認(rèn)真閱讀，并試回答簽名過程與驗證過程都用到了那些參數(shù)，Cracker想制作注冊機(jī)，應(yīng)該如何做。?

? ?軟件作者按如下方法制作注冊機(jī)（也可稱為簽名過程）?
? ?1、選擇一條橢圓曲線Ep(a,b)，和基點G；?
? ?2、選擇私有密鑰k（k<n），利用基點G計算公開密鑰K=kG；?
? ?3、產(chǎn)生一個隨機(jī)整數(shù)r（r<n），計算點R(x,y)=rG；?
? ?4、將用戶名作為參數(shù)，計算Hash=SHA(username)；?
? ?5、計算 x’=x ?(mod n)?
? ?6、計算sn≡(Hash+x’*k)/r (mod n)?
? ?7、將sn和x’作為 用戶名username的序列號?

? ?軟件驗證過程如下：(軟件中存有橢圓曲線Ep(a,b)，和基點G，公開密鑰K)?
? ?1、從用戶輸入的序列號中，提取sn以及x’；?
? ?2、將用戶名作為參數(shù)，計算Hash=SHA(username)；?
? ?3、計算 R=(Hash*G+x’*K)/sn，如果sn、Hash正確,其值等于軟件作者簽名過程中點R(x,y)，因為?
? ? ? sn≡(Hash+x’*k)/r (mod n)?
? ? ? 所以?
? ? ? ?(Hash*G+x’*K)/sn?
? ? ? =(Hash*G+x’*K)/[(Hash+x’*k)/r]?
? ? ? =(Hash*G+x’*K)/[(Hash*G+x’*k*G)/(rG)]?
? ? ? =rG*[(Hash*G+x’*K)/(Hash*G+x’*K)]?
? ? ? =rG=R (mod p)?
? ?4、v≡x (mod n)?
? ?5、如果v=x’ 則注冊成功。如果v≠x’ ，則注冊失敗。?


八、結(jié)語?

? ?歷經(jīng)半個多月斷斷續(xù)續(xù)的寫作，這篇拙作終于算告一段落了。為寫這篇文章，我查了大量的資料，但為了使文章更通俗易懂，我盡量避免涉及專業(yè)術(shù)語，F₂n域上的橢圓曲線本文也沒有涉及。不過，一些名詞描述的可能還不太精確，希望眾讀者對文章的問題，多多批評指正。我也僅僅把這篇文章作為初稿，我會不斷修訂他的。最后感謝看雪、Sunbird、CCG以及看雪論壇所有成員對我的支持，感謝一切幫助過我的人，沒有你們的鼓勵，這篇文章我是沒有動力寫完的，謝謝，謝謝大家！?


2003-5-3 初稿，于看雪論壇?
2004-7-11二稿，修正一張圖片

<全文完>?


主要參考文獻(xiàn)?

張禾瑞，《近世代數(shù)基礎(chǔ)》，高等教育出版社，1978?
閔嗣鶴 嚴(yán)士健，《初等數(shù)論》，高等教育出版社，1982?
段云所，《網(wǎng)絡(luò)信息安全》第三講，北大計算機(jī)系?
Michael Rosing ，chapter5《Implementing Elliptic Curve Cryptography》，Softbound，1998?
《SEC 1: Elliptic Curve Cryptography》，Certicom Corp.，2000?
《IEEE P1363a / D9》，2001?


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總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的ecc算法入门介绍的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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