Ch0【引言】

本文是作者的一個(gè)總結(jié)，力圖在極度繁雜的數(shù)理知識(shí)體系中摘選出那些最廣泛應(yīng)用的核心工具及思想。
本文主要關(guān)注的問題都是非線性的、動(dòng)態(tài)的。具體地講，主要涉及的是：微分動(dòng)力系統(tǒng)、泛函的最優(yōu)化初步（但不涉及最優(yōu)控制及微分博弈，這塊內(nèi)容會(huì)另立文章。）

Ch1【動(dòng)態(tài)系統(tǒng)理論】

——1.1局部理論
線性系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)行為是人類研究得比較透徹的領(lǐng)域，而非線性動(dòng)力學(xué)的研究則是相當(dāng)困難的。實(shí)踐中，我們面對一個(gè)非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)，總是首先想到在工作點(diǎn)附近將其線性化，將其作為一個(gè)局部線性的系統(tǒng)加以研究（Hartman-Grobman定理）。可線性化的非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)局部拓?fù)涞葍r(jià)于其線性化系統(tǒng)（下圖清楚地展示了非線性系統(tǒng)與線性系統(tǒng)的拓?fù)涞葍r(jià)）。在這里，研究可線性化系統(tǒng)局部穩(wěn)定性問題時(shí)，非線性映射的Jacobi矩陣及其譜半徑（請與線性泛函理論聯(lián)系起來）的估計(jì)起到了核心作用。

對于Jaboci矩陣特征值為0的特殊情況，我們就不能使用強(qiáng)大的Hartman線性化定理，這時(shí)候需要所謂的"中心流形定理"。該定理的思想是將原本的復(fù)雜高維非線性系統(tǒng)降維到它的中心流形上，研究它在中心流形上的拓?fù)湫再|(zhì)（比如穩(wěn)定性、分岔等），從而得出原系統(tǒng)的局部動(dòng)態(tài)行為。

上圖展示的一個(gè)線性系統(tǒng)具備有穩(wěn)定子空間

和不穩(wěn)定子空間 。對于非線性系統(tǒng)，相應(yīng)的穩(wěn)定流形 與不穩(wěn)定流形 ，與線性化系統(tǒng)的穩(wěn)定子空間與不穩(wěn)定子空間相切。如下圖所示。

——1.2全局理論
研究緊流形上動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的全局性質(zhì)，我們常用的方法就是李雅普諾夫（Liapunov）函數(shù)法。但要注意，緊流形的緊性是不可或缺的。

下面這段的內(nèi)容可能是艱深的。
除此之外，微分拓?fù)渲械腜oincare-Hopf定理將流形上動(dòng)態(tài)系統(tǒng)孤立零點(diǎn)（孤立平衡點(diǎn)）的拓?fù)涠?#xff08;Brouwer度）與同調(diào)群的維數(shù)聯(lián)系起來，非常深刻。工程類以及數(shù)理經(jīng)濟(jì)類的學(xué)者可能對同調(diào)論非常陌生，但并不影響本文的閱讀體驗(yàn)。我們可以用這個(gè)定理來估計(jì)高維流形上非線性動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的平衡點(diǎn)的個(gè)數(shù)。可以設(shè)想，如果系統(tǒng)有非常多的孤立零點(diǎn)，那么它的相軌跡可能是極端復(fù)雜的。一般地，我們都是研究緊流形上的動(dòng)態(tài)系統(tǒng)，想辦法構(gòu)造在邊界上指向流形內(nèi)部的向量場，依據(jù)Hopf定理，我們可以導(dǎo)出孤立零點(diǎn)Brouwer指數(shù)和為1的結(jié)論，為高維流形上非線性動(dòng)力學(xué)相軌跡的全局性態(tài)奠定了"拓?fù)?#34;的基調(diào)。

這些內(nèi)容光說肯定不行，看圖。

比如，如果孤立零點(diǎn)的指數(shù)是-1，那么該平衡點(diǎn)就是動(dòng)力系統(tǒng)的鞍點(diǎn)。

接下來考察一個(gè)3維歐幾里德空間中的2維流形（一個(gè)半球面），你一定會(huì)深有感觸：

由于向量場邊界指向內(nèi)部，由Poincare-Hopf定理，其指數(shù)和為1。第三個(gè)平衡點(diǎn)是鞍點(diǎn)，第2個(gè)、第1個(gè)是源和匯。系統(tǒng)形成了一個(gè)流形上的極限環(huán)。

事實(shí)上，上述方法是經(jīng)濟(jì)學(xué)中一般均衡研究的前沿。而該向量場，就被稱為“看不見的手”，引導(dǎo)著我們?nèi)プ穼つ莻€(gè)“一般”均衡點(diǎn)（市場出清）。

【Ch2.最優(yōu)化理論】
這里主要還是總結(jié)非線性規(guī)劃。非線性規(guī)劃的核心在于Kuhn-Tucker定理。這個(gè)定理直觀的幾何圖景就是:目標(biāo)函數(shù)（包括泛函!）水平集的梯度應(yīng)當(dāng)與約束流形的切空間垂直。為了保證約束條件可以構(gòu)成一個(gè)光滑流形（從而有切空間）而非其他什么亂七八糟的拓?fù)淞餍?#xff0c;我們要求約束條件應(yīng)當(dāng)滿足約束規(guī)范，即所謂的Jacobi矩陣滿秩。

值得一提的是，Kuhn-Tucker定理對于泛函依舊是成立的。為什么？問題的關(guān)鍵在于分離超平面定理在無窮維線性空間也是成立的!（也即所謂的Hahn-Banach定理，泛函分析的基石之一），其次的原因就是泛函分析中的Frechet微分保留了幾乎所有初等微分學(xué)中我們熟悉的性質(zhì)（鏈?zhǔn)椒▌t與隱函數(shù)定理）。

下面列舉一個(gè)將Kuhn-Tucker定理應(yīng)用于無窮維空間非線性規(guī)劃的例子。（讀碩士時(shí)的筆記）

Kuhn-tucker條件就是1、2、3，與有限維非線性規(guī)劃一樣。

當(dāng)然我們可以將它運(yùn)用到隨機(jī)優(yōu)化中，只要注意到數(shù)學(xué)期望是一個(gè)積分算子。

對于最優(yōu)控制的泛函理論，我會(huì)專門另立文章加以闡述。這是一類特殊的變分問題。分段連續(xù)最優(yōu)控制需要泛函分析的對偶空間理論以及Frechet微分、無限維空間的反函數(shù)定理。

【Ch3.拓?fù)浞椒ā?/p>

這塊內(nèi)容比較高深，但也算不上艱深。面對許多算子方程（比如系統(tǒng)建模中經(jīng)常遇到的微分方程、積分方程、隨機(jī)動(dòng)態(tài)規(guī)劃的基本方程:Bellman方程等，還有在非線性動(dòng)態(tài)系統(tǒng)中，研究周期軌道，我們需要面對著名的Poincare映射），我們需要確定其解的存在性或者研究映射的不動(dòng)點(diǎn)。

上圖是Poincare映射的一個(gè)例子。討論周期軌道，我們選取一個(gè)超曲面與相軌跡橫截，通過一次次回路，我們在截面打出一個(gè)個(gè)交點(diǎn)——形成一個(gè)離散動(dòng)力系統(tǒng)。這個(gè)離散動(dòng)力系統(tǒng)的不動(dòng)點(diǎn)問題，就等價(jià)于周期軌的存在性問題。

拓?fù)涠茸鳛橐环N研究不動(dòng)點(diǎn)理論"奧義"般的存在，對非線性科學(xué)來說，無疑是極為重要的。要證明算子方程f(x)=p有解，我們可以"萬象歸一"地總結(jié)為證明deg(f,Ω,p)不為0，而證明拓?fù)涠炔粸?，最常用的思路有:1.與恒等映射同倫，or，2.與簡單的映射同倫，然后計(jì)算簡單的映射的Jaboci行列式即可（根據(jù)映射度的定義，如下圖）。

可惜的是，拓?fù)涠仍跓o限維空間中僅對緊算子有用（無奈的攤手）。

對于拓?fù)涠?#xff0c;我們暫時(shí)點(diǎn)到為止，因?yàn)樗赡芫褪窍缕恼隆F(xiàn)代變分法與臨界點(diǎn)理論的主角之一。

【完】

以上僅僅幾例，希望能幫助大家體會(huì)現(xiàn)代數(shù)學(xué)的強(qiáng)大力量。

推薦研讀書目，亦是本文參考書目：

1.米爾諾《從微分觀點(diǎn)看拓?fù)洹?/p>

2.艾伯哈特-宰德勒《非線性泛函分析及其應(yīng)用：卷1，不動(dòng)點(diǎn)理論》

3.施爾尼科夫《非線性動(dòng)力學(xué)定性理論方法，卷1》

對于現(xiàn)代數(shù)學(xué)的隨機(jī)部分：隨機(jī)微分方程理論，知乎上說得已經(jīng)不少，不再重復(fù)。之所以在這里提一下，是因?yàn)樗彩乾F(xiàn)代數(shù)學(xué)的主流之一，更是金融數(shù)學(xué)的支柱。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的非线性动力学_非线性科学中的现代数学方法：综述的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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