引言

和稠密矩陣相比，稀疏矩陣的最大好處就是節省大量的內存空間來儲存零。稀疏矩陣本質上還是矩陣，只不過多數位置是空的，那么存儲所有的 0 非常浪費。稀疏矩陣的存儲機制有很多種 (列出常用的五種)：

• COO (Coordinate List Format)：座標格式，容易創建但是不便于矩陣計算，用?coo_matrix

• CSR (Compressed Sparse Row)：?壓縮行格式，不容易創建但便于矩陣計算，用?csr_matri

• CSC (Compressed Sparse Column)：?壓縮列格式，不容易創建但便于矩陣計算，用?csc_matrix

• LIL (List of List):?內嵌列表格式，支持切片但也不便于矩陣計算，用?lil_matrix

• DIA (Diagnoal)：對角線格式，適合矩陣計算，用?dia_matrix

在 SciPy 中稀疏矩陣一共有七種，剩余的兩種類型 BSR 和 DOK 本貼不做研究。有興趣的讀者可以去官網去查詢。

COO

采用三元組?(row, col, data)?的形式來存儲矩陣中非零元素的信息，即把非零值?data?按著行坐標?row?和縱坐標?col?寫成兩個列表。如下圖所示：

• 坐標 (1, 1) 對應的數據 2

• 坐標 (3, 4) 對應的數據 5

• 坐標 (0, 2) 對應的數據 9

• 坐標 (2, 3) 對應的數據 1

• 坐標 (4, 3) 對應的數據 6

在實際使用中，用?coo_matrix()?語法來創建矩陣，注意產出矩陣的格式是COOrdinate。

values = [1, 2, 3, 4]rows = [0, 1, 2, 3]cols = [1, 3, 2, 0]A = sp.coo_matrix((values, (rows, cols)), shape=[4, 4])A<4x4 sparse matrix of?type?'numpy.int32'>'with?4?stored elements?in?COOrdinate format>

檢查矩陣?A?的形狀、數據類型、維度和非零值的個數。

A.shape, A.dtype, A.ndim, A.nnz((4,?4), dtype('int32'),?2,?4)

檢查矩陣?A?的行坐標、列坐標和數據。

A.row, A.col, A.data(array([0,?1,?2,?3], dtype=int32),
?array([1,?3,?2,?0], dtype=int32),
?array([1,?2,?3,?4]))

如果想看?A?中的元素，我們可用?toarray()?轉換成?numpy?數組顯示出來。

A.toarray()array([[0, 1, 0, 0],
???????[0, 0, 0, 2],
???????[0, 0, 3, 0],
???????[4, 0, 0, 0]])

COO 矩陣的元素無法進行增刪改操作，一般創建成功之后可以轉化成其他格式的稀疏矩陣 (如 CSR, CSC) 進行轉置、矩陣乘法等操作，或者轉成轉成 LIL 做切片。

A.tocsr()<4x4 sparse matrix of?type?'numpy.intc'>'with?4?stored elements?in?Compressed Sparse Row format>A.tolil()<4x4 sparse matrix?of?type?'numpy.intc'>'with?4?stored elements?in?List?of?Lists format>

可視化矩陣?A

plt.spy(A);

CSR

由三個一維數組?indptr,?indices,?data?組成。這種格式要求矩陣元按行順序存儲，每一行中的元素可以亂序存儲。那么對于每一行就只需要用一個指針表示該行元素的起始位置即可。

• indices?存儲每行中數據的列號，與屬性?data?中的元素一一對應

• indptr?存儲每行數據元素的起始位置

如下圖所示：

• 第 1 行：indptr 0-2?指?indices[0:2]?的值即 0 和 2，分別又指第 0 和 2?列，對應的數據 8 和 2

• 第 2 行：indptr 2-3?指?indices[2:3]?的值即 2，分別又指第 2?列，對應的數據 5

• 第 3 行：indptr 3-3?指?indices[3:3]?的值為空，無數據

• 第 4 行：indptr 3-3?指?indices[3:3]?的值為空，無數據

• 第 5 行：indptr 3-6?指?indices[3:6]?的值即 2，3 和 4，分別又指第 2，3 和 4?列，對應的數據 7，1 和 2

• 第 6 行：indptr 6-6?指?indices[6:6]?的值為空，無數據

• 第 7 行：indptr 6-7?指?indices[6:7]?的值即 3，分別又指第 3?列，對應的數據 9

規律：indptr?的長度等于矩陣行數加 1，而第?i?行的列數，就是?indices[indptr[i]:indptr[i+1]]。

用?csr_matrix()?語法用來創建矩陣，注意產出矩陣的格式是 Compressed Sparse Row。

data = np.array([1, 2, 3, 4, 5, 6])indices = np.array([0, 2, 2, 0, 1, 2])indptr = np.array([0, 2, 3, 6])A = sp.csr_matrix((data, indices, indptr), shape=(3, 3))A<3x3 sparse matrix of?type?'numpy.int32'>'with?6?stored elements?in?Compressed Sparse Row format>

檢查矩陣?A?的形狀、數據類型、維度和非零值的個數。

A.shape, A.dtype, A.ndim, A.nnz((3,?3), dtype('int32'),?2,?6)

檢查矩陣?A?的列索引、索引指針和數據。

A.indices, A.indptr, A.data(array([0, 2, 2, 0, 1, 2]), array([0, 2, 3, 6]), array([1, 2, 3, 4, 5, 6]))

如果想看?A?中的元素，我們可用?toarray()?轉換成?numpy?數組顯示出來。

A.toarray()array([[1, 0, 2],
???????[0, 0, 3],
???????[4, 5, 6]])

可視化矩陣?A

plt.spy(A);

CSC

csc_matrix?和?csr_matrix?正好相反，即按列壓縮的稀疏矩陣存儲方式，同樣由三個一維數組?indptr,?indices,?data?組成，

• indices?存儲每列中數據的行號，與屬性?data?中的元素一一對應

• indptr?存儲每列數據元素的起始位置

如下圖所示：

• 第 0 列：indptr 0-1?指?indices[0:1]?的值即 0，分別又指第 0?行，對應的數據 8

• 第 1 列：indptr 1-1?指?indices[1:1]?的值為空，無數據

• 第 2 列：indptr 1-4?指?indices[1:4]?的值即 0，1 和 4，分別又指第 0，1 和 4?行，對應的數據 2，5 和 7

• 第 3 列：indptr 4-6?指?indices[4:6]?的值即 4 和 6，分別又指第 4 和 6?行，對應的數據 1 和 9

• 第 4 列：indptr 6-7?指?indices[6:7]?的值即 4，分別又指第 4?行，對應的數據 2

規律：indptr?的長度等于矩陣列數加 1，而第?i?列的行數，就是?indices[indptr[i]:indptr[i+1]]。

用?csc_matrix()?語法用來創建矩陣，注意產出矩陣的格式是 Compressed Sparse Column。

data = np.array([1, 2, 3, 4, 5, 6])indices = np.array([0, 2, 2, 0, 1, 2])indptr = np.array([0, 2, 3, 6])A?=?sp.csc_matrix((data,?indices,?indptr),?shape=(3,?3))A<3x3 sparse matrix of?type?'numpy.int32'>'with?6?stored elements?in?Compressed Sparse Column format>

檢查矩陣?A?的形狀、數據類型、維度和非零值的個數。

A.shape, A.dtype, A.ndim, A.nnz((3,?3), dtype('int32'),?2,?6)

檢查矩陣?A?的行索引、索引指針和數據。

A.indices, A.indptr, A.data(array([0, 2, 2, 0, 1, 2]), array([0, 2, 3, 6]), array([1, 2, 3, 4, 5, 6]))

如果想看?A?中的元素，我們可用?toarray()?轉換成?numpy?數組顯示出來。

A.toarray()array([[1, 0, 4],
???????[0, 0, 5],
???????[2, 3, 6]])

可視化矩陣?A

plt.spy(A);

LIL

lil_matrix?使用兩個嵌套列表存儲稀疏矩陣：

• data?保存每行中的非零元素的值

• rows?保存每行非零元素所在的列號 (列號是按順序排的)。

這種格式很適合逐個添加元素，并且能快速獲取行相關的數據。如下圖所示：

• 第 0 行：列號為 0，2，4，對應的數據為 8，1，-1

• 第 1 行：列號為 1，2，對應的數據為 8，2

• 第 2 行：列號為 2，對應的數據為 3

• 第 3 行：列號為 0，2，3，4，對應的數據為 -2，4，8，-2

• 第 4 行：列號為 2，4，對應的數據為 5，8

• 第 5 行：列號為 2，對應的數據為 6

用?lil_matrix()?語法用來創建矩陣，注意產出矩陣的格式是 Lists of Lists。

data = [[8,0,1,0,-1], [0,8,2,0,0], [0,0,3,0,0], [-2,0,4,8,-2], [0,0,5,0,8], [0,0,6,0,0]]A = sp.lil_matrix(data)A<6x5 sparse matrix?of?type?'numpy.intc'>'with?13?stored elements?in?List?of?Lists format>

檢查矩陣?A?的每行的非零值對應的列索引。

A.rowsarray([list([0,?2,?4]),?list([1,?2]),?list([2]),?list([0,?2,?3,?4]),
???????list([2,?4]),?list([2])], dtype=object)

如果想看?A?中的元素，我們可用?toarray()?轉換成?numpy?數組顯示出來。

A.toarray()array([[?8,?0,?1,?0,?-1],
???????[?0, 8, 2, 0, 0],
???????[?0, 0, 3, 0, 0],
???????[-2, 0, 4, 8, -2],
???????[?0, 0, 5, 0, 8],
???????[?0, 0, 6, 0, 0]], dtype=int32)

可視化矩陣?A

plt.spy(A);

DIA

dia_matrix?按對角線的存儲方式。稀疏矩陣使用?offsets?和?data?兩個矩陣來表示，其中offsets?表示?data?中每一行數據在原始稀疏矩陣中的對角線位置 k：

• k > 0, 對角線往右上方移動 k 個單位

• k < 0, 對角線往左下方移動 k 個單位

• k = 0，主對角線

如下圖所示：

• offset 0?對應的數據?[1,2,3,4,5]?在主對角線上

• offset -3?對應的數據?[6,7,8,9,10]?在主對角線左下方移動 3 個單位

• offset 2?對應的數據?[11,12,13,14,15]?在對角線上右上方移動 2 個單位

用?dia_matrix()?語法用來創建矩陣，注意產出矩陣的格式是 DIAgonal。

data = np.arange(1,13).reshape(3,-1)offset = [-1, 0, 1]A = sp.dia_matrix( (data, offset), shape=(4,4) )A<4x4 sparse matrix of?type?'numpy.int32'>'with?10?stored elements (3?diagonals)?in?DIAgonal format>

檢查矩陣?A?的平移單位。

A.offsetsarray([-1,?0,?1], dtype=int32)

如果想看?A?中的元素，我們可用?toarray()?轉換成?numpy?數組顯示出來。

A.toarray()array([[ 5, 10, 0, 0],
???????[ 1, 6, 11, 0],
???????[ 0, 2, 7, 12],
???????[ 0, 0, 3, 8]])

可視化矩陣?A

plt.spy(A);

此外，在?sp.sparse?模塊里還有一些直接創建稀疏矩陣的函數：

• eye?生成稀疏單位對角陣

• diags?構建稀疏對角陣

• spdiags?構建稀疏對角陣

假設我們想生成一個方陣，主對角線上面是 -2，上下次對角線上的值為 1。

方法一：用?eye

N = 5A = sp.eye(N, k=1) - 2 * sp.eye(N) + sp.eye(N, k=-1)A.toarray()array([[-2., 1., 0., 0., 0.],
???????[ 1., -2., 1., 0., 0.],
???????[ 0., 1., -2., 1., 0.],
???????[ 0., 0., 1., -2., 1.],
???????[ 0., 0., 0., 1., -2.]])

方法二：用?diags

A = sp.diags([1, -2, 1], [1, 0, -1], (N, N), format='csc')A.toarray()array([[-2., 1., 0., 0., 0.],
???????[ 1., -2., 1., 0., 0.],
???????[ 0., 1., -2., 1., 0.],
???????[ 0., 0., 1., -2., 1.],
???????[ 0., 0., 0., 1., -2.]])

方法三：用?spdiags

data = np.vstack( [np.repeat(1,N), np.repeat(-2,N), np.repeat(1,N)] )A = sp.spdiags( data, [1, 0, -1], N, N )A.toarray()array([[-2., 1., 0., 0., 0.],
???????[ 1., -2., 1., 0., 0.],
???????[ 0., 1., -2., 1., 0.],
???????[ 0., 0., 1., -2., 1.],
???????[ 0., 0., 0., 1., -2.]])

三種方法都得到一樣的結果，但是用??diags?方法代碼最簡潔些。但是如果對角線上的值都不一樣，那么只能用?spdiags?方法，原因是它的參數是數組，而不是元素。

在金工中一維 PDE 有限差分離散之后都是這種類型的三對角矩陣 (tri-diagnol)，因此要熟練掌握用?diags/spdiags?方法來創建金工需要的“稀疏矩陣”。

總結

從官網資料看出，一般使用?lil_matrix?來構建矩陣效率最高。由于?LIL 形式是基于行的，因此它能夠很高效的轉為 CSR，但是轉為 CSC 的效率相對較低。

如果要執行矩陣乘法或轉置，將它們轉換成?CSC 或 CSR 格式，效率最高。

總之，在運算稀疏矩陣時，絕對絕對不要直接使用 NumPy！

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本文轉載自【公眾號：王的機器】

總結

以上是生活随笔為你收集整理的如何用三元组表表示下列稀疏矩阵_盘一盘 Python 系列特别篇21之：SciPy 稀疏矩阵...的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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