場(chǎng)的概念 | 方向?qū)?shù)與梯度 | 通量與散度 | 環(huán)量與旋度 | 典型矢量場(chǎng) | 哈密頓算子

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• 場(chǎng)的概念

1.場(chǎng)：如果在全部空間或部分空間里的每一點(diǎn)，都對(duì)應(yīng)著某個(gè)物理量的一個(gè)確定的值，即在這個(gè)空間里確定了該物理量的一個(gè)場(chǎng)。（數(shù)量場(chǎng)/矢量場(chǎng) 、穩(wěn)定場(chǎng)/不穩(wěn)定場(chǎng)）

2.數(shù)量場(chǎng)的等值面：數(shù)量場(chǎng)u=u(M)（即u=u(x,y,z)），由場(chǎng)中使函數(shù)u取相同數(shù)值的點(diǎn)所組成的曲面（假設(shè)這個(gè)函數(shù)單值連續(xù)且具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)，由隱函數(shù)存在定理，各連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)不全為零時(shí)，這種等值面一定存在）同理可定義等值線

3.矢量場(chǎng)的矢量線：每一點(diǎn)都與對(duì)應(yīng)于該點(diǎn)的矢量相切的曲線（在流體力學(xué)中，此為流線定義） 矢量線需滿足的微分方程

（Ax,Ay,Az為場(chǎng)矢量坐標(biāo)分量）

4.矢量場(chǎng)矢量面：對(duì)于場(chǎng)中任意一條曲線C（非矢量線），在其上每一點(diǎn)處，有且僅有一條矢量線經(jīng)過(guò)，這些矢量線構(gòu)成矢量面，特別地，當(dāng)曲線C為封閉曲線時(shí)，通過(guò)C的矢量面構(gòu)成管型曲面（矢量管）

5.平行平面場(chǎng)：常見(jiàn)的、具有一定幾何特點(diǎn)的場(chǎng)

平行平面矢量場(chǎng)：場(chǎng)內(nèi)所有矢量均平行于某一平面q；在垂直于平面q的任一直線的所有點(diǎn)上，矢量的大小和方向都相同

平行平面數(shù)量場(chǎng)：垂直于場(chǎng)中某一直線l的所有平行平面上，數(shù)量u的分布情況都是相同的， 或者說(shuō)，在場(chǎng)中與直線l平行的任意一條直線的所有點(diǎn)上，數(shù)量u都相同

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• 方向?qū)?shù)與梯度（數(shù)量場(chǎng)）

1.方向?qū)?shù)：設(shè)

為數(shù)量場(chǎng)u=u(M)中的一點(diǎn)，從點(diǎn) 出發(fā)引出一條射線l，在l上點(diǎn) 的鄰近取一動(dòng)點(diǎn)M，記 =p，若當(dāng) 趨近于M時(shí)，比式 的 極限存在，則稱此極限為函數(shù)在點(diǎn) 處沿l方向的方向?qū)?shù)，記作

（方向?qū)?shù)即為在某一個(gè)點(diǎn)

處沿方向l，函數(shù)對(duì)距離的變化率）

2.在直角坐標(biāo)系中，若函數(shù)u=u(x,y,z)在點(diǎn)M0(x0,y0,z0)處可微，則函數(shù)u在點(diǎn)M0處沿l方向的偏導(dǎo)數(shù)必存在且其數(shù)值由如下公式給出

， ， 為方向l的方向余弦

3.若在有向曲線C上取定一點(diǎn)

作為計(jì)算弧長(zhǎng)s的起點(diǎn)，并以C之正向作為s增大的方向；M為C上的一點(diǎn)，在點(diǎn)M處沿C之正向作一與C相切的射線l，則當(dāng)u在點(diǎn)M處可微，曲線C光滑時(shí)時(shí)，有 ; （ 為函數(shù)u在點(diǎn)M處沿曲線C正向的方向?qū)?shù)）

4.梯度：若在數(shù)量場(chǎng)u(M)中的一點(diǎn)處，存在這樣一個(gè)矢量G，其方向?yàn)楹瘮?shù)u(M)在M點(diǎn)處變化率最大的方向，其模也正好是這個(gè)最大變化率的數(shù)值，則稱G為函數(shù)u(M)在點(diǎn)M處的梯度，記作

u，即 u=G （梯度的定義與坐標(biāo)系無(wú)關(guān)，僅有分布決定）

5.梯度性質(zhì)：函數(shù)u沿l方向的方向?qū)?shù)等于梯度在該方向上的投影；數(shù)量場(chǎng)u(M)中每一點(diǎn)M處的梯度垂直于過(guò)該點(diǎn)的等值面，且指向函數(shù)u(M)增大的一方，即等值面上任意一點(diǎn)處的單位法矢量n可定義為

；梯度運(yùn)算的基本法則和微分運(yùn)算法則一致。

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• 通量與散度（矢量場(chǎng)）

簡(jiǎn)單曲線：沒(méi)有重點(diǎn)的連續(xù)曲線；簡(jiǎn)單曲面：沒(méi)有重點(diǎn)的連續(xù)曲面。

2. 有向曲面：取定外側(cè)為正側(cè)的曲面

3. 通量：設(shè)有矢量場(chǎng)A(M)，沿其中有向曲面S某一側(cè)的曲面積分

（矢量場(chǎng)A向積分所沿一側(cè)穿過(guò)曲面S的通量）

若封閉曲面s通量大于零，則s內(nèi)存在源，反之則說(shuō)明s內(nèi)有匯。

4. 散度：設(shè)有矢量場(chǎng)A(M)，于場(chǎng)中一點(diǎn)M的某個(gè)鄰域內(nèi)作一包含M點(diǎn)的任意閉曲面

，設(shè)其所包圍的空間區(qū)域?yàn)? ，以 表示其體積，以 表示從其內(nèi)穿出S的通量。若當(dāng) 以任意方式縮向點(diǎn)M時(shí)，比式 極限存在，則稱此極限為矢量場(chǎng)A在點(diǎn)M處的散度，記作 div A，即

散度div A為純量，表示場(chǎng)中一點(diǎn)處通量對(duì)體積的變化率，即該點(diǎn)處對(duì)一個(gè)單位體積來(lái)說(shuō)所穿出之通量，即該處源的強(qiáng)度；div A=0時(shí)，矢量場(chǎng)A為無(wú)源場(chǎng)

在直角坐標(biāo)系中，

5. 散度運(yùn)算基本法則

（c為常數(shù)，u為數(shù)性函數(shù)）

6. 通量與散度關(guān)系：

7. 平面矢量場(chǎng)法向矢量：規(guī)定其沿逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90度與切向矢量重合

8. 平面矢量場(chǎng)的通量：平面矢量場(chǎng)

中沿其中某一有向曲線 的曲線積分 （對(duì)于封閉曲線，總是規(guī)定逆時(shí)針?lè)较驗(yàn)檎?#xff09;

9.平面矢量場(chǎng)的散度：設(shè)有平面矢量場(chǎng)

，于場(chǎng)中一點(diǎn)M的某個(gè)鄰域內(nèi)作一包含M點(diǎn)在內(nèi)的任一閉曲線 ，設(shè)其所包圍平面區(qū)域?yàn)?，以 表示其面積，以 表示其從內(nèi)穿出 的通量。若當(dāng) 以任意方式縮向M點(diǎn)時(shí)，比式 的極限存在，則稱此極限為矢量場(chǎng)A在點(diǎn)M處的散度。

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• 環(huán)量與旋度（矢量場(chǎng)）

1. 環(huán)量：沿矢量場(chǎng)A中某一封閉的有向曲線l的曲線積分

2. 環(huán)量面密度：設(shè)M為矢量場(chǎng)A中一點(diǎn)，在點(diǎn)M處取定一個(gè)方向n，再過(guò)點(diǎn)M作任一微小曲面

，以 為其在點(diǎn)M處的法矢量，此曲面周界 與 構(gòu)成右手螺旋關(guān)系，定義 的極限為環(huán)量面密度

在直角坐標(biāo)系下

3. 旋度：若在矢量場(chǎng)A中的一點(diǎn)M處存在這樣一個(gè)矢量

，矢量場(chǎng)A在點(diǎn)M處沿其方向的環(huán)量面密度為最大，這個(gè)數(shù)值，正好就是 ，則稱矢量 為矢量場(chǎng)A在M處的旋度，記 ，即

在直角坐標(biāo)系中

4. 旋度運(yùn)算法則：

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• 三種重要的矢量場(chǎng)（有勢(shì)場(chǎng)、管形場(chǎng)、調(diào)和場(chǎng)）

有勢(shì)場(chǎng)：設(shè)有矢量場(chǎng)A(M)，若存在單值函數(shù)u(M)，滿足 ，則稱這個(gè)矢量場(chǎng)為有勢(shì)場(chǎng)，令v=-u，則v為這個(gè)場(chǎng)的勢(shì)函數(shù)。

1）有勢(shì)場(chǎng)是一個(gè)梯度場(chǎng)；有勢(shì)場(chǎng)的勢(shì)函數(shù)有無(wú)窮個(gè)，它們之間只差一個(gè)常數(shù)

2）在線單連域內(nèi)矢量場(chǎng)A為有勢(shì)場(chǎng)的充要條件時(shí)A為無(wú)旋場(chǎng)

3）“場(chǎng)有勢(shì)”“場(chǎng)無(wú)旋（rot A=0）”“場(chǎng)保守（場(chǎng)內(nèi)曲線積分與路徑無(wú)關(guān)）”彼此等價(jià)

2.管形場(chǎng)：設(shè)有矢量場(chǎng)A(M)，若其散度div A=0，則稱這個(gè)矢量場(chǎng)為管形場(chǎng)（即為無(wú)源場(chǎng)）。

1） 在面單連域內(nèi)矢量場(chǎng)A為管形場(chǎng)的充要條件：A為另一個(gè)矢量場(chǎng)B的旋度場(chǎng)，即

，滿足條件的矢量場(chǎng)B，稱為矢量場(chǎng)A的矢勢(shì)量。

2） 設(shè)管形場(chǎng)A所在的空間區(qū)域?yàn)橐幻鎲芜B域，在場(chǎng)中任取一個(gè)矢量管。假定

和 時(shí)它的任意兩個(gè)橫斷面，其法向量 和 都朝向矢量A所指的一側(cè)，則有

穿過(guò)同一個(gè)矢量管的所有橫斷面的通量都相等（常數(shù)，稱之為矢量管的強(qiáng)度）

3. 調(diào)和場(chǎng)：如果在矢量場(chǎng)A中恒有

和 ，稱此矢量場(chǎng)為調(diào)和場(chǎng)

1）勢(shì)函數(shù)u為調(diào)和函數(shù)，滿足拉普拉斯方程

為方便表述，我們引入微分算子

2）平面調(diào)和場(chǎng)：定義u為平面調(diào)和場(chǎng)A的力函數(shù)，則u與v構(gòu)成共軛調(diào)和函數(shù)

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• 哈密頓算子

1.引入哈密頓算子

引入數(shù)性微分算子

2. 運(yùn)算規(guī)則

即

3. 奧斯特羅格拉茨基公式

4.格林公式

（格林公式推廣至三維即為斯托克斯公式）

5. 斯托克斯公式

4. 一些常見(jiàn)的公式（c為常數(shù)，

為常矢，u、v為數(shù)性函數(shù)， 、 為矢性函數(shù)）

5. 若

，則

（原方向上的單位矢量）

2019.12.19 BUAA Old Building

2019.12.20 BUAA Lib

2019.12.21 BUAA Dorm

/Elisabeth 2001 Essen Cast Recording/

/Cats Original Broadway Cast Recording/

/Mozart L'opera Rock Complete Recording/

創(chuàng)作挑戰(zhàn)賽新人創(chuàng)作獎(jiǎng)勵(lì)來(lái)咯，堅(jiān)持創(chuàng)作打卡瓜分現(xiàn)金大獎(jiǎng)

總結(jié)

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