場的概念 | 方向導數與梯度 | 通量與散度 | 環量與旋度 | 典型矢量場 | 哈密頓算子

---

• 場的概念

1.場：如果在全部空間或部分空間里的每一點，都對應著某個物理量的一個確定的值，即在這個空間里確定了該物理量的一個場。（數量場/矢量場 、穩定場/不穩定場）

2.數量場的等值面：數量場u=u(M)（即u=u(x,y,z)），由場中使函數u取相同數值的點所組成的曲面（假設這個函數單值連續且具有連續一階偏導數，由隱函數存在定理，各連續偏導數不全為零時，這種等值面一定存在）同理可定義等值線

3.矢量場的矢量線：每一點都與對應于該點的矢量相切的曲線（在流體力學中，此為流線定義） 矢量線需滿足的微分方程

（Ax,Ay,Az為場矢量坐標分量）

4.矢量場矢量面：對于場中任意一條曲線C（非矢量線），在其上每一點處，有且僅有一條矢量線經過，這些矢量線構成矢量面，特別地，當曲線C為封閉曲線時，通過C的矢量面構成管型曲面（矢量管）

5.平行平面場：常見的、具有一定幾何特點的場

平行平面矢量場：場內所有矢量均平行于某一平面q；在垂直于平面q的任一直線的所有點上，矢量的大小和方向都相同

平行平面數量場：垂直于場中某一直線l的所有平行平面上，數量u的分布情況都是相同的， 或者說，在場中與直線l平行的任意一條直線的所有點上，數量u都相同

---

• 方向導數與梯度（數量場）

1.方向導數：設

為數量場u=u(M)中的一點，從點 出發引出一條射線l，在l上點 的鄰近取一動點M，記 =p，若當 趨近于M時，比式 的 極限存在，則稱此極限為函數在點 處沿l方向的方向導數，記作

（方向導數即為在某一個點

處沿方向l，函數對距離的變化率）

2.在直角坐標系中，若函數u=u(x,y,z)在點M0(x0,y0,z0)處可微，則函數u在點M0處沿l方向的偏導數必存在且其數值由如下公式給出

， ， 為方向l的方向余弦

3.若在有向曲線C上取定一點

作為計算弧長s的起點，并以C之正向作為s增大的方向；M為C上的一點，在點M處沿C之正向作一與C相切的射線l，則當u在點M處可微，曲線C光滑時時，有 ; （ 為函數u在點M處沿曲線C正向的方向導數）

4.梯度：若在數量場u(M)中的一點處，存在這樣一個矢量G，其方向為函數u(M)在M點處變化率最大的方向，其模也正好是這個最大變化率的數值，則稱G為函數u(M)在點M處的梯度，記作

u，即 u=G （梯度的定義與坐標系無關，僅有分布決定）

5.梯度性質：函數u沿l方向的方向導數等于梯度在該方向上的投影；數量場u(M)中每一點M處的梯度垂直于過該點的等值面，且指向函數u(M)增大的一方，即等值面上任意一點處的單位法矢量n可定義為

；梯度運算的基本法則和微分運算法則一致。

---

• 通量與散度（矢量場）

簡單曲線：沒有重點的連續曲線；簡單曲面：沒有重點的連續曲面。

2. 有向曲面：取定外側為正側的曲面

3. 通量：設有矢量場A(M)，沿其中有向曲面S某一側的曲面積分

（矢量場A向積分所沿一側穿過曲面S的通量）

若封閉曲面s通量大于零，則s內存在源，反之則說明s內有匯。

4. 散度：設有矢量場A(M)，于場中一點M的某個鄰域內作一包含M點的任意閉曲面

，設其所包圍的空間區域為 ，以 表示其體積，以 表示從其內穿出S的通量。若當 以任意方式縮向點M時，比式 極限存在，則稱此極限為矢量場A在點M處的散度，記作 div A，即

散度div A為純量，表示場中一點處通量對體積的變化率，即該點處對一個單位體積來說所穿出之通量，即該處源的強度；div A=0時，矢量場A為無源場

在直角坐標系中，

5. 散度運算基本法則

（c為常數，u為數性函數）

6. 通量與散度關系：

7. 平面矢量場法向矢量：規定其沿逆時針旋轉 90度與切向矢量重合

8. 平面矢量場的通量：平面矢量場

中沿其中某一有向曲線 的曲線積分 （對于封閉曲線，總是規定逆時針方向為正向）

9.平面矢量場的散度：設有平面矢量場

，于場中一點M的某個鄰域內作一包含M點在內的任一閉曲線 ，設其所包圍平面區域為 ，以 表示其面積，以 表示其從內穿出 的通量。若當 以任意方式縮向M點時，比式 的極限存在，則稱此極限為矢量場A在點M處的散度。

---

• 環量與旋度（矢量場）

1. 環量：沿矢量場A中某一封閉的有向曲線l的曲線積分

2. 環量面密度：設M為矢量場A中一點，在點M處取定一個方向n，再過點M作任一微小曲面

，以 為其在點M處的法矢量，此曲面周界 與 構成右手螺旋關系，定義 的極限為環量面密度

在直角坐標系下

3. 旋度：若在矢量場A中的一點M處存在這樣一個矢量

，矢量場A在點M處沿其方向的環量面密度為最大，這個數值，正好就是 ，則稱矢量 為矢量場A在M處的旋度，記 ，即

在直角坐標系中

4. 旋度運算法則：

---

• 三種重要的矢量場（有勢場、管形場、調和場）

有勢場：設有矢量場A(M)，若存在單值函數u(M)，滿足 ，則稱這個矢量場為有勢場，令v=-u，則v為這個場的勢函數。

1）有勢場是一個梯度場；有勢場的勢函數有無窮個，它們之間只差一個常數

2）在線單連域內矢量場A為有勢場的充要條件時A為無旋場

3）“場有勢”“場無旋（rot A=0）”“場保守（場內曲線積分與路徑無關）”彼此等價

2.管形場：設有矢量場A(M)，若其散度div A=0，則稱這個矢量場為管形場（即為無源場）。

1） 在面單連域內矢量場A為管形場的充要條件：A為另一個矢量場B的旋度場，即

，滿足條件的矢量場B，稱為矢量場A的矢勢量。

2） 設管形場A所在的空間區域為一面單連域，在場中任取一個矢量管。假定

和 時它的任意兩個橫斷面，其法向量 和 都朝向矢量A所指的一側，則有

穿過同一個矢量管的所有橫斷面的通量都相等（常數，稱之為矢量管的強度）

3. 調和場：如果在矢量場A中恒有

和 ，稱此矢量場為調和場

1）勢函數u為調和函數，滿足拉普拉斯方程

為方便表述，我們引入微分算子

2）平面調和場：定義u為平面調和場A的力函數，則u與v構成共軛調和函數

---

• 哈密頓算子

1.引入哈密頓算子

引入數性微分算子

2. 運算規則

即

3. 奧斯特羅格拉茨基公式

4.格林公式

（格林公式推廣至三維即為斯托克斯公式）

5. 斯托克斯公式

4. 一些常見的公式（c為常數，

為常矢，u、v為數性函數， 、 為矢性函數）

5. 若

，則

（原方向上的單位矢量）

2019.12.19 BUAA Old Building

2019.12.20 BUAA Lib

2019.12.21 BUAA Dorm

/Elisabeth 2001 Essen Cast Recording/

/Cats Original Broadway Cast Recording/

/Mozart L'opera Rock Complete Recording/

創作挑戰賽新人創作獎勵來咯，堅持創作打卡瓜分現金大獎

總結

以上是生活随笔為你收集整理的r矢量球坐标系旋度_矢量与场论 | 场论的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網站內容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。