作者 | 小灰

來源 | 程序員小灰

————— 第二天 —————

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首先看看第一個例子，有下面這樣一個帶權圖：

它的最小生成樹是什么樣子呢？下圖綠色加粗的邊可以把所有頂點連接起來，又保證了邊的權值之和最小：

去掉那些多余的邊，該圖的最小生成樹如下：

下面我們再來看一個更加復雜的帶權圖：

同樣道理，下圖綠色加粗的邊可以把所有頂點連接起來，又保證了邊的權值之和最小：

去掉那些多余的邊，該圖的最小生成樹如下：

怎樣鋪設才能保證成本最低呢？

城市之間的交通網就像一個連通圖，我們并不需要在每兩個城市之間都直接進行連接，只需要一個最小生成樹，保證所有的城市都有鐵路可以觸達即可。

Prim算法是如何工作的呢？

這個算法是以圖的頂點為基礎，從一個初始頂點開始，尋找觸達其他頂點權值最小的邊，并把該頂點加入到已觸達頂點的集合中。當全部頂點都加入到集合時，算法的工作就完成了。Prim算法的本質，是基于貪心算法。

接下來說一說最小生成樹的存儲方式。我們最常見的樹的存儲方式，是鏈式存儲，每一個節點包含若干孩子節點的指針，每一個孩子節點又包含更多孩子節點的指針：

這樣的存儲結構很清晰，但是也相對麻煩。為了便于操作，我們的最小生成樹用一維數組來表達，數組下標所對應的元素，代表該頂點在最小生成樹當中的父親節點。(根節點沒有父親節點，所以元素值是-1)

下面讓我們來看一看算法的詳細過程：

1.選擇初始頂點，加入到已觸達頂點集合。

2.從已觸達頂點出發，尋找到達新頂點的權值最小的邊。顯然從0到2的邊權值最小，把頂點2加入到已觸達頂點集合，Parents當中，下標2對應的父節點是0。

3.從已觸達頂點出發，尋找到達新頂點的權值最小的邊。顯然從2到4的邊權值最小，把頂點4加入到已觸達頂點集合，Parents當中，下標4對應的父節點是2。

4.從已觸達頂點出發，尋找到達新頂點的權值最小的邊。顯然從0到1的邊權值最小，把頂點1加入到已觸達頂點集合，Parents當中，下標1對應的父節點是0。

5.從已觸達頂點出發，尋找到達新頂點的權值最小的邊。顯然從1到3的邊權值最小，把頂點3加入到已觸達頂點集合，Parents當中，下標3對應的父節點是1。

這樣一來，所有頂點都加入到了已觸達頂點集合，而最小生成樹就存儲在Parents數組當中。

final static int INF = Integer.MAX_VALUE;

public static int prim(int[][] matrix){

List reachedVertexList = new ArrayList;

//選擇頂點0為初始頂點，放入已觸達頂點集合中

reachedVertexList.add(0);

//創建最小生成樹數組，首元素設為-1

int parents = new int[matrix.length];

parents[0] = -1;

//邊的權重

int weight;

//源頂點下標

int fromIndex = 0;

//目標頂點下標

int toIndex = 0;

while (reachedVertexList.size < matrix.length) {

weight = INF;

//在已觸達的頂點中，尋找到達新頂點的最短邊

for (Integer vertexIndex : reachedVertexList) {

for (int i = 0; i < matrix.length; i++) {

if (!reachedVertexList.contains(i)) {

if (matrix[vertexIndex][i] < weight) {

fromIndex = vertexIndex;

toIndex = i;

weight = matrix[vertexIndex][i];

}

}

}

}

//確定了權值最小的目標頂點，放入已觸達頂點集合

reachedVertexList.add(toIndex);

//放入最小生成樹的數組

parents[toIndex] = fromIndex;

}

return parents;

}

public static void main(String[] args) {

int matrix = new int{

{0, 4, 3, INF, INF},

{4, 0, 8, 7, INF},

{3, 8, 0, INF, 1},

{INF, 7, INF, 0, 9},

{INF, INF, 1, 9, 0},

};

int parents = prim(matrix);

System.out.println(Arrays.toString(parents));

}

這段代碼當中，圖的存儲方式是鄰接矩陣，在main函數中作為測試用例的圖和對應的鄰接矩陣如下：

當然，也可以使用鄰接表來實現prim算法，有興趣的小伙伴可以嘗試寫一下代碼。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的有向图生成树是如何画的_漫画：什么是最小生成树？的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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